山西大学附属中学
2019~2020 学年高三第一学期（总第二次）模块诊断
数学试题（文）
考试时间：120 分 满分：150 分
一、选择题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每 小
题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合 ，则
A． B． C． ， D． ，0，1，
2．复数 ， ，其中 为虚数单位，则 的虚部为
A． B．1 C． D．
3．已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为
A． B． C． D．1
4．某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，
编号分别为 001，002， ，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6
行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号
A．522 B．324 C．535 D．578
5．函数 的图象大致是
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
7．已知 ，则
A. B. C. D.
8．下列说法正确的是
A．设 为实数，若方程 表示双曲线，则 ．
B．“ 为真命题”是“ 为真命题”的充分不必要条件．
C．命题“ ，使得 ”的否定是：“ ， ”．
D．命题“若 为 的极值点，则 ”的逆命题是真命题．
9．在直三棱柱 中，已知 ， ， ，则异面直线
与 所成的角为
A． B． C． D．
10．已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，下列说
1sin 5 4
π α − =
3cos 2 5
πα + =
7
8
− 7
8
1
8
1
8
−
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A > 0ω > | | 2
πϕ <
2{ | 2 0}A x Z x x= ∈ − − (z A = )
{0} {1} {0 1} { 1− 2}
1 1z i= + 2z i= i 1
2
z
z
(
)
1− i i−
( 3,1)a = ( 3, 3)b = − b a ( )
3− 3 1−
…
( )
6( ) 2 2x x
xf x −= + ( )
( )
11
6
π 7
3
π 13
6
π 8
3
π
( )
( )
m
2 2
11 2
x y
m m
+ =− − 2m >
p q∧ p q∨
x R∃ ∈ 2 2 3 0x x+ + < x R∀ ∈ 2 2 3 0x x+ + >
0x ( )y f x= ( ) 0f x′ =
1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC = 1AC
1 1A B ( )
30° 45° 60° 90°法正确的是
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象
D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是
11．设奇函数 的定义域为 ，且 的图象是连续不间断， ，有
，若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知 ，若方程 有唯一解，则实数 的取值
范围是
A． B． C． D．
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．若曲线 在点 ， 处的切线与直线 垂直，则 ．
14．已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
15．已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，若点 到直
线 距离为 ，则该椭圆的离心率为 ．
16 ． 在 锐 角 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 若 ，
，则 的取值范围是 ．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分 12 分）已知等比数列 的前 项和为 成等差数列，
且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
18 ．（本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ， 为 的 中 点 ，
( )f x 2
3x
π= −
( )f x 5( ,0)12
π−
3sin 2 cos2y x x= −
2
π
( )f x
( )f x m= [ ,0]2
π− ( 2, 3]− −
( )
( )f x ( , )2 2
π π− ( )f x ( ,0)2x
π∀ ∈ −
( )cos ( )sin 0f x x f x x′ + < ( ) 2 ( )cos3f m f m
π< m ( )
( , )2 3
π π− (0, )3
π
( , )2 3
π π− − ( , )3 2
π π
1 1, 1 0( 1)( )
,0 1
xf xf x
x x
− − < F A B F
AB 5 14
14 b
ABC∆ A B C a b c 2a =
cos costan sin sin
A CA A C
+= + sin sin
b c
B C
+
+
{ }na n *
2 3 4( ), 2 , ,4nS n N S S S∈ −
2 3 4
12 16a a a+ + =
{ }na
2( 2)log | |n nb n a= − + 1{ }
nb n nT
1 1 1ABC A B C− E 1 1AC， ，
（1）求证： ；
（2）若 平面 ，且 ，求点 到平面 的距离．
19．（本小题满分 12 分）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，离心
率为 ， 是椭圆 上的一个动点，且△ 面积的最大值为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设斜率存在的直线 与椭圆 的另一个交点为 ，是否存 在 点
，使得 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在， 请 说
明理由．
20．（本小题满分 12 分）某大型商场的空调在 1 月到 5 月的销售量与月份相关，得到的统计
数据如表：
月份 1 2 3 4 5
销量 （百台） 0.6 0.8 1.2 1.6 1.8
（1）经分析发现 1 月到 5 月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量 （百件）
与月份 之间的相关关系．请用最小二乘法求 关于 的线性回归方程 ，并预测 6
月份该商场空调的销售量；
（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对 7 月到 12 月有购买空调意愿的顾客进行
问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的 500 名
顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
有购买意愿对应的月份 7 8 9 10 11 12
频数 60 80 120 130 80 30
现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在 7 月与 12 月的这 90 名顾客中随机抽取 6 名，再
从这 6 人中随机抽取 3 人进行跟踪调查，求抽出的 3 人中恰好有 2 人是购买意愿的月份是 12
月的概率．
2AB BC= = 1C F AB⊥
AB BC⊥
1 / /C F ABE 1 2C F = A BCE
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1F 2F
1
2 P C 1 2PF F 3
C
2PF C Q
(0, )T t | | | |TP TQ= t
x
y
y
x y x ˆˆ ˆy bx a= +参考公式与数据：线性回归方程 ，其中 ， ．
21．（本小题满分 12 分）己知函数 ，它的导函数为 ．
（1）当 时，求 的零点；
（2）若函数 存在极小值点，求 的取值范围．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ， 为参数），在以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ， ．
（1）求 与 交点的直角坐标；
（2）若直线 与曲线 ， 分别相交于异于原点的点 ， ，求 的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）已知 ，若 对于任意 恒成立，求 的取值范围．
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2019~2020 学年高三第一学期（总第二次）模块诊断
数学试题（文）参考答案
考试时间：120 分 满分：150 分
二、选择题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A A C C C A B C D D D
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13． ． 14． ． 15． ． 16． ， ．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解：（1）等比数列 的公比为 ， ，前 项和为 成等差数
列，可得 ，即为 ，
化为 ，解得 ， ，即为 ，
ˆˆ ˆy bx a= + 1
2 2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
5
1
21.2i i
i
x y
=
=∑
( ) ( ) ( )f x x a lnx a R= − ∈ ( )f x′
1a = ( )f x′
( )f x a
xOy l cos
sin
x t
y t
α
α
=
= (t x
1 : 2cosC ρ θ= 2 : 2cos( )3C
πρ θ= −
1C 2C
l 1C 2C M N | |MN
( ) | 2 | | 3| ( )f x x a x a R= + − − ∈
1a = − ( ) 1 0f x + >
0a > ( ) 3 2f x a+ > x R∈ a
4a = 4− 2
3
4 3( 3 4)
{ }na q 1q ≠ n *
2 3 4( ), 2 , ,4nS n N S S S∈ −
3 4 22 4 2S S S= −
3 4 2
1 1 1(1 ) (1 ) (1 )2 4 21 1 1
a q a q a q
q q q
− − −= −− − −
22 1 0q q− − = 1
2q = − 2 3 4
12 16a a a+ + = 1 1 1
1 1 1 122 4 8 16a a a− + − =解得 ，则 ， ；
（2） ，可得 ，
即有前 项和
．
18．解：（1）证明： 平面 ， 平面 ， ，又 ，
， 平面 ，又 平面 ， ．
（2）过 做 交 于 ，连接 ， ， ，
平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
， 四边形 是平行四边形， ，
是 的中位线． ， ，
， ． 设 到 平 面 的 距 离 为 ， 则
，又 ， ，即 到平面
的距离为 2．
19．解：（Ⅰ） 椭圆离心率为 ，当 为 的上顶点时，△ 的面积有最大值 ．
， ， ， ． 故椭圆 的方程为：
．
（Ⅱ）设直线 的方程为 ，当 时， 代
入 ，得： ；设 ， ， ， ，线段 的
中点为 ， ，
， ，即 ，
， 直线 为线段 的垂直平分线； ，则 ．
1
1
2a = − 1( )2
n
na = − *n N∈
2 2
1( 2)log | | ( 2)log ( 2)2n n nb n a n n n= − + = − + = + 1 1 1 1 1( )( 2) 2 2nb n n n n
= = −+ +
n 1 1 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 2 4 1 1 2nT n n n n
= − + − +…+ − + −− + +
1 1 1 1 3 1 1 1(1 ) ( )2 2 1 2 4 2 1 2n n n n
= + − − = − ++ + + +
1CC ⊥ ABC AB ⊂ ABC 1CC AB∴ ⊥ 1AB C F⊥
1 1 1CC C F C= AB∴ ⊥ 1 1BCC B BC ⊂ 1 1BCC B AB BC∴ ⊥
F / /FM AC AB M EM 1 / /EC AC 1/ /FM EC∴
1 / /C F ABE 1C F ⊂ 1EMFC 1EMFC ∩ ABE EM=
1 / /C F EM∴ ∴ 1EMFC 1
1
2FM EC AC∴ = =
FM∴ ABC∆ 1 12CF BC∴ = = 2 2
1 1 3CC C F CF= − =
2EB EC BC∴ = = = 23 2 34EBCS∆∴ = × = A EBC d
1 333 3A BEC
dV d− = × × = 1 1 2 32 2 33 2 3A BEC E ABCV V− −= = × × × × = 2d∴ = A
EBC
1
2 P C 1 2PF F 3
∴
2 2 2
1
2
1 2 32
c
a
c b
a b c
=
× × =
= +
2a∴ = 3b = 1c = C
2 2
14 3
x y+ =
PQ ( 1)y k x= − 0k ≠ ( 1)y k x= −
2 2
14 3
x y+ = 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 1(P x 1)y 2(Q x 2 )y PQ
0(N x 0 )y
2
1 2
0 2
4
2 3 4
x x kx k
+= = +
1 2
0 0 2
3( 1)2 3 4
y y ky k x k
+ −= = − = +
2
2 2
4 3( , )3 4 3 4
k kN k k
−
+ +
| | | |TP TQ= ∴ TN PQ TN PQ∴ ⊥ 1TN PQk k = −所以 ， ，
当 时 ， 因 为 ， ． 当 时 ， 因 为 ，
．当 时， 符合题意．综上， 的取值范围为 ．
20．解：（1） ， ，
， 则 ， 于 是 关 于 的 回 归 直 线 方 程 为
．当 时， （百台）；
（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在 7 月与 12 月的这 90 名顾客中随机抽取 6 名，
则购买意愿为 7 月份的抽 4 人记为 ， ， ， ，购买意愿为 12 月份的抽 2 人记为 ，
．从这 6 人中随机抽取 3 人的所有情况为 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ，
， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ，
、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、
， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， ，共 20 种，恰好有 2 人是购买意愿
的月份是 12 月的有 ， ， 、 ， ， 、 ， ， 、 ， ， ，共 4 种，故
所求概率为 ．
21．解：（1） 的定义域为 ，当 时， ， ．
易知 为 上的增函数，又 （1） ，所以 是 的
零点．
（2） ，令 ，则 ．
①当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，符合题意．
②当 时， ，所以 在 上单调递增．
又 ， ，所以 在 上恰有一个零点 ，
2
2
2
3
4 3 14
4 3
k tk kk
k
− −+ = −
+
2
1
34 3 4
kt k k k
⇒ = =+ +
0k > 34 4 3k k
+ ∴ 3(0, ]12t ∈ 0k < 34 4 3k k
+ − ∴
3[ ,0)12t ∈ − 0k = 0t = t 3 3[ , ]12 12
−
1 (1 2 3 4 5) 35x = + + + + = 1 (0.6 0.8 1.2 1.6 1.8) 1.25y = + + + + =
∴
2
21.2 5 3 1.2ˆ 0.3255 5 3b
− × ×= =− × ˆ 1.2 0.32 3 0.24a = − × = y x
ˆ 0.32 0.24y x= + 6x = ˆ 0.32 6 0.24 2.16y = × + =
a b c d A
B (a b )c (a b )d (a b )A (a
b )B (a c )d (a c )A (a c )B (a d )A (a d )B (a A
)B (b c )d (b c )A (b c )B (b d )A (b d )B (b A )B
(c d )A (c d )B (c A )B (d A )B
(a A )B (b A )B (c A )B (d A )B
4 1
20 5P = =
( )f x (0, )+∞ 1a = ( ) ( 1)f x x lnx= − 1( ) 1f x lnx x
′ = + −
1( ) 1f x lnx x
′ = + − (0, )+∞ f ′ 1 1 1 0ln= + − = 1x = ( )f x′
( ) 1x a af x lnx lnxx x
−′ = + = − + ( ) 1 ag x lnxx
= − + 2 2
1( ) a x ag x x x x
+′ = + =
0a = ( ) 1f x lnx′ = + ( ) 0f x′ > 1x e
> ( ) 0f x′ < 10 x e
< <
( )f x 1(0, )e
1( , )e
+∞
0a > ( ) 0g x′ > ( )g x (0, )+∞
1( ) 0g aee
= − < 1( ) 1 1 (1 ) 0a
a a
ag e a ae e
= − + = + − > ( )g x (0, )+∞ 0x且当 时， ；当 ， 时， ，
所以 是 的极小值点，符合题意．
③当 时，令 ，得 ．当 时， ；当 时， ，
所以 ．
若 ，即当 时， 恒成立，
即 在 上单调递增，无极值点，不符合题意．
若 ，即当 时， ，
所 以 ， 即 在 上 恰 有 一 个 零 点 ， 且 当 时 ，
；当 时， ，所以 是 的极小值点，符合题
意．综上，可知 ，即 的取值范围为 ， ．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.解：（Ⅰ）由 ，得 ，则曲线 的直角坐标方程为 ，
由 ， 得 ， 则 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为
．由 ，解得 或 ，
故 与 交点的直角坐标为 ， ；
（Ⅱ）不妨设 ，点 ， 的极坐标分别为 ， ， ， ．
．
当 时， 取得最大值 2．
23．解： 当 吋，函数 ，
当 时， ，
不等式 化为 ，解得 ；
0(0, )x x∈ ( ) ( ) 0f x g x′ = < 0(x x∈ )+∞ ( ) ( ) 0f x g x′ = >
0x ( )f x
0a < ( ) 0g x′ = x a= − (0, ))x a∈ − ( ) 0g x′ < ( , )x a∈ − +∞ ( ) 0g x′ >
( ) ( ) 2 ( )ming x g a ln a= − = + −
( ) 2 ( ) 0g a ln a− = + −
2a e−− ( ) ( ) ( ) 0f x g x g a′ = −
( )f x (0, )+∞
( ) 2 ( ) 0g a ln a− = + − < 2 0e a−− < < (1 ) 1 (1 ) 01
ag a ln aa
− = − + − >−
( ) (1 ) 0g a g a− − 1x ( )f x
2a e−> − a 2( e−− )+∞
2cosρ θ= 2 2 cosρ ρ θ= 1C 2 2 2x y x+ =
2cos( )3
πρ θ= − 2 cos 3 sinρ ρ θ ρ θ= + 2C
2 2 3 0x y x y+ − − =
2 2
2 2
2
3 0
x y x
x y x y
+ = + − − =
0
0
x
y
=
=
3
2
3
2
x
y
=
=
1C 2C (0,0) 3 3( , )2 2
0 α π 2 1 0x− − + > 1x < −当 时， ，
不等式 化为 ，解得 ，取 ；
当 时， ，
不等式 化为 ，解得 ，取 ；
综上所述，不等式 的解集为 或 ；
（2）当 吋，若 ，则 ，
此时 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，
此时 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，
此时 （3） ，则 恒成立；
综上所述，不等式 对任意 恒成立时， 的取值范围是 ．
1 32 x< < ( ) 2 1 ( 3) 3 4f x x x x= − + − = −
( ) 1 0f x + > 3 4 1 0x − + > 1x > 1 3x< <
3x ( ) 2 1 ( 3) 2f x x x x= − − − = +
( ) 1 0f x + > 2 1 0x + + > 3x > − 3x
( ) 1 0f x + > { | 1x x < − 1}x >
0a >
2
ax − ( ) 2 ( 3) 3f x x a x x a= − − + − = − − −
( ) ( ) 32 2min
a af x f= − = − − 5( ) 3 3 22f x a a+ − > 1a >
32
a x− < < ( ) 2 ( 3) 3 3f x x a x x a= + + − = + −
1( ) ( ) 32 2
af x f a> − = − − 5( ) 3 3 22f x a a+ > − > 1a >
3x ( ) 2 ( 3) 3f x x a x x a= + − − = + +
( )minf x f= 6 a= + ( ) 3 4 6 2f x a a+ + >
( ) 3 2f x a+ > x R∈ a 1a >
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