小专题(五) 利用三角形全等证明的几种常见的结论
类型 1 证角相等
1．如图，已知 AD 平分∠BAC，AB＝AC，求证：∠1＝∠2.
证明：∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABD 和△ACD 中，
{AB＝AC，
∠BAD＝∠CAD，
AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴∠1＝∠2.
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上，求证：∠1＝∠2.
证明：∵点 D 是 BC 的中点，
∴BD＝CD.
在△ABD 和△ACD 中，
{AB＝AC，
AD＝AD，
BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ABE 和△ACE 中，
{AB＝AC，
∠BAE＝∠CAE，
AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS)．∴∠1＝∠2.
类型 2 证明线段之间的位置关系
(1)证线段的平行
3．如图，AC 和 BD 相交于点 O，OA＝OC，OB＝OD，求证：AB∥CD.
证明：在△AOB 和△COD 中，
{OA＝OC，
∠AOB＝∠COD，
OB＝OD，
∴△AOB≌△COD.
∴∠A＝∠C.
∴AB∥CD.
(2)证线段的垂直
4．如图，AD 为△ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于点 F，且有 BF＝AC，FD＝CD.求证：
BE⊥AC.
证明：∵AD 为△ABC 的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在 Rt△BDF 和 Rt△ADC 中，
{BF＝AC，
FD＝CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)．
∴∠1＝∠2.
∵∠1＋∠BFD＝90°，∠BFD＝∠AFE，∴∠2＋∠AFE＝90°.
∴∠BEA＝90°.
∴BE⊥AC.
类型 3 线段之间的数量关系
(1)证线段相等
5．已知：如图，D 是△ABC 的边 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE＝FE，FC∥AB.求证：AE＝
CE.
证明：∵FC∥AB，
∴∠ADE＝∠CFE.
在△ADE 和△CFE 中，
{∠ADE＝∠CFE，
DE＝FE，
∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(ASA)．
∴AE＝CE.
6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E 是 BD 上任意一点，求证：AE＝CE.
证明：在△ABD 和△CBD 中，
{AB＝CB，
BD＝BD，
AD＝CD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)．
∴∠ADE＝∠CDE.
在△ADE 和△CDE 中，{AD＝CD，
∠ADE＝∠CDE，
DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)．
∴AE＝CE.
(2)证线段的和差关系
7．如图，已知 AD∥BC，点 E 为 CD 上一点，AE、BE 分别平分∠DAB、∠CBA，BE 交 AD 的延
长线于点 F.
求证：
(1)△ABE≌△AFE；
(2)AD＋BC＝AB.
证明：(1)∵AE、BE 分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠BAE＝∠FAE，∠ABE＝∠CBE.
∵AD∥BC，∴∠F＝∠CBE.
∴∠ABE＝∠F.∴AB＝AF.
在△ABE 和△AFE 中，
{∠ABE＝∠F，
∠BAE＝∠FAE，
AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
(2)∵△ABE≌△AFE，
∴BE＝FE，AB＝AF.
在△BCE 和△FDE 中，
{∠EBC＝∠F，
BE＝FE，
∠BEC＝∠FED，
∴△BCE≌△FDE.
∴BC＝FD.
∴BC＋AD＝DF＋AD＝AF＝AB.8．如图，若在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且∠EAF
＝1
2∠BAD，求证：EF＝BD＋DF.
证明：延长 FD 到 G，使 DG＝BE，连接 AG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG.
在△ABE 和△ADG 中，
{BE＝DG，
∠B＝∠ADG，
AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS)．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
∵∠EAF＝1
2∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.
∴∠EAF＝∠GAF.
在△AEF 和△AGF 中，
{AE＝AG，
∠EAF＝∠GAF，
AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)．
∴EF＝FG.
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF.
∴EF＝BE＋DF.
(3)证线段的倍分关系
9．已知：如图，在△ABC 中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE 平分∠BAC，BE⊥AE，求证：BE＝1
2
AD.解：延长 AC、BE 交于点 F，
∵∠ACB＝90°，BE⊥AE，
∴∠CAD＋∠CDA＝90°，∠EDB＋∠EBD＝90°.
∵∠CDA＝∠EDB，
∴∠CAD＝∠EBD，即∠CAD＝∠CBF.
在△ADC 和△BFC 中，
{∠CAD＝∠CBF，
AC＝BC，
∠ACD＝∠BCF，
∴△ADC≌△BFC.
∴AD＝BF.
在△AEF 和△AEB 中，
{∠FAE＝∠BAE，
AE＝AE，
∠AEF＝∠AEB，
∴△AEF≌△AEB.
∴BE＝EF，即 BE＝1
2BF.
∴BE＝1
2AD.
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