理科数学周测题
1.已知集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
2.设复数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 为纯虚数 B. 的虚部为
C. 在复平面内， 对应的点位于第二象限 D.
3.已知向量 ， ，且 ，则
A. B. C. 0 D.
4.设 是等差数列，下列结论一定正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，
5.已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6.若函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知 ，且 ， ， ， ，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 ，其中 ， ， 为 的零点：且
{ | x 1}A x= < { }2 1xB x=
{ | 1}A B x x∪ = < A B = { }x 0x
{ | 0 1}A B x x= < 1 3 0a a+ < 032 1 0a < ( )( )2 1 2 3 0a a a a− − <
2
2
2 , 2( )
log ( ), 2
x xf x
x a x
−= + >
(2)f a
0a < 0a > 0a 0a ≥
0a b> > 1=+ ba
b
ax
= 1 1 1logaby a b
= +
1logbz a
= x y z
yxz >> zyx >> xyz >>
yzx >>
( ) sin( )f x xω ϕ= + 0ω > | | 2
πϕ 4
p- ( )f x恒成立， 在区间 上有最小值无最大值，则 的最大值是（ ）
A. 11 B. 13 C. 15 D. 17
9.将函数 的图象上各点横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得到函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于点 对称 B. 函数 的周期是
C. 函数 在 上单调递增 D. 函数 在 上最大值是 1
10.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元
代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某
仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层 1 件，以后每一层比上一
层多 1 件，最后一层是 件.已知第一层货物单价 1 万元，从第二层起，货物的单价是上一层
单价的 .若这堆货物总价是 万元，则 的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
11.函数 f（x）=ln（x+1）-x2 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
( ) 4f x f
π
( )f x ,12 24
π π
− ω12.有如下命题：①函数 y=sinx 与 y=x 的图象恰有三个交点；②函数 y=sinx 与 y= 的图象恰
有一个交点；③函数 y=sinx 与 y=x2 的图象恰有两个交点；④函数 y=sinx 与 y=x3 的图象恰有
三个交点，其中真命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
13.已知函数 ， ，若 有 4 个零点，则 的取值范
围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 4 小题.把答案填在答题卡上相应的位置.
14.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差 ______．
15.已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，若 ，
，则使不等式 成立的 的最小值是________.
16.若 ，则 ________．
17.已知函数 f（x）=（x+a）2+（ex+ ）2，若存在 x0，使得 f（x0） ，则实数 a 的值
为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
的面积 .
（1）求角 ；
（2）求 周长的取值范围.
2 , 0,
( ) ln , 0,
x x x
f x x xx
+= >
( ) ( )g x f x ax= − ( )g x a
20, e
10, 2e
( )2 ,1e
1 ,12e
}{ na nS }{ na n
2
1
1
2 n
n
n n
aa a a+
+
= −
*( )n N∈
1 1a = 2019nS > n19.(2018·浙江卷)已知等比数列{a n}的公比 q>1,且 a3+a4+a5=28,a4+2 是 a3,a5 的等差中项.
数列{bn}满足 b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前 n 项和为 2n2+n.
(1)求 q 的值;
(2)求数列{bn}的通项公式.
20.设函数 f(x)=(x2-x+1)·e-x.
(1)求函数 f(x)的单调区间;
(2)当 x∈[0,2]时,f(x)≥-x2+2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.21.已知函数 .
（1）若 在 上单调递减，求 的取值范围；
（2）若 ，求证： .
( ) (1 ) 1( 0)kxf x x e x k= − − − >
( )f x R k
0x > (2 ) (2 ) 2x xx e x e x−− − + 2
1, 0
0
x x
lnx xx
+ ≤= > ，有 3 个交点且交点的横坐标不为 0，作出 y 的图象，即可得出结论．
【详解】当 x=0 时，g(0)=f(0)-0=0，当 时，由题意可得 ，即 y=a 与 y
有 3 个交点且交点的横坐标不为 0，
令 h(x)= ,则 h′（x）= ，则 x= ，且在（0， ）单增，在
（ ）上单减，
∴y 的大致图像如图：
又 h( )=
若 y=a 与 y 有 3 个交点且交点的横坐标不为 0，则 ，
二、填空题：本大题共 4 小题.把答案填在答题卡上相应的位置.
14.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差 ______．
【答案】2
2
1, 0
0
x x
lnx xx
+ ≤= > ，
x 0≠
2
1, 0
a 0
x x
lnx xx
，
+ ≤= >
2
1, 0
0
x x
lnx xx
+ ≤= > ，
2 x 0lnx
x
>， 3
1 2l 0nx
x
− = 1
2e
1
2e
1
2e ∞+，
2
1, 0
0
x x
lnx xx
+ ≤= > ，
1
2e
1
2e
，
2
1, 0
0
x x
lnx xx
+ ≤= > ，
10 a 2e
< 10，又 ，∴n 的最小值是 11，
故答案为 11.
16.若 ，则 ________．
【答案】
由 ，而 ，代入计算即可得到答案。
【详解】 ，则 .
17.已知函数 f（x）=（x+a）2+（ex+ ）2，若存在 x0，使得 f（x0） ，则实数 a 的值
为______．
【答案】
函数 f（x）可以看作是动点 M（x，ex）与动点 N（-a，- ）之间距离的平方，问题转化为求
直线上的动点到曲线的最小距离，由 y=ex 得，y′=ex= ，曲线上点 M（-1， ）到直线 y=
}{ na nS }{ na n
2
1
1
2 n
n
n n
aa a a+
+
= −
*( )n N∈
1 1a = 2019nS > n
2
1
1
2 n
n
n n
aa a a+
+
= − nS
2
1
1
2 n
n
n n
aa a a+
+
= −
2 2
1 1 2 0n n n na a a a+ +− − = 1 2n na a+ − 1n na a+ +
{ }na 1 2 0n na a+ − =
1 2n na a+ = 1 1a =
2 1 2 1 20192 1
n
n
nS
−= = − >−
*n N∈x 的距离最小，要使 f（x0） ，则 f（x0）= ，然后求解 a 即可．
【详解】函数 f（x）=（x+a）2+（ex+ ）2，
函数 f（x）可以看作是动点 M（x，ex）与动点 N（-a，- ）之间距离的平方，
动点 M 在函数 y=ex 的图象上，N 在直线 y =x 的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由 y=ex 得，y′=ex= ，解得 x=-1，
所以曲线上点 M（-1， ）到直线 y= x 的距离最小，最小距离 d= ，
则 f（x）≥ ，
根据题意，要使 f（x0）≤ ，则 f（x0）= ，
此时 N 恰好为垂足，由 KMN=-e，解得 a= ．
故答案为： ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
的面积 .
（1）求角 ；
（2）求 周长的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由 可得到 ，代入 ，结合正
弦定理可得到 ，再利用余弦定理可求出 的值，即可求出角 ；（Ⅱ）由
，并结合正弦定理可得到 ，利用 ， ，
可得到 ，进而可求出周长的范围。【详解】解：（Ⅰ）由 可知 ，
∴ .由正弦定理得 .
由余弦定理得 ，∴ .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，∴ ， .
的周长为
.
∵ ，∴ ，∴ ,
∴ 的周长的取值范围为 .
19.已知等比数列{an}的公比 q>1,且 a3+a4+a5=28,a4+2 是 a3,a5 的等差中项.数列{bn}满足 b1=1,
数列{(bn+1-bn)an}的前 n 项和为 2n2+n.
(1)求 q 的值;
(2)求数列{bn}的通项公式.
解:(1)由 a4+2 是 a3,a5 的等差中项,
得 a3+a5=2a4+4,
所以 a3+a4+a5=3a4+4=28,
解得 a4=8.
由 a3+a5=20,得 8(q+ )=20,
解得 q=2 或 q= .
因为 q>1,所以 q=2.
(2)设 cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}的前 n 项和为 Sn.
由 cn=解得 cn=4n-1.
由(1)可得 an=2n-1,
所以 bn+1-bn=(4n-1)×( )n-1,
故 bn-bn-1=(4n-5)×( )n-2,n≥2,
bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)×( )n-2+(4n-9)×( )n-3+…+7× +3.
设 Tn=3+7× +11×( )2+…+(4n-5)×( )n-2,n≥2,
则 Tn=3× +7×( )2+…+(4n-9)×( )n-2+(4n-5)×( )n-1,
所以 Tn=3+4× +4×( )2+…+4×( )n-2-(4n-5)×( )n-1,
因此 Tn=14-(4n+3)·( )n-2,n≥2,
又 b1=1,所以 bn=15-(4n+3)·( )n-2.
20、设函数 f(x)=(x2-x+1)·e-x.
(1)求函数 f(x)的单调区间;
(2)当 x∈[0,2]时,f(x)≥-x2+2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
解:(1)函数 f(x)的定义域为{x|x∈R},
f′(x)=-(x-2)(x-1)e-x,
e-x>0,令 f′(x)0,解得 10 时，则 ，
即 ，又 时， ，则 ，
即 ，
( ) (1 ) 1( 0)kxf x x e x k= − − − >
( )f x R k
0x > (2 ) (2 ) 2x xx e x e x−− − + <
0 2k<
( ) ( )g x f x= ′
0
2k = ( )f x ( ) ( )0 0f x f< =
( ) ( )0 0f x f− > = ( ) ( )2 21 1 1 1x xx e x x e x−+ + − > − − − xt 2=
( )f x R ( ) ( )1 1 0kxf x e k kx= − − −′
( ) ( ) ( )1 1kxg x f x e k kx= = − − −′ ( ) ( )2kxg x ke k kx= − −′
0k > 2kx k
−> ( ) 0g x′ < 2kx k
−< ( ) 0g x′ >
( )g x 2, k
k
− −∞
2 ,k
k
− +∞
( ) 2
max
2 1 0kkg x g ek
−− = = − 0 2k<
2k = ( )f x ( ) ( )0 0f x f< =
( ) 21 1 0xx e x− − − < 0x > 0 =
( ) 21 1 0xx e x−+ + − >从而 ，
即 ，也即
令 ，则 ，
即 时， .
( ) ( )2 21 1 1 1x xx e x x e x−+ + − > − − −
( ) ( )2 21 1 2 0x xx e x e x−+ + − + > ( ) ( )2 22 2 2 2 4 0x xx e x e x−+ + − + >
2 0t x= > ( ) ( )2 2 2 0t tt e t e t−+ + − + >
0x > ( ) ( )2 2 2x xx e x e x−− − +
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