福建平和县一中2020届高三数学(理)上学期第一次月考试题(附答案)
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资料简介
2019-2020 上学期平和一中高三第一次月考 理科数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 是第二象限角, 为其终边上一点且 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 3. ( ) A. B. C. D. 4.在实数范围内,使得不等式 成立的一个充分而不必要的条件是( ) A. B. C. D. 5.已知函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围是(  ) A. B. C. D. 6.若曲线 在点 处的切线与曲线 相切,则 的值是 ( ) A. B. C. D. 7.已知函数 ,若 在 上的值域为 ,则 的取值 范围是( ) A. B. C. D. ( ){ }| ln 1 2 A x y x= = − { 2 }xB y y= = A B = 1(0, )2 1[0, )2 1(0, ]2 1[0, ]2 α P )5,(x x4 2cos =α x 3 3− 3± 2− 2 2 (sin 1)x dx π π− + =∫ 0 2 π π π− 1 1 0x − > 1x < 0 2x< < 0 1x< < 10 3x< <    ≤+− >++= )1(2 )1(1)( 2 xxx xx axxf R a ]1,0[ ]1,0( ]1,1[− ]1,1(− 2( ) 4lnf x x x= − (1, 1)− 2 3y x x m= − + m 13 4 11 4 9 4 7 4 ( ) sin( )( 0)3f x x πω ω= − > ( )f x [ ]0,π 3[ ,1]2 − ω 1 ,16      5 5,6 3      1 7,3 6      2 3,3 2     8.若函数 有两个零点,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.已知函数 将函数 的图 象向左平移 个单位后得到函数 的图象,且 ,则 =( ) A. B. C. D. 10.设函数 的图象在点 处切线的斜率为 ,则 函数的 图象一部分可以是( ) A. B. C. D. 11.求值: (  ) A. B. C. D. 12.已知 为自然对数的底数,函数 , 若对任意的 ,总存在两个 ,使得 成立,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题:(本大题共四小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填在答题卷相应位置) 13.设 ,则 的值_______. 14.如图, 是直角 斜边 上一点, 记 , .则 . 15.已知 是定义在 上的偶函数,且在区间 上单调递 增,若实数 满足 ,则 的取值范围是 . 1( ) 1 22 x f x a = − +   a 1( ,0)2 − ( 1,0)− 1( , )2 − +∞ ( 1, )− +∞ )0)(2sin(2 1coscossin2sin2 1)( 2 πϕϕπϕϕ p a ( )p q¬ ∨ a , ,a b c sin 3 sinb A c B= 3a = 3cos 5B = sin 2 3B π −   ( ) sin( )( 0, )2f x A x πω ϕ ω ϕ= + > < ( )f x ( )y f x= ( 0)θ θ > 1 2 ( )y g x= ( )g x 5( ,0)24 π θ ( )g x [0, ]2 π xω ϕ+ x sin( )A xω ϕ+(I)当 时,试求 关于 的函数关系式和 的最大值; (II)当顾客的鞋 在镜中的像 满足不等关系 (不计鞋长)时,称顾客可在镜中看 到自己的鞋,若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋,试求 的取值范围. 21.(本题共 12 分)函数 , . (Ⅰ)讨论 的极值点的个数; (Ⅱ)若对于 ,总有 . (i)求实数 的范围; (ii)求证:对于 ,不等式 成立. 请考试在 22、23 两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所 做第一题计分,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本题共 10 分) 在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 过点 ,与极轴正半轴成 .在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 为参数).曲线 上的 对应的参数 . (Ⅰ)求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程; (Ⅱ)曲线 与 交于 两点,点 ,求 的值. 23. (本题共 10 分)已知函数 (Ⅰ)当 时,求不等式 的解集; (Ⅱ)若 的解集包含 ,求 的取值范围. 参考答案 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1~5 ABCDC 6~10 ABADB 11~12 CA 二、填空题:(本大题共四小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填在答题卷相应位置) 13.___17____. 21( ) ln ( )2f x x x ax a R= + + ∈ 23( ) 2 xg x e x= + ( )f x 0x∀ > ( ) ( )f x g x≤ a 0x∀ > 2 ( 1) 2x ee x e x x + − + + > x 2C )6,2 3( π− 3 π xoy 1C    = = ϕ ϕ sin cos by ax ϕ,0( >> ba 1C )2 3,1(M 3 πϕ = 1C 2C 1C 2C BA, )3,2(P PBPA + |1|||)( −++= xaxxf 3=a axxf 3)( +≥ |4|)( −≤ xxf [ ]1,0 a14. 0 . 15. . 16. __ __. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题共 12 分) 解:(1)p 真,则 在 成立 解得 , ∴p 为真时 . ....................................................5 分 (2)q 真,则 a2﹣4<0,得﹣2<a<2, 由(1)知 p 为真时 由 为假可得 p 为真 q 为假, 则 ,则 或 ....................................................12 分 18. 【解】(Ⅰ) 在△ABC 中,由正弦定理得 ,即 , 又由 ,可得, , 又 a = 3,故 c=1, 由 且 可得 ....................................................6 分 (Ⅱ)由 ,得 , 求得 所以 ...................................................12 分 19. )3,0( 3 2 max( )a x< [1,2]x∈ 4a < 4a < 4a < ( )p q¬ ∨ 4 2 2 a a a 2 4a∆ = − 2 4 0a∆ = − ≤ 2 2a− ≤ ≤ 2 1 0x ax+ + ≥ 0x > 2 1( ) 0x axf x x + +′ = ≥ 0x > ( )f x 2 4 0a∆ = − > 2 2a a< − >或 2a < − 2 1=0x ax+ + 1 2,x x 1 2x x< 1 2 1 20, 1 0x x a x x+ = − > = > 2 1 0x x> > 1 2x x x x< >或 ( ) 0f x > 1 2x x x< < ( ) 0f x < 1 2,x x ( )f x 2a > 2 1=0x ax+ + 1 2,x x 1 2 1 20, 1 0x x a x x+ = − < = > 2 10, 0x x< < 0x > ( ) 0f x > ( )f x 2a < − ( )f x 2a ≥ − ( )f x 1( )f x x ax ′ = + +, ①当 ,即 时, 对 恒成立, 在 单调 增, 没有极值点; ……………………………………………………………3 分 ②当 ,即 时,方程 有两个不等正数解 , 不妨设 ,则当 时, 增; 时, 减; 时, 增,所以 分别为 极大 值点和极小值点, 有两个极值点. 综上所述, 时, 没有极值点; 时, 有两个极值点. …5 分 (Ⅱ)(i) , 由 ,即 对于 恒成立,设 , , , 时, 减, 时, 增, , . ……………………………………9 分 (ii)由(i)知,当 时有 ,即: , ……①当且仅当 时取 等号, ……………………………10 分 以下证明: ,设 , , 当 时 减, 时 增, 0, ( ) [ 2, )x f x a′> ∴ ∈ + +∞ 2 0a + ≥ [ 2, )a ∈ − +∞ ( ) 0f x′ ≥ 0x∀ > ( )f x (0, )+∞ ( )f x 2 0a + < ( , 2)a ∈ −∞ − 2 1 0x ax+ + = 1 2 , x x 2 1 2( )( )1 1( ) ( 0)x x x xx axf x x a xx x x − −+ +′ = + + = = > 1 20 x x< < 1(0, )x x∈ ( ) 0, ( )f x f x′ > 1 2( , )x x x∈ ( ) 0, ( )f x f x′ < 2( , )x x∈ +∞ ( ) 0, ( )f x f x′ > 1 2,x x ( )f x ( )f x [ 2, )a∈ − +∞ ( )f x ( , 2)a∈ −∞ − ( )f x 2( ) ( ) lnxf x g x e x x ax≤ ⇔ − + ≥ 0x > 2 lnxe x xa x + −≤ 0x∀ > 2 ln( ) ( 0) xe x xx xx ϕ + −= > 2 2 2 1( 2 ) ( ln ) ( 1) ln ( 1)( 1)( ) x x xe x x e x x e x x x xxx x x ϕ + − − + − − + + + −′ = = 0x > (0,1)x∴ ∈ ( ) 0, ( )x xϕ ϕ′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0, ( )x xϕ ϕ′ > ( ) (1) 1x eϕ ϕ∴ = +≥ 1a e∴ +≤ 1a e∴ = + ( ) ( )f x g x≤ 2 23 1ln ( 1)2 2 xe x x x e x+ + + +≥ 2 ( 1) lnxe x e x x⇔ + − + ≥ 1x = ln 2ex x + ≥ ( ) ln ex x x θ = + 2 2 1( ) e x ex x x x θ −′ = − = ∴ (0, )x e∈ ( ) 0, ( )x xθ θ′ < ( , )x e∈ +∞ ( ) 0, ( )x xθ θ′ >, ,……②当且仅当 时取等号; 由于①②等号不同时成立,故有 .……………………………12 分 请考试在 22、23 两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所 做第一题计分,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. 23.解:(1)当 时, ,不等式 ,即 , 当 时,由 ,解得 ; 当 时,由 ,解得 ,故不等式无解; 当 时,由 ,解得 . 综上 的解集为 . ( ) ( ) 2x eθ θ∴ =≥ ln 2ex x ∴ + ≥ x e= 2 ( 1) 2x ee x e x x + − + + >(2) 等价于 . 当 时, 等价于 ,即 , 若 的解集包含 ,则 [,,即 . 故满足条件的 的取值范围为 .

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