2019-2020 学年高三级第一学期第一次质检试题
文科数学
2019-10
本试卷共 4 页，22 小题， 满分 150 分．考试用时 120 分钟．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1．已知集合 ，则 =（ ）．
A. B. C. D.
2．设复数 满足 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级 1000 名学生课余时间参加传统文化活
动的情况，随机抽取 50 名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：
参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7
参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2%
估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（ ）．
A.参加活动次数是 3 场的学生约为 360 人 B.参加活动次数是 2 场或 4 场的学生约为 480
人
C.参加活动次数不高于 2 场的学生约为 280 人 D.参加活动次数不低于 4 场的学生约为 360
人
4．已知双曲线 : ，直线 与 的两条渐近线的交点分别为 ，
为坐标原点．若 为直角三角形，则 的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
5．已知数列 中， ， ．若数列 为等差数列，则 （ ）．
A. B. C. D.
6．已知 ，且 ，则 （ ）．
{ } { }21 , 2 0A x x B x x x= ≥ = − − < A B
{ }1x x ≥ { }1 2x x≤ < { }1 1x x− < ≤ { }1x x > −
z (3 ) 3i z i+ = − | |z =
1
2
1 2 2
C
2 2
2 2 1 0, 0)x y a ba b
− = > >（ y b= C ,M N
O OMN∆ C
2 3 2 5
{ }na 3 =2a 7 =1a 1
na
9a =
1
2
5
4
4
5
4
5
−
1sin( )6 2
πθ − = 0 2
πθ ∈（ ， ） cos( )3
πθ − =A. B.
C. D.
7．如图，线段 是半径为 的圆 的一条弦，且 的长为 . 在圆 内，将线段 绕 点
按逆时针方向转动，使点 移动到圆 上的新位置，继续将线段 绕 点按逆时针方向转动，
使点 移动到圆 上的新位置，依此继续转动……点 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在
圆 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．
A. B.
C. D.
8．在边长为 的等边 中，点 满足 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
9．已知函数 ，当 时，不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是( )．
A. B. C. D.
10．设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 在 处取得极小值，则函数
的图象可能是（）
A B C D
11．已知过抛物线 焦点 的直线与抛物线交于点 ， ， ，
抛物线的准线 与 轴交于点 ， 于点 ，则四边形 的面积
为
A． B．12 C．
D．
12．若关于 的方程 没有实数根，则实数 的取值范围是
O
y
x O
y
x O
y
x O
y
x
0 1
2
1 3
2
MN 2 O MN 2 O MN N
M O MN M
N O M
O
4 6 3π − 3 31 2π− 3 3
2
π − 3 3
2π
3 ABC∆ M 2BM MA= CM CA⋅ =
3
2 2 3 6 15
2
( )
3
1 4, 02
5, 0
x xf x
x x x
+ ≤=
− − + >
（ ） ， [ ], 1x m m∈ + ( ) ( )2f m x f x m− < +
m
( ), 4−∞ − ( ), 2−∞ − ( )2,2− ( ),0−∞
( )f x R ( )f x′ ( )f x 2x = −
( )y x f x′= ⋅
2 4 2y x= F A B 3AF FB=
l x C AM l⊥ M AMCF
( )
12 3 8 3
6 3
x 0xe ax a+ − = a ( )
-2
-2 -2
-2A． B． C． D．
二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若实数 满足约束条件 ，则 的最小值等于______．
14．已知长方体 的外接球体积为 ，且 ，则直线 与平面
所成的角为______．
15．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到一个偶函数图
象，则 ______．
16．已知数列 的前 项和为 ， ，且 （ 为常数）．若数列 满足
，且 ，则满足条件的 的取值集合为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分 12 分)
在 中，角 的对边分别是 .已知 .
(Ⅰ)求角 的值；
(Ⅱ)若 ，求 的面积.
18.(本小题满分 12 分)
为了了解 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：
年份 2014 2015 2016 2017 2018
足球特色学校 (百个) 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
(Ⅰ)根据上表数据，计算 与 的相关系数 ，并说明 的线性相关性强弱
( 2 ,0e− )20,e ( ],0e− [ )0,e
,x y
2 0
0
2 2 0
x y
x y
x y
+ ≥
− ≤
− + ≥
3z x y= −
1 1 1 1ABCD A B C D− 32
3
π 1 2AA BC= = 1AC 1 1BB C C
( ) sin cosf x a x b x= + ( ), 0∈ ≠R,a b a π
6
=b
a
{ }na n nS 1 1a = 1n nS aλ= − λ { }nb
2 9 20n na b n n= − + − 1n nb b+ < n
ABC∆ A B C， ， a b c， ， sin sin 03b C c B
π − − =
C
4 2 7a c= =， ABC∆
A
x
y
y x r y x与(已知： ，则认为 线性相关性很强； ，则认为 线性相关性一般；
，则认为 线性相关性较弱)；
(Ⅱ)求 关于 的线性回归方程，并预测 地区 2019 年足球特色学校的个数(精确到个).
参考公式： ， ， ， ，
19.(本小题满分 12 分)
如图，三棱台 的底面是正三角形，平面 平面 ，
， .
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)若 和梯形 的面积都等于 ，求三棱锥 的体积.
20.(本小题满分 12 分)
已知直线 与焦点为 的抛物线 ( )相切.
(Ⅰ)求抛物线 的方程；
0.75 1r≤ ≤ y x与 0.3 0.75r≤ < y x与
0.25r ≤ y x与
y x A
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
( )2
1
10
n
i
i
x x
=
− =∑ ( )2
1
1.3
n
i
i
y y
=
− =∑ 13 3.6056≈
( )( )
( )
1
2
1
ˆ ˆˆ .
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b a y bx
x x
=
=
− −
= = −
−
∑
∑
，
ABC EFG− ABC ⊥ BCGF
2CB GF= BF CF=
AB CG⊥
ABC∆ BCGF 3 G ABE−
: 1 0l x y− + = F 2: 2C y px= 0p >
C(Ⅱ)过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，求 ， 两点到直线 的距离之和的最小值.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 ( ).
(Ⅰ)求 的单调区间；
(Ⅱ)若对于任意的 ( 为自然对数的底数)， 恒成立，求 的取值范围.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第
一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，射线 与曲线
交于 两点，直线 与曲线 相交于 两点.
（Ⅰ）求直线 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）当 时，求 的值.
xOy l
x
l
l
F m C A B A B l
( ) 2 23 lnf x x ax a x= − + a R∈
( )f x
2x e≥ e ( ) 0f x ≥ a
1
2
3
2
x t
y a t
= −
= +
t a∈R
C 4cosρ θ= ( )03
θ ρπ= ≥ C
,O P C ,A B
AB OP= a23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知 .
(Ⅰ)求 的解集；
(Ⅱ)若 恒成立，求实数 的最大值.
2019-2020 学年高三级第一学期第一次质检
文科数学试题参考答案
一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A
1.【简解】 ，所以 ，故选 D．
2.【简解一】因为 ，所以 ，故选 B．
【简解二】因为 ，所以 ，所以 ，故选 B．
3.【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于 4 场的学生约为：
人，故选 D.
4.【简解】依题意得：因为 为直角三角形，所以双曲线 的渐近线为 ，即 是等轴
双曲线，所以 的离心率 ，故选 A．
5.【简解】依题意得： ，因为数列 为等差数列，
所以 ，所以 ，所以 ，故选 C．
C C
( ) 3 2f x x= +
( ) 1f x ≤
( )2f x a x≥ a
( )( ){ } { }| 2 +1 0 | 1 2B x x x x x= − < = − < < { }| 1A B x x= > −
( )( )
( )( )
3 i 3 i3 i i= =
3+i 3+i 3 i
8 6
10z
−− − −= − 1z =
(3+i) 3 i= −z (3+i) (3+i) = 3 iz z= − 1z =
1000 +×（0. 18 0. 12+0. 04+0. 02) =360
∆OMN =y x±
C 2=e
73 2, 1a a= = 1{ }
na
7 3
1 1 1 1 12
7 3 7 3 8
− −
= = =− −
a ad ( )
9 7
1 1 1 59 7 8 4a a
= + − × = 9
4
5
=a6.【简解一】由 ，且 得， ，代入 得， =
，故选 C．
【简解二】由 ，且 得， ，
所以 ，故选 C．
7. 【简解一】依题意得：阴影部分的面积
，故选 B．
【简解二】依题意得：阴影部分的面积
，故选 B．
8.【简解一】依题意得：
，故选 D．
【简解二】依题意得：以 为原点， 所在的直线为 轴建立平面直角直角坐标系，则
，所以 ，故选 D．
【简解三】依题意得：过 点作 于 ，如图所示，则
，故选 D．
9. 【简解】依题意得：函数 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，在 上恒成立，所以
，即 ，故选 B．
10. 【简解】【解析】∵函数 在 R 上可导，其导函数 ，且函数 在 处取得极
小值，
π 1sin 6 2
θ − =
π0, 2
θ ∈
π
3
θ = πcos 3
θ −
πcos 3
θ −
cos0 1=
π 1sin 6 2
θ − =
π0, 2
θ ∈
π 3cos 6 2
θ − =
π π π π π π πcos cos cos cos sin sin 13 6 6 6 6 6 6
θ θ θ θ − = − − = − + − =
2 1 36 [ 2 2 2 ]=4 6 32 2S = × π× − × × × π −1（ ）
6
2
4 -6 3 3 312 2P
π
π π= = −⋅
2 1 32 6 2 2 =4 6 32 2S = π× − × × × × π −
2
4 -6 3 3 312 2P
π
π π= = −⋅
1 2 1 2 1 1 2 15) 3 3 3 33 3 3 3 3 2 3 2CM CA CB CA CA CB CA CA CA⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = × × × + × × = （
C CA x
5 30,0 3,0 2 2C A M（ ），（ ）， （ ， ） 5 3 153,02 2 2CM CA⋅ = =
（ ， ）（ ）
M MD AC⊥ D CM CA⋅ = CD CA⋅ =
15(3 1 cos60 ) 3 2
− × × =
( )
3
1 4, 02
5, 0
x xf x
x x x
+ ≤=
− − + >
（ ）
x∈R
( ) ( )2 − < +f m x f x m 2m x x m− > + 2x m< [ ], 1∈ +x m m
2( 1)m m+ < 2m < −
( )f x ( )f x′ ( )f x 2x = −
D A
B
C
M∴当 时， ；当 时， ；当 时， ．
∴当 时， ；当 时， ；当 或 时， .选：
C．
11. 【解答】解：解：过 作 于 ，过 作 于 ，设 ，
，则 ， ，
． ，
则四边形 的面积为 ，故选： ．
12.【解答】解：方程 没有实数根，得方程 没有实数根，
等价为函数 与 没有交点，
当 时，直线 与 恒有交点，不满足条件．
当 时，直线 与 没有交点，满足条件．
当 时，当过 点的直线 相切时，设切点为 ，则 ，则 ，
则切线方程为 ．即 ，
切线过 点，则 ，得 ，即切线斜率为 ，
要使 与 没有交点，则满足 ，即 ，
综上 ，即实数 的取值范围是 ， ，故选： ．
二、填空题
13.【简解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化
为： ，则 的最小值即为动直线在 轴上的截距的最大值．通过平移
可 知 在 点 处 动 直 线 在 轴 上 的 截 距 最 大 ． 因 为 解 得 ， 所 以
的最小值 ．
14.【简解】设长方体 的外接球半径为 ，因为长方体 的外接球体
2x > − ( ) 0f x′ > 2x = − ( ) 0f x′ = 2x < − ( ) 0f x′ <
2 0x− < < ( ) 0xf x′ < 2x = − ( ) 0xf x′ = 2x < − 0x > ( ) 0xf x′ >
B BN l⊥ N B BK AM⊥ K | |BF m=
| | 3AF m= | | 4AB m= 2AK m= 1
360 2 22BAA CF p m⇒ ∠ = ° ⇒ = = =
4 2
3m∴ = 3 4 2AM m⇒ = = 3sin60 3 2 62MC AF m= ° = × =
AMCF 1 1( ) (2 2 4 2) 2 6 12 32 2S CF AM MC= + = + × = A
0xe ax a+ − = ( 1)xe a x= − −
xy e= ( 1)y a x= − −
0a > ( 1)y a x= − − xy e=
0a = 0y = xy e=
0a < (1,0) xy e= ( , )mm e ( ) xf x e′ = ( ) mf m e′ =
( )m m m my e e x m e x me− = − = − m m my e x me e= − +
(1,0) 0m m me me e− + = 2m = 2e
xy e= ( 1)y a x= − − 20 a e< − < 2 0e a− < <
2 0e a< a 2( e− 0] A
3y x z= − z y
A y 2 0: 2 2 0
x yA x y
+ =
− + =
11, 2A −
3z x y= − ( )min
1 73 1 2 2z = ⋅ − − = −
1 1 1 1ABCD A B C D− R 1 1 1 1ABCD A B C D−积为 ，所以 , 即 ，因为 ，所以
.
因为 平面 ，所以 与平面 所成的角为 ，
在 中，因为 ，所以 ，所以 ．
15. 【简解】因为 的图象向左平移 单位长度，得到偶函数图
象，所以函数 的对称轴为 ，
所以 ，因为 ，所以 ．
16. 【简解】因为 ，且 （ 为常数），所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，又因为 ，所以
或 ．
所以，当 或 时， ，即满足条件的 的取值集合为 ．
三、解答题：
17.(本小题满分 12 分)
解: (Ⅰ)∵ ，∴ ，………………2
分
∴ ，∴ . ……………………………………4
分
∵ ，∴ . …………………………6
分
(Ⅱ)∵ ，∴ ， ………………………………8
分
∵ ，∴ ， ……………………………… 10
分
34 32
3 3Rπ π= 2R = 1AC 2 2 2
1= 2 4AA BC AB R+ + = = 1 2AA BC= =
2 2AB =
1 1A B ⊥ 1 1BB C C 1AC 1 1BB C C 1 1ACB∠
1 1Rt ACB△ 1 2AA BC= = 1 1 12 2B C A B= = 1 1 = 4ACB
π∠
( ) sin cosf x a x b x= + ( ), 0∈ ≠R,a b a π
6
( ) sin cosf x a x b x= + π
6x =
( ) sin cos = (0)=3 3 3f a b f b
π π π= + 0a ≠ 3b
a
=
1 1a = 1n nS aλ= − λ 1 1 1a λ= − = =2λ
2 1n nS a= − ( )-1 -12 1 2n nS a n= − ≥ 12n na a −= 12n
na −=
2 9 20n na b n n= − + −
2
-1
9 20
2n n
n nb
− + −=
2
+1
11 +28 ( 4)( 7)
2 2n n n n
n n n nb b
− − −− = = 0< 4 7n< < *n∈N =5n
=6n
=5n =6n 1n nb b+ < n { }5,6
sin sin 03b C c B
π − − =
1 3sin sin cos sin sin 02 2B C C C B
− − =
1 3sin cos 02 2C C+ = sin 03C
π + =
( )0C π∈ ， 2
3C
π=
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 4 12 0b b+ − =
0b > 2b =∴ . …………………………12
分
18.(本小题满分 12 分)
解：(Ⅰ) ， …………………………2 分
，……………………4 分
∴ 线性相关性很强. …………………………6 分
(Ⅱ) ，……………………
8 分
， ………………………………9 分
∴ 关于 的线性回归方程是 . …………………………10 分
当 时， ，
即 地区 2019 年足球特色学校有 208 个. …………………………12
分
19.(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)证明：取 的中点为 ，连结 . …………………………1 分
由 是三棱台得，平面 平面 ，∴ .………2 分
∵ ，∴ ，……………………………………3 分
∴四边形 为平行四边形，∴ .
∵ ， 为 的中点，
∴ ，∴ .……………………4 分
∵平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，而 平面 ，∴ . ……………………6 分
(Ⅱ)∵三棱台 的底面是正三角形，且 ，
∴ ，∴ ， ………………………………8 分
∴ . …………………………9 分
1 1 3sin 2 4 2 32 2 2S ab C= = × × × =
2016 1x y= =，
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
3.6 3.6 0.753.605610 1.3
n
i i
i
n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
= = = >
− −
∑
∑ ∑
y x与
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
5
1
5 2
1
2 0.7 1 0.4 1 0.4 2 0.7ˆ 0.364 1 0 1 4
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− − − × − + − × − + × + ×= = =+ + + +−
∑
∑
ˆˆ 1 2016 0.36 724.76a y bx= − = − × = −
y x ˆ 0.36 724.76y x= −
2019x = ˆ 0.36 724.76 2.08y x= − =
A
BC D DF
ABC EFG− //ABC EFG //BC FG
2CB GF= //CD GF=
CDFG //CG DF
BF CF= D BC
DF BC⊥ CG BC⊥
ABC ⊥ BCGF BC CG ⊂ BCGF
CG ABC AB ⊂ ABC CG AB⊥
ABC EFG− 2CB GF=
2AC EG= 2ACG AEGS S∆ ∆=
1 1
2 2G ABE B AEG B ACG G ABCV V V V− − − −= = =由(Ⅰ)知， 平面 .
∵正 的面积等于 ，∴ ， . …………………………10 分
∵直角梯形 的面积等于 ，∴ ，∴ ，
∴ . …………………………12 分
20.(本小题满分 12 分)
解：(Ⅰ)∵直线 与抛物线 相切.由 消去 得， ，……
2 分
从而 ，解得 . ………………………………
4 分
∴抛物线 的方程为 . …………………………5
分
( Ⅱ ) 由 于 直 线 的 斜 率 不 为 0 ， 所 以 可 设 直 线 的 方 程 为 ， ( ) ，
( ).……6 分
由 消 去 得 ，
， ………………………………7 分
∴ ，从而 ， ……………………………………
8 分
∴ 线 段 的 中 点 的 坐 标 为
( ). ………………………………9 分
设点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，则
， …………………………
11 分
∴当 时，可使 、 两点到直线 的距离之和最小，距离的最小值为 . ………………
12 分
21.(本小题满分 12 分)
解：(Ⅰ) 的定义域为( ). …………………………1
CG ⊥ ABC
ABC∆ 3 2BC = 1GF =
BCGF 3
( )1 2 32
CG+ ⋅ = 2 33CG =
1 1 1 1
2 2 3 3G ABE G ABC ABCV V S CG− − ∆= = ⋅ ⋅ ⋅ =
: 1 0l x y− + = C 2
1 0
2
x y
y px
− + =
= x 2 2 2 0y py p− + =
24 8 0p p∆ = − = 2p =
C 2 4y x=
m m 1ty x= − A 1 1x y， B
2 2x y，
2
1
4
ty x
y x
= −
= x
2 4 4 0y ty− − =
1 2 4y y t+ = 2
1 2 4 2x x t+ = +
AB M
22 1 2t t+ ，
A l Ad B l Bd M l d
2
2 22 2 2 1 32 2 2 2 1 2 2 2 42A B
t t
d d d t t t
− + + = = ⋅ = − + = − +
1
2t = A B l 3 2
2
( )f x 0 + ∞，分
. …………………………
2 分
⑴当 时， 恒成立， 的单调递增区间为( )，无单调递减区间；…………
3 分
⑵当 时，由 解得 ，由 解得 .………………
4 分
∴ 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间是 . ……………………
5 分
(Ⅱ)①当 时， 恒成立， 在( )上单调递增，
∴ 恒 成 立 ， 符 合 题
意. …………………………6 分
②当 时，由(Ⅰ)知， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
(ⅰ)若 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增.
∴对任意的实数 ， 恒成立，只需 ，且 .……………………………
7 分
而当 时， 且
成立.
∴ 符合题意. ………………………………
8 分
(ⅱ)若 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
∴对任意的实数 ， 恒成立，只需 即可，
此时 成立，∴ 符合题意.…………………………
9 分
(ⅲ)若 ， 在 上单调递增.
∴对任意的实数 ， 恒成立，只需 ，……………………10
( )
( )2 2 2 22 3 22 3
ax x aa x ax af x x a x x x
− − − + ′ = − + = =
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x 0 + ∞，
0a > ( ) 0f x′ > 0 2
ax ∈ ， ( )a + ∞ ， ( ) 0f x′ <
2
ax a ∈ ，
( )f x 0 2
a
， ( )a + ∞，
2
a a
，
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x 0 + ∞，
( )2 4 2 2( ) 3 2 0≥ = − + ≥f x f e e ae a
0a > ( )f x 0 2
a
， ( )a + ∞，
2
a a
，
20 2
ae< ≤ 22≥a e ( )f x 2
2
ae
，
2
a a
， ( )a + ∞，
2x e≥ ( ) 0f x ≥ ( )2 0f e ≥ ( ) 0f a ≥
22≥a e ( )2 2 2 4 2 22 3 (2 )( ) 0= − + = − − ≥f e a ae e a e a e ( ) 2 2 2 23 ln (ln 2) 0= − + = − ≥f a a a a a a a
22a e≥
2
2
a e a< ≤ ( )f x )2e a ， [ )a + ∞，
2x e≥ ( ) 0f x ≥ ( ) 0≥f a
( ) 2 2 2 23 ln (ln 2) 0= − + = − ≥f a a a a a a a 2 22e a e≤ <
2e a> ( )f x )2e + ∞ ，
2x e≥ ( ) 0f x ≥ ( )2 4 2 23 2 0f e e ae a= − + ≥分
即 ，∴ 符合题意.……………………………
11 分
综上所述，实数 的取值范围是 . …………………………12 分
22.(本小题满分 10 分)
【解析】（1）将直线 的参数方程化为普通方程为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
由 ，得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
从而 ，即曲线 的直角坐标方程为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）解法一：由 ，得 .所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
将直线 的参数方程代入圆的方程 ，得
由 ，得 …………………………………………………………8
分
设 A、B 两点对应的参数为 ，则 ……9
分
解得， 或 .所以，所求 的值为 或 .………………………………………………
10 分
解法二：将射线 化为普通方程为 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
由（1）知，曲线 ： 的圆心 ，半径为 ，
由点到直线距离公式，得 到该射线的最短距离为： ，
所以该射线与曲线 相交所得的弦长为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
圆心 到直线 的距离为： ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
l
l
l
( ) ( )( )2 4 2 2 2 23 2 2 0f e e ae a a e a e= − + = − − ≥
2
0 2
ea< ≤
a )2
2
2
e e
−∞ + ∞ ， ，
3 0x y a+ − =
4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ=
2 2 4x y x+ = C 2 24 0x x y− + =
( )
4cos
03
ρ θ
θ ρ
= π = ≥
2, 3P
π
2OP =
2 24 0x x y− + = ( )2 22 3 0t a t a+ + + =
0∆ > 2 3 4 2 3 4a− < < +
1 2,t t ( )2 2
1 2 1 2 1 2AB 4 4 4 3 2t t t t t t a a= − = + − = + − =
0a = 4 3a = a 0 4 3
( )03
θ ρπ= ≥ ( )3 0 0x y x− = ≥
C ( )2 22 4x y− + = ( )2,0C 2
C 2 3 3
3 1
d = =
+
C ( )222 2 3 2OP = − =
C
2 3 2 3
23 1
a a− −
=
+由 ，得 ，即 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
解得， 或 所以，所求 的值为 或 .……………………………………10 分
23.(本小题满分 10 分)
解：(Ⅰ)由 得， ，所以， ，解得 ，
所以， 的解集为 . …………………………5 分
(Ⅱ) 恒成立，即 恒成立.
当 时， ；
当 时， .
因为 (当且仅当 ，即 时等号成立)，
所以 ，即 的最大值是 . …………………………10 分
2
2 2
2 3
1 22
a − + =
( )2
2 3 12a− = 2 3 2 3a− = ±
0a = 4 3a = a 0 4 3
( ) 1f x ≤ | 3 2 | 1x + ≤ 1 3 2 1x− ≤ + ≤ 11 3x− ≤ ≤ −
( ) 1f x ≤ 11 3
− − ，
( )2f x a x≥ 23 2+ ≥x a x
0x = a R∈
0x ≠
23 2 23
+≤ = +xa xx x
23 2 6x x
+ ≥ 23 x x
= 6
3x =
2 6a ≤ a 2 6
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