泉港一中 2019-2020 学年上学期第一次月考试卷
高二数学试题
试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
第 I 卷（选择题)
一、单选题（每题 5 分，共 60 分）
1．直线 2x+ay+3=0 的倾斜角为 120°，则 a 的值是 ( )
A． B．- C．2 D．-2
2．已知直线 ： 与 ： 平行，则 的值
是（ ）.
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
3．若 ，则直线 一定不过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若圆 C:x2+y2−2ax+b=0 上存在两个不同的点 A,B 关于直线 x−3y−2=0 对称,其中 b∈N,则圆 C
的最大面积为( )
A．16 B．4 C．2 D．
5．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成
角的余弦值为
A. B. C. D.
6．已知直线 l 过点（1，4），且与 x、y 轴正半轴相交于 A、B，则直线 l 在 轴， 轴的截距
之和取得最小时，直线 l 的方程为（ ）
A．4x+y-8=0 B．x+y-5=0 C．x+2y-9=0 D．2x+y-6=0
7．若直线 mx＋ny＋3＝0 在 y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线 x－2y＝3 的倾斜角的 2
倍，则( )
A．m＝-4，n＝-3 B．m＝4，n＝3 C．m＝4，n＝－3 D．m＝-4，n＝3
8．.直线 与圆 交于 、 两点,若满足 ,则
( 为坐标原点)等于( ).
2 3
3
2 3
3 3 3
1l ( ) ( )3 4 1 0k x k y− + − + = 2l ( )2 3 2 3 0k x y− − + = k
1 3 1 5 3 5 1 2
0, 0ab bc> < 0ax by c+ + =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= = 1 2AA = 1AD 1DB
30
10
5
6
1
5
2
4
x y
0Ax By C+ + = 2 2 4x y+ = M N 2 2 2C A B= + OM ON⋅
O A. B. C. D.
9．已知点 是圆 内一点，直线 l 是以 M 为中点的弦所在的直线，直
线 m 的方程为 ，那么
(A) 且 m 与圆 C 相切 （B) 且/W 与圆 C 相切
(C) 且 m 与圆 C 相离 （D) 且 w 与圆 C 相离
10．如图，正方体 的棱长为 1，中心为 ， ， ，则
四面体 的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知点 P 是直线 l： 上的动点，过点 P 引圆 C：
(r 为常数且 r>0)的两条切线 PM，PN，M，N 为切点，当 的最大值为 时，则 r 的值
为
A．4 B．3 C．2 D．1
12．已知点 ，若直线 上至少存在三个点 ，使得 是直角
三角形，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
第 II 卷（非选择题)
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13．若动点 到点 和直线 的距离相等，则点 的轨迹方程为 .
2− 1− 0 1
3x 4y 7 0+ − =
MPN∠ π
3
( )
( 1,0), (1,0)M N− ( 2)y k x= − P MNP∆
k
2 2[ ,0) (0, ]2 2
−
3 3[ ,0) (0, ]3 3
− ∪
1 1[ ,0) (0, ]3 3
−
1 1[ ,0) (0, ]2 2
−
P (1,1)F 3 4 0x y+ − = P14．已知直线 与圆心为 的圆 相交于 、 两点，且
为等边三角形，则实数 .
15．如图，已知矩形 ABCD，AB＝1，BC＝ ．将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进
行翻折，使二面角 A－BD－C 大小为 ，则点 A，C 之间的距离为
16．已知圆 ， 为圆 上的两个动点，且 ， 为弦 的
中点.直线 上有两个动点 ，且 .当 在圆 上运动时， 恒
为锐角，则线段 中点 的横坐标取值范围为________．
四、解答题（第 17 题 10 分，其它每题 12 分，共 70 分）
17．已知 的顶点 ， 边上的高所在直线为 ， 为 中点，且 所在
直线方程为 .
（1）求顶点 的坐标；
（2）求 边所在的直线方程。
18．已知圆 与 轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）圆与圆 ： 相交于 M、N 两点，求两圆的公共弦 MN 的长.
19．如图，在三棱锥 中， 与 都为等边三角形，且侧面 与底面
互相垂直， 为 的中点，点 在线段 上，且 ， 为棱 上一点.
2 ∆
3 0ax y+ − = C 2 2( 2) ( ) 9x y a− + − = A B
ABC∆ a =
( )22: 1 6C x y+ − = AB C 2 2AB = G AB
: 2 0l x y− − = PQ 2PQ = AB C PGQ∠
PQ M
D ABC− ABC∆ BDC∆ BCD
ABC O BC F OD 1
3OF OD= E AB（1）试确定点 的位置，使得 平面 ，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求二面角 的余弦值.
20．已知圆 C：
(1)若直线 l 过点(－2，0)且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程；
(2)从圆 C 外一点 P 向圆 C 引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且|PM|＝|PO|，求动点 P
的轨迹方程和|PM|的最小值．
21．如图四棱锥 中， 底面 ， 是边长为 2 的等边三角形，且
， ，点 是棱 PC 上的动点.
（I）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）当线段 最小时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
22．如图，圆 ，点 为直线 上一动点，过点 引圆 的
E / /EF ACD
D FB E− −
2 2( ): 2 1M x y− + = ( 1, )P t− : 1l x = − P M两条切线，切点分别为 ．
（1）若 ，求切线所在直线方程；
（2）求 的最小值；
（3）若两条切线 与 轴分别交于 两点，求 的最小值．
参考答案
1－6ACCBAD 7－12DACDDB
13．x-3y+2=0
14．
15．1
16．
圆 的半径为 为弦 的中点，
， 的轨迹是以 为圆心，以 2 为半径的圆，
设 中点为 ，
，且当 在圆 上运动时， 恒为锐角，
A B、
1t =
AB
,PA PB y S T、 ST
4 15±
( ,0) (3, )−∞ +∞
( )22: 1 6C x y+ − = 6, 2 2,AB G= AB
2CG∴ = G C
PQ ( ), 2M a a −
2PQ∴ = AB C PGQ∠则以 为圆心以 2 为半径的圆与以 为圆心以 1 为半径的圆外离，
则 ，即 ，解得 或 ，
线段 中点 的横坐标取值范围为 ，
故答案为 .
17．(1) (2)
18．（1） ；（2） .
【详解】
（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为 ，
即 y=x﹣1．
由题意可得，圆心在直线 y=3 上，
由 ，解得圆心坐标为（4，3），
故圆 C1 的半径为 4．
则圆 C1 的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=16；
（2）∵圆 C1 的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=16，
即 x2+y2﹣8x﹣6y+9=0，
圆 C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9=0，
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为 3x+4y﹣9=0．
圆 C1 的圆心到直线 3x+4y﹣9=0 的距离 d= ．
∴两圆的公共弦 MN 的长为 ．
19．【详解】
（1）在 中，延长 交 于点 ，
, 是等边三角形
为 的重心
平面 , 平面 ，
C M
( )22 3 3a a+ − > 2 3 0a a− > 0a < 3a >
∴ PQ M ( ) ( ),0 3,−∞ +∞
( ) ( ),0 3,−∞ +∞
BDC∆ BF CD M
1
3OF OD= BDC∆
F∴ BDC∆
1
3MF BM∴ =
/ /EF ACD EF ⊂ ABM ABM ACD AM∩ =，且面 面,即点 为线段 上靠近点 的三等分点
（2）等边 中， ， ， ，交线为 ，
如图以 为原点建立空间直角坐标系
点 在平面 上，所以二面角 与二面角 为相同二面角.
设 ,则 ，
设平面 的法向量 ，则
即 ，取 ，则
又 平面 ， ,
则 ,
又二面角 为钝二面角，所以余弦值为 .
20．解：(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x＝－2，易求得直线 l 与圆 C 的交点为 A(－2，1)，B(－
2，3)，|AB|＝2，符合题意；
/ /EF AM∴
1
3AE AB∴ = E AB A
BCD∆ OD BC⊥ OD BCD⊂ 平面 ABC BCD⊥面 面 BC
OD ABC∴ ⊥ 平面
O O xyz−
A BEF D FB E− − D FB A− −
2AB = 3OD OA= = ( ) ( )30,0, , 3,0,0 , 0,1,03F A B
( )30, 1, , 3, 1,03BF BA
∴ = − = −
AFB µ ( ), ,x y z= 0
0
BF
BA
⋅ =
⋅ =
3 03
3 0
y z
x y
− + =
− =
1x = µ ( )1, 3,3=
OA ⊥ OBD ( )3,0,0OA =
cos < µ 3 13
1313 3
OA >= =
×
D FB E− − 13
13
−当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＝k(x＋2)，
即 kx－y＋2k＝0，
则圆心 C 到直线 l 的距离
d＝|－k－2＋2k|
k2＋1
＝ （ 2）2－12＝1，
解得 k＝3
4，
所以直线 l 的方程为 3x－4y＋6＝0.
综上，直线 l 的方程为 x＝－2 或 3x－4y＋6＝0.
(2)如图，PM 为圆 C 的切线，连接 MC，PC，
则 CM⊥PM，
所以△PMC 为直角三角形．
所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.
设点 P 为(x，y)，由(1)知点 C 为(－1，2)，|MC|＝ 2，
因为|PM|＝|PO|，
所以，
化简得点 P 的轨迹方程为 2x－4y＋3＝0.
求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原点 O 到直线 2x－4y＋3＝0 的距离，代入点到
直线的距离公式可求得|PM|的最小值为3 5
10 .
21．22．
【详解】
（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为 ，即 ，
则圆心 到切线的距离 ，解得 或 ，
故所求切线方程为 ， ；
( )1 1y k x− = + 1 0kx y k− + + =
M 2
3 1 1
1
kd
k
+= =
+ 0k = 3
4
−
1y = 3 4 1 0x y+ − =（2）连接 交于点 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（3）设切线方程为 ，即 ， 的斜率为 ，
故圆心 到切线的距离 ，得 ，
∴ ， ，
在切线方程中令 可得 ，
故 ，
∴ ，此时 ，故 的最小值为 ．
,PM AB N
MPA MAN θ∠ = ∠ = 2 cos 2cosAB AM θ θ= =
Rt MAP∆ 1sin AM
PM PM
θ = =
3PM ≥ ( )max
1sin 3
θ = ( )min
2 2cos 3
θ = 4 2
3minAB =
( )1y t k x− = + 0kx y k t− + + = ,PA PB 1 2,k k
M 2
3 1
1
k td
k
−= =
+
2 28 6 1 0k kt t− + − =
1 2
3
4k k t+ = 2
1 2
1
8
tk k
−=
0x = y k t= +
( ) ( ) ( ) 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
84 4
tST k t k t k k k k k k
+= + − + = − = + − =
min
2
2ST = 0t = ST 2
2
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