福建省泉州市泉港区第一中学2020届高三上学期第一次月考试题数学（理）（附答案）.doc

泉港一中 2019-2020 学年第一次月考高三理科数学 总分：150 分 考试时间：120 分钟 一选择题（每题只有一个选项，每题 5 分，共 12 题） 1.已知集合 ，集合 ，则 A∩B= ( ) A. B. C. D. 2.在区间 上为增函数的是 （ ） A. B. C. D. 3.已知函数 ，且满足 ，则 的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 4.已知定义在 上的函数 满足 ， ，且当 时， ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6.命题“ ”的否定形式是(　 　) A. B. C. D. 7.设函数 对任意的 满足 ，当 时，有 .若函数 在区间 （ ）上有零点，则 的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8.函数 f(x)=sinx ln|x|的图象大致是 　 { }ln 0A x x= > { }( 1)( 5) 0B x N x x= ∈ − − ≤ { }0,1,2,3,4,5 { }1,2,3,4,5 { }1,2,3,4 { }2,3,4,5 )0,(−∞ x y     = 3 2 xy 3 1log= 2)1( +−= xy )(log 3 2 xy −= R ( )f x ( ) ( )f x f x− = − ( 1) (1 )f x f x+ = − [0 1]x∈ ， 2( ) log ( 1)f x x= + (31)f = 0 1 1− 2 [ ]1,2x∀ ∈ 22 0x a− ≥ 1a ≤ 2a ≤ 3a ≤ 4a ≤ nnfNnfNn ≤∈∈∀ ∗∗ )()(, 且 nnfNnfNn >∉∈∀ ∗∗ )()(, 且 nnfNnfNn >∉∈∀ ∗∗ )()(, 或 0000 )()(, nnfNnfNn >∉∈∃ ∗∗ 且 0000 )()(, nnfNnfNn >∉∈∃ ∗∗ 或 ( )y f x= x∈R (4 ) ( )f x f x+ = − ( 2]x∈ −∞ ， ( ) 2 5xf x −= − ( )f x ( 1)k k +， k ∈Z k 3− 7 4− 7 3− 6 4− 6 •A. B. C. D. 9.若 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 10 下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝π 6 对称；(3) 在 上是减函数”的是(　 　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝sin 11.17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有 两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话， 那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分 割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36°的等腰三角形 （另一种是顶角为 108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个 正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ 中， . 根据这些信 息，可得 （ ） A. B. C. D. 12.己知关于 x 的不等式 在(0，＋∞)上恒成立，则整数 m 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 cos 2cos sin sin θ θ θ θ + =− 2sin θ 3 5- 3 5 4 5 − 4 5     3,6 ππ )12 5 2( π+x )32( π−x )3 22( π+x )62( π+x ABC 5 1= 2 BC AC − sin 234° = 1 2 5 4 − 3 5 8 +− 5 1 4 +− 4 5 8 +− 22ln 2(1 ) 2x m x mx+ − + ≤二.填空题（每题 5 分，共 4 题） 13. 已知 且 则 = 14.已知曲线 y＝x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线 y＝ax2+（a+2）x+1 相切，则 a= 15.设函数 ( )，已知 在 有且仅有 5 个零点， 对于下述 4 个结论： ① 在 有且仅有 3 个最大值点； ② 在 有且仅有 2 个最小值点； ③ 在 单调递增； ④ 的取值范围是 : 其中所有正确结论的编号为___ _ 16.若函数 的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数 的取值 范围是 三、解答题 17.已知 ；q:函数 有两个零点． (1)若 为假命题，求实数 m 的取值范围； (2)若 为真命题， 为假命题，求实数 m 的取值范围． 18.已知函数 f(x)＝4tanx sin cos － 3. （1）求 f(x)的定义域与最小正周期； （2）讨论 f(x)在区间 上的单调性． 19.已知函数 f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R； （1）若函数 y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求 a 的取值范围； （2）设函数 g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当 a=3 时，若对任意的 x1∈[1，4]，总存 在 x2∈[1，4]，使得 g（x1）=f（x2），求 b 的取值范围． 3 12sin( ) ,sin ,5 13 α β β− = = − ( , ), ( ,0)2 2 π πα π β∈ ∈ − sinα ( ) sin( )5f x x πω= + 0ω > ( )f x [0,2 ]π ( )f x (0,2 )π ( )f x (0,2 )π ( )f x (0, )2 π 12 29[ , )5 10 , 0( ) ln , 0 ax a xf x x x x + ≤=  > a ( ) 2: 0, , 2 lnp x x e x m∃ ∈ +∞ − ≤ 2 2 1y x mx= − + p q∨ p q∨ p q∧ )2( x−π )3( π−x    − 4,4 ππ20.在 中，内角 所对的边分别为 ．且 ， （1）求 的值； （2）求 的值． 21. 已知函数 . 求函数 的极值; 若不等式 ，对 恒成立，求 的取值范围. 22.请考生在第（22）（23）两题中任选一题作答，如果两题都做，则按所做的第 一题记分，作答时请写题号． (22)已知曲线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 . （1）写出 的极坐标方程和 的直角坐标方程； （2）已知点 、 的极坐标分别为 和 ，直线 与曲线 相交 于 ， 两点，射线 与曲线 相交于点 ，射线 与曲线 相交于点 ，求 的值. (23)已知函数 . （1）求 的解集； （2）设函数 ， ，若 对任意的 都成立，求实 数 的取值范围. 参考答案 ABC△ , ,A B C , ,a b c 2b c a+ = 3 sin 4 sinc B a C= cos B sin 2 6B π +   ( ) 2 2f x x x alnx= − − ( ), g x ax= ( )1 ( ) ( ) ( )F x f x g x= + ( )2 ( )sin 2 cos gx x x+ ≤ 0x ≥ a 1C 2cos{ sin x y θ θ = = θ x 2C 2sinρ θ= 1C 2C 1M 2M 1 2 π    ， (2 0)， 1 2M M 2C P Q OP 1C A OQ 1C B 2 2 1 1 | | | |OA OB + 2 2( ) 6 9 8 16f x x x x x= − + + + + ( ) (4)f x f≥ ( ) ( 3)g x k x= − k ∈R ( ) ( )f x g x> x∈R k一选择题 DDBCA DCABD CB 二.填空题（每题 5 分，共 4 题） 13. 14.8 15. 16. 三、解答题 17.已知 ；q:函数 有两个零点． (1)若 为假命题，求实数 m 的取值范围； (2)若 为真命题， 为假命题，求实数 m 的取值范围． 17.若 为真，令 ，问题转化为求函数 的最小值， ，令 ，解得 ， 函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ，故 ． 若 为真，则 ， 或 ． (1)若 为假命题，则 均为假命题，实数 的取值范围为 ． (2)若 为真命题， 为假命题，则 一真一假． 若 真 假，则实数 满足 ，即 ； 若 假 真，则实数 满足 ，即 ． 综上所述，实数 的取值范围为 ． 18.已知函数 f(x)＝4tanx sin(π 2 －x)cos(x－ π 3 )－ 3. （1）求 f(x)的定义域与最小正周期； （2）讨论 f(x)在区间[－ π 4 ， π 4 ]上的单调性． 56 65 (0,1) (1, )+∞ ( ) 2: 0, , 2 lnp x x e x m∃ ∈ +∞ − ≤ 2 2 1y x mx= − + p q∨ p q∨ p q∧ p ( ) 2 2 lnf x x e x= − ( )f x ( ) 22 2 22 e x ef x x x x −′ = − = ( ) 0f x′ = x e= ( ) 2 2 lnf x x e x= − (0, )e ( , )e +∞ ( )min ( ) 0f x f e= = 0m ≥ q 24 4 0m= − > 1m > 1m < − p q∨ ,p q m [ )1,0− p q∨ p q∧ ,p q p q m 0 1 1 m m ≥ − ≤ ≤ 0 1m≤ ≤ p q m 0 1 1 m m m < − 或 1m < − m ( ) [ ], 1 0,1−∞ − ∪18(1)f(x)＝4tan xsin(π 2 －x)cos(x－ π 3 )－ 3 ＝4sin x(1 2cos x＋ 3 2 sin x)－ 3 ＝sin 2x＋ 3(1－cos 2x)－ 3 ＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin(2x－ π 3 ). ∴定义域Error!，最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)－π 4 ≤x≤π 4 ，－5π 6 ≤2x－π 3 ≤π 6 ，设 t＝2x－π 3 ， 因为 y＝sin t 在 t∈[－ 5π 6 ，－ π 2 ]时单调递减，在 t∈[－ π 2 ， π 6 ]时单调递增． 由－5π 6 ≤2x－π 3 ≤－π 2 ，解得－π 4 ≤x≤－π 12，由－π 2 ≤2x－π 3 ≤π 6 ，解得－π 12≤ x≤π 4 ， 所以函数 f(x)在[－ π 12， π 4 ]上单调递增，在[－ π 4 ，－ π 12)上单调递减． 19.已知函数 f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R； （1）若函数 y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求 a 的取值范围； （2）设函数 g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当 a=3 时，若对任意的 x1∈[1，4]，总存 在 x2∈[1，4]，使得 g（x1）=f（x2），求 b 的取值范围． 19 解：（1）∵f（x）=x2﹣4x+a+3 的函数图象开口向上，对称轴为 x=2， ∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数， ∵函数 y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点， ∴f（﹣1）f（1）≤0，即 a（8+a）≤0，解得：﹣8≤a≤0． （2）a=3 时，f（x）=x2﹣4x+6， ∴f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增， ∴f（x）在[2，4]上的最小值为 f（2）=2，最大值为 f（4）=6． 即 f（x）在[2，4]上的值域为[2，6]．设 g（x）在[1，4]上的值域为 M， ∵对任意的 x1∈[1，4]，总存在 x2∈[1，4]，使得 g（x1）=f（x2）， ∴M⊆[2，6]． 当 b=0 时，g（x）=5，即 M={5}，符合题意， 当 b＞0 时，g（x）=bx+5﹣2b 在[1，4]上是增函数， ∴M=[5﹣b，5+2b]， ∴ ，解得 0＜b≤ ． 当 b＜0 时，g（x）=bx+5﹣2b 在[1，4]上是减函数， ∴ M=[5+2b，5﹣b]， ∴ ，解得﹣1≤b＜0． 综上，b 的取值范围是 ． 20.在 中，内角 所对的边分别为 ．且 ， （1）求 的值； （2）求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 20【解析】（1）在 中，由正弦定理 ，得 ， 又由 ，得 ，即 ．又因为 ，得到 ， ．由余弦定理可得 ． （2）由（1）可得 ，从而 ， ，故 ABC△ , ,A B C , ,a b c 2b c a+ = 3 sin 4 sinc B a C= cos B sin 2 6B π +   1 4 − 3 5 7 16 +− ABC△ sin sin b c B C = sin sinb C c B= 3 sin 4 sinc B a C= 3 sin 4 sinb C a C= 3 4b a= 2b c a+ = 4 3b a= 2 3c a= 2 2 2 2 2 2 4 16 19 9cos 22 42 3 a a aa c bB ac a a + −+ −= = = − ⋅ ⋅ 2 15sin 1 cos 4B B= − = 15sin 2 2sin cos 8B B B= = − 2 2 7cos2 cos sin 8B B B= − = −． 21. 已知函数 . 求函数 的极值; 若不等式 ，对 恒成立，求 的取值范围. 21. ， 的定义域为 ， ① 当 ,即 时, 在 上递减,在 上递增, ， 无极大值. ② 当 ，即 时， 在 和 上递增，在 上递减 ， ③ ，即 时, 在 上递增, 没有极值. ④ 当 即 时, 在 和 上递增，在 上递减 ， 综上可知： 时, ， 无极大值; 时， ， ， 没有极值； 15 3 7 1 3 5 7sin 2 sin 2 cos cos2 sin6 6 6 8 2 8 2 16B B B π π π + + = + = − × − × = −   ( ) 2 2f x x x alnx= − − ( ), g x ax= ( )1 ( ) ( ) ( )F x f x g x= + ( )2 ( )sin 2 cos gx x x+ ≤ 0x ≥ a ( )1 ( ) 2 2 lnF x x x a x ax= − − + ( ) ( ) ( )( )22 2 2 1x a x a x a xF x x x + − − + −′ = = ( )F x ( )0,+∞ 02 a− ≤ 0a ≥ ( )F x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) = 1F x a − 极小 ( )F x 0 12 a< − < 2 0a− < < ( )F x 0, 2 a −   ( )1,+∞ ,12 a −   ( ) 2 = ln2 4 2 a a aa aF Fx    − = − − −      极大 ( ) ( )1 1Fx aF = = − 极小 12 a− = 2a = − ( )F x (0, )+∞ ( )F x 12 a− > 2a < − ( )F x ( )0,1 ( ),2 a− +∞ 1, 2 a −   ( ) ( )= 1 1FF ax∴ = − 极大 ( ) 2 = ln2 4 2 a a aa aF Fx    − = − − −      极小 0a ≥ ( ) 1F x a= − 极小 ( )F x 2 0a− < < ( ) 2 = ln2 4 2 a a aa aF Fx    − = − − −      极大 ( ) ( )1 1Fx aF = = − 极小 ( )F x时， ， . 设 ， ， 设 ，则 ， ， ， 在 上递增， 的值域为 ， ① 当 时, 为 上的增函数， ② ,符合条件. ③ 当 时， ， 不符合条件. ④ ，对于 ， 令 ， ，存在 ，使得 时， ， 在 上单调递减， 即在 时， ， 不符合条件. 综上， 的取值范围为 . 22.请考生在第（22）（23）两题中任选一题作答，如果两题都做，则按所做的第 一题记分，作答时请写题号． (22).已知曲线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 . （1）写出 的极坐标方程和 的直角坐标方程； 2a < − ( ) ( )1 1Fx aF = = − 极大 ( ) 2 = ln2 4 2 a a aa aF Fx    − = − − −      极小 ( )2 ( ) ( )sin 02 cos xh x ax xx = − ≥+ ( ) ( )2 1 cos 2 cos xh x a x +′ = − + cost x= [ ]1,1t ∈ − ( ) ( )2 1 2 2 tt t φ += + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 2 1 2 1 0 2 2 t t tt t t φ − + − − −′ = = ≥ + + ( )tφ∴ [ ]1,1− ( )tφ∴ 11 3  −  ， 1 3a ≥ ( ) ( )' 0,h x h x≥ [0, )+ ∞ ( ) ( )0 0h x h∴ ≥ = 0a ≤ 1 02 2 2h a π π  = − x∈R k { | 5 4 }x x x− 或≤ ≥ 1 2k− < ≤ ( ) ( ) ( )2 22 26 9 8 16 3 4 3 4f x x x x x x x x x= − + + + + = − + + = − + + ( ) ( )4f x f≥ 3 4 9x x− + + ≥ 4 3 4 9 x x x ，≤ −  − − − ≥ 4 3 3 4 9 x x x − < ( ) 3 4f x x x= − + + ( ) ( )3g x k x= − ( ) 2 1 4 3 4 7 4 3 2 1 3 x x f x x x x x x ， ， ， ， ， − − ≤ = − + + = − <