数学试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ，若 ，则
A. B. C. D.
2.若复数 z 满足 ，则 z 的实部为
A.1 B. C.2 D.
3.命题“ ”的否定是
A. B.
C. D.
4.首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设
备，他们购买该机床设备的概率分别为 ，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，
则三家企业中恰有 1 家购买该机床设备的概率是
A. B. C. D.
5.如图，双曲线 的右顶点为 A，右焦点为 F，点 B 在双曲线的右支
上，矩形 OFBD 与矩形 AEGF 相似，且矩形 OFBD 与矩形 AEGF 的面积之比为 2：1，则该双
曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
6.若 的展开式中 的系数为 ，则实数 的值为
A. B.2 C.3 D.4
7.函数 的部分图
象如图所示，若把 的图象向右平移 2 个单位长度后得到
{ } { }2 3 10 0 ,A x x x B x x m= − − ≤ = ≥ 2m ≤ −
A B⊂
≠ B A⊂
≠ A B = ∅ A B R∪ =
( )1 2 3 4i z i+ = −
1− 2−
2
0 0 02,x x xπ∃ ≥ ≥
2
0 0 02,x x xπ∃ < ≥ 2
0 0 02,x x xπ∃ < <
22,x x xπ∀ ≥ ≤ 22,x x xπ∀ ≥ <
1 1 1, ,2 3 4
23
24
5
24
11
24
1
24
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
2 2+
2
1 2+
2 2
( )421 ax x− + 5x 56− a
2−
( ) ( )sin 0, 2h t A t A
πω ϕ ω ϕ = + > < 0,
( ) ( )2~ , 0.6827X N P Xµ σ µ σ µ σ− < < + ≈，则 ( 2P Xµ σ− < <
)2µ σ+ ≈ 0.954520．(12 分)已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，
直线 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 ．
(1)求椭圆 C 的方程．
(2)不经过点 的直线 被圆 截得的弦长与椭圆
C 的长轴长相等，且直线 与椭圆 C 交于 D，E 两点，试判断 的周长是否为定值?若是，
求出定值；若不是，请说明理由．
21．(12 分)已知函数 ．
(I)当 时，求过点(0，1)且和曲线 相切的直线方程；
(2)若函数 在 上有两个不同的零点，求实致 的取值范围．
(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的参
数方程为 (t 为参数)．
(1)求曲线 的极坐标方程；
( )2 2
2 2 1 0x yC a ba b
+ = > >： 1 2,F F 6
3
1
2y = 1 1AF BF⊥
1 2F F和 ( ): 0, 0l y kx m k m= + < > 2 2 4x y+ =
l 2F DE∆
( ) 2 ,xf x e ax a R= − ∈
1a = ( )y f x=
( )f x ( )0,+∞ a
xOy 1C 2 2cos ,
2sin
x
y
α
α
= +
=
α 2C
2 3 ,
1 2
x t
y t
= +
= − +
1C(2)若曲线 与曲线 交于 P，Q 两点，且 ，求 的值
23．[选修 4—5：不等式选讲](10 分)
设函数
(1)若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
(2)若 ，求证：对任意的实数 ．
1C 2C ( )2, 1A − 1 1
AP AQ
+
( ) 2 .f x x x a= − − +
( ) 2f x < − 3
2x x > a
[ ]3, 1a ∈ − − ( ) ( ) ( ), , 2 2x y f y f x f y− + ≤ ≤ +数学试题答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 8.C 9.C 10.A 11.D 12.A
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 14. 0.148 15.12 16.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共 60 分．
17.（1） 且 ，等号两边同时除以 得 ，所
以数列 是公差为 的等差数列.（2 分）
因为 是等比数列，所以
又 ，所以 ，所以 ，（4 分）
所以 .（6 分）
（2）由（1）知 ，（8 分）
所以 （12 分）
18.解：（1）在 中，
由余弦定理可得
所以 ，所以
所以 是直角三角形， . （2 分）
又 ，所以 平面 ABE.（4 分）
因为 平面 ABE，所以 ，因为 ,
所以 平面 ABCD.（6 分）
（2）由（1）知， 平面 ABE，所以平面 平面 AEB，在平面 ABE 中，过点 B 作
，则 平面 BEC，如图，以 B 为原点，BE,BC 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标
1
2
− 2 2
0na ≠ ， 13 3 1n n n na a a a+− = + 13 ,n na a +
1
1 1 1
3n na a+
− =
1
na
1
3
{ }nb 2
2 6 4 ,b b b=
4 63, 9b b= = 29 9b = 2 1b =
( ) ( )1 2
1
1 1 1 1 21 1 1 1 ,3 3 3n
na b n na a
+= = = + − = + − =，故 3
2na n
= +
( )( )1
9 1 192 3 2 3n na a n n n n+
= = − + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 39 9 .3 4 4 5 2 3 3 3 3n
nS n n n n
= − + + − + ⋅⋅⋅ + − = − = + + + +
ABC∆ 2, 2 2, 45 ,BC AC ACB= = ∠ =
2 2 2 2 cos45 4AB BC AC BC AC= + − × × × = ，
2AB = 2 2 2 ,AC AB BC= +
ABC∆ AB BC⊥
,BE BC AB BE B⊥ ∩ = BC ⊥
AE ⊂ BC AE⊥ ,EA AC AC BC C⊥ ∩ =
AE ⊥
BC ⊥ BEC ⊥
Bz BE⊥ Bz ⊥ ,x y系 ，则 ,
因为 ，所以 ，易知 ,(7 分)
设平面 ADF 的法向量为
则
即
所以 为平面 ADF 的一个法向量，(9 分)
由（1）知 平面 ABCD，所以 为平面ABCD的一个法向量. （10分）
设二面角 的平面角为 ，
由图易知 为锐角，则
所以二面角 的余弦值为 .（12 分）
19.（1）由 ，
解得 .(4 分)
（2）依题意，
，
故
所以 故测量数据落在
内的概率约为 .（8 分）
（3）根据题意得
故生产该疫苗的平均成本为 75.04. （12 分）
20.（1）因为 ，所以 ，则 ，所以椭圆 C 的方程可
B xyz− ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0,2,0 , 4,0,0 , 1,0, 3 ,B C E A ( )1,1, 3D
2EF FC= 4 4, ,03 3F
( ) 1 40,1,0 , , , 33 3AD AF = = −
( ), ,m x y z= ，
0,
0,
AD n
AF n
⋅ = ⋅ =
0,
1 4 3 0, 3, 0, 93 3
y
x y z z y x
= + − = = = = 令 则 ，
( )9,0, 3n =
EA ⊥ ( )3,0, 3EA = −
F AD C− − α
α 24 2 7cos 72 3 2 21
EA n
EA n
α
⋅
= = =
×⋅
，
F AD C− − 2 7
7
( )10 0.009 0.022 0.033 0.024 0.008 1a a× + + + + + + =
0.002a =
170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24µ = × + × + × + × + × +
220 0.08 230 0.02 200× + × =
( )2~ 200,12.2X N ，
( ) ( )187.8 212.2 200 12.2 200 12.2 0.6827.P X P X< < = − < < + ≈
( )187.8 212.2， 0.682 7
0.4 170 0.02 0.4 180 0.09 0.4 190 0.22 0.4 200y = × × + × × + × × + × ×
( ) ( ) ( )0.33 0.8 210 100 0.24 0.8 220 100 0.08 0.8 230 100 0.02 75.04+ × − × + × − × + × − × =
6
3e =
2 2
2 2
21 3
c b
a a
= − =
2
2 2
2
1 33
b a ba
= =，即化为 ，
由 得 不妨令 （2 分）
易知
因为 ，所以 ,即 ，
又 ，所以
所以椭圆 C 的方程为 （5 分）
（2）由（1）知椭圆 C 的长轴长为 ，因为直线 被圆
截得的弦长为椭圆 C 的长轴相等，所以圆 的圆心 O（O 为坐标原点）到直线 l 的
距离 ，所以 ，即 （7 分）
设 ，联立方程，得 整理得
所以 ，又 ，
所以 易知
(9 分)
同理 （10 分）
2 2 23 3x y b+ =
2 2 23 3 ,
1 ,2
x y b
y
+ = =
2 33 ,4x b= ± − 2 23 1 3 13 , , 3 , ,4 2 4 2A b B b
− − −
( ) ( ) 2 2
1 2 1 1
3 1 3 1,0 , ,0 3 , , 3 , ,4 2 4 2F c F c F A b c F B b c
− = − + = − − +
，则
1 1AF BF⊥ 1 1 0F A F B⋅ = 2 2 3 13 04 4c b− + + =
2 2 2 2 2, 3a c b a b= + = 2 21 3b a= =， ，
2
2 1.3
x y+ =
2 3 ( ): 0, 0l y kx m k m= + < > 2 2 4x y+ =
2 2 4x y+ =
( )222 3 1d = − =
2
1
1
m
k
=
+
2 21 .m k= +
( ) ( )1 1 2 2, , ,D x y E x y
2
2 1,3
,
x y
y kx m
+ =
= +
( ) ( )2 2 23 1 6 3 1 0,k x kmx m+ + + − =
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 236 12 3 1 1 12 3 1 24 0,k m k m k m k∆ = − + − = − + = >
( )2
1 2 1 22 2
3 1 6, ,3 1 3 1
m kmx x x xk k
−
= + = −+ +
2
2 2 2
1 2 2
2 3 11 3 13 1
kDE k x x k mk
+= + − = + −+
2 21m k= +
2
2 6 ,3 1
mkDE k
= − + ( ) ( ) 22 22 1
2 1 1 12 2 1 3
xDF x y x= − + = − + − =
1 1
6 63 3 .3 3x x− = −
2 2
63 3EF x= − ，所以 ，
所以 的周长是 .
所以 的周长为定值，为 .（12 分）
21.（1）当 ，
当点 为切点时，所求直线的斜率为 ，则过点 且和曲线 相切的
直线方程为 （2 分）
当点 不是切点时，设切点坐标为 ，
则所求直线的斜率为 ，所以 ，①易知 ②
由①②可得
即
设
所以当 时， ，
所以 上单调递增，在 上单调递减，
又
所以 有唯一的零点 ，
因为 ，所以方程 的根为 ，即切点坐标为 ，
故所求切线的斜率为 ，则过点 且和曲线 相切的直线方程为
.（4 分）
综上，所求直线的方程为 或 .（5 分）
（2）解法一 ，
( )2 2 1 2 2
6 2 62 3 2 33 3 1
mkDF EF x x k
+ = − + = + +
2F DE∆
2 2
2 6 2 62 3 2 33 1 3 1
mk mk
k k
+ − =+ +
2F DE∆ 2 3
( ) ( )21 , 2x xa f x e x f x e x′= = − = −时，
( )0,1 ( )0 1f ′ = ( )0,1 ( )y f x=
1 0x y− + =
( )0,1 ( )0 0 0, , 0x y x ≠
( ) 0
0 02xf x e x′ = − 0 0
0
0
12x ye x x
−− = 0 2
0 0 ,xy e x= −
0 2
0 0
0
0
12
x
x e xe x x
− −− =
( )( )0 2 0 2 0
0 0 0 0 02 1, 1 1 0,x x xx e x e x x e x− = − − − − − =
( ) ( )1 1x xg x e x g x e′= − − = −，则 ，
0x > ( ) ( )0 0 0g x x g x′ ′> < ( )f x ( )h x
( ) ( )0 0,a h x h x≤ >时， ( )f x
0a > ( ) ( )2
x
ax xh x e
−′ = ( )0,2x ∈ ( ) ( )0 2,h x x′ < ∈ +∞，当
( ) 0h x′ > ， ( ) ( )0 2h x 在 ， ( )2 + ∞，
( ) 2
42 1 ah e
= − ( ) ( )0h x + ∞在 ，
( ) ( ) ( )2
2 0 04
eh a h x> < + ∞，即 ， 在 ， ( ) ( )0f x + ∞在 ，
( ) ( ) ( )2
2 0 04
eh a h x= = + ∞，即 ， 在 ， ( ) ( )0f x + ∞在 ，
x R∈ xe x> 3
3
x xe >
3
27
x xe >
3
127 x
x
e
< 27x a=
( )3 2 3
27 27
27 27 127 a a
a a
e e
= < ( ) 2 3
27
2727 1 0,a
ah a e
= − >
( ) ( )2 27h x a在 ，
( ) ( )0h x + ∞在 ， ( ) ( )0f x + ∞在 ，
( ) ( )0f x + ∞在 ， a
2
,4
e +∞
( ) 210 x
xf x a e
= =可得 ，
( ) ( )( )2
0,x
xk x xe
= ∈ +∞
( )f x ( )0,+∞ 1y a
= ( )k x ( )0,+∞
( ) ( ) ( )2 22 0 2,x x
x xx xk x k x xe e
−−′ ′= = = =，令 得当 时， 时， ，所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
所以 上的最大值为
因为 ，并且当 时，
所以当 时， 上的图象与直线 有两个不同的交点，（10 分）
即当 时，函数 上有两个不同的零点.
所以，若函数 上有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 .
（12 分）
22.（1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以其普通方程为 ，
又 ，所以其极坐标方程为 .
（4 分）
（2）设 P,Q 两点对应的参数分别为 ，
曲线 的参数方程 （t 为参数）可化为 （t 为参数），
代入曲线 的普通方程 ，可得
所以
则 .（10 分）
23.（1）因为不等式 的解集为 ，所以 是方程 的根，
( )0,2x ∈ ( ) ( )0 2,k x x′ > ∈ +∞，当 ( ) 0k x′ < ( )k x ( )0,2
( )2,+∞
( ) ( )0k x + ∞在 ， ( ) 2
42 ,k e
=
( )0 0k = 2x >
2
0,x
x
e
>
2
1 40 a e
< < ( ) ( )0k x + ∞在 ， 1y a
=
2
4
ea > ( ) ( )0f x + ∞在 ，
( ) ( )0f x + ∞在 ，
2
,4
e +∞
1C 2 2cos ,
2sin
x
y
α
α
= +
=
α
( )2 2 2 22 4 4 0x y x y x− + = + − =，即
cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 4 cos 0 =4cosρ ρ θ ρ θ− = ，即
1 2t t，
2C 2 3 ,
1 2
x t
y t
= +
= − +
32 ,
13
21
13
x t
y t
= +
= − +
1C 2 2 4 0x y x+ − = 2 4 3 0,
13
t t− − =
1 2 1 2
43, ,
13
t t t t= − + =
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 559
39
t t t t
AP AQ t t t t t t
+ −+ = + = = =
( ) 2f x < − 3
2x x > 3
2x = ( ) 2f x = −所以 ，解得 ，
当 的解集为 ，不合题意，舍去.
经验证，当 时不等式 的解集为 ，符合题意，所以 .
（5 分）
（2）因为 ，
即 ，
所以对任意的实数 ①
②
①+②得
因为 ，所以 ，
所以 .（10 分）
3 3 32 22 2 2f a = − − + = − 1 4a a= = −或
( )4 2a f x= − < −时， ∅
1a = ( ) 2f x < − 3
2x x > 1a =
( ) ( )2 2 2x x a x x a a− − + ≤ − − + = +
( ) 2f x a≤ +
( ), , 2 2 ,x y a f x a− + ≤ ≤ +
( ) ( )2 2 2 2 ,a f y a a f y a− + ≤ ≤ + − + ≤ − ≤ +，即
( ) ( )2 2 2 2a f x f y a− + ≤ − ≤ + ，
[ ]3, 1a ∈ − − 2 1, 2 1a a+ ≤ − + ≥ −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2f x f y f y f x f y− ≤ − ≤ − + ≤ ≤ +，则
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