武功县 2020 届高三摸底考试
理科数学参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1. A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D 7.D 8.A 9.C 10.D 11.A
12.B
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.240 14.64 15.36 16.
三、解答题(本大题共 70 分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 第 17~21 题为必
考题,每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答)
(一)必考题(共 60 分)
17.(本小题满分 12 分)
解:S△ABC= bcsinA= ,∴bc=4.
由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,
∴21=(b+c)2-2bc-2bccos120°=(b+c)2-2×4-2×4×(- )=(b+c)2-4,
∴b+c=5,而 c>b,∴b=1,c=4.°
18.(本小题满分 12 分)
解:(1)证明: 三棱柱 为直三棱柱,
在△ABC 中, ,
由正弦定理得
如图,建立空间直角坐标系,
则
(2) 如图可取 m 为平面 的法向量
设平面 的法向量为 n ,
则
不妨取
19.(本小题满分 12 分)
3
2
1
2 3
1
2
1 1 1ABC A B C−
1 1AB AA AC AA∴ ⊥ ⊥,
1, 3, 60AB AC ABC= = ∠ = °
30ACB∠ = °
90BAC∴∠ = ° AB AC⊥即
(0,0,0), (1,0,0)A B 1, (0, 3,0), (0,0, 3)C A
1(1,0,0),AB AC∴ = (0, 3, 3)= −
1 1 0 0AB AC⋅ = × +
3 0 ( 3) 0× + × − =
1AB AC∴ ⊥
(1,0,0)AB= =
1AAC
1A BC ( , , )l a b=
10, 0,BC AC⋅ = ⋅ = n n 1 3 0BC = −又 ( , ,)
3 0
3 3 0
l a
a b
− + =∴
− =
3 ,l a b a∴ = =
1, ( 3,1,1)a = =则n
cos ,
⋅< >= =⋅
m nm n m n 2 2 2 2 2 2
3 1 1 0 1 0
( 3) 1 1 1 0 0
× + × + ×
+ + ⋅ + +
15
5
=解:ξ 的可能取值为 3,4,5,6
, ,
, .
此时旧球个数 ξ 的概率分布列为
ξ 3 4 5 6
P
20.(本小题满分 12 分)
解:(1)由题意,设双曲线方程为
将点 代入双曲线方程,得 ,
即
所以,所求的双曲线方程为 ;
(2)由(1)知
因为 ,所以
又 在双曲线 上,则
.
21.(本小题满分 12 分)
解:(1)因为
令 得 ,
由 ,
在 根的左右的符号如下表所示
极小值 极大值 极小值
所以 的递增区间为 ,
的递减区间为
(2)由(1)得到 ,
.
要使 的图像与直线 恰有两个交点,只要 或 ,
即 或 .
(二)选考题(共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做,按所做的第一题
计分)
22.(本小题满分 10 分)
解:直线 的普通方程为 ,① l 3y x=
220
1)3( 3
12
3
3 ===
C
CP ξ
220
27)4( 3
12
2
3
1
9 =⋅==
C
CCP ξ
55
27)5( 3
12
1
3
2
9 =⋅==
C
CCP ξ
55
21)6( 3
12
3
9 ===
C
CP ξ
∴
220
1
220
27
55
27
55
21
2 2 ( 0)x y λ λ− = ≠
( )4, 10− ( )224 10 λ− − =
6λ =
2 2 6x y− =
( ) ( )1 22 3,0 , 2 3,0F F−
( )3,M m ( )1 2 3 3, ,MF m= − − − ( )2 2 3 3,MF m= − −
( )3,M m 2 2 6x y− = 2 3m =
1 2MF MF⋅ = ( )( ) 22 3 3 2 3 3 m− − − + = 12 9 3 0− + + =
3 2 2( ) 2f x x ax a x′ = + − ( 2 )( )x x a x a= + −
( ) 0f x′ = 1 2 32 , 0,x a x x a= − = =
0a >
( )f x′ ( ) 0f x′ =
x ( , 2 )a−∞ − 2a− ( 2 ,0)a− 0 (0, )a a ( , )a +∞
( )f x′ − 0 + 0 − 0 +
( )f x ↓ ↑ ↓ ↑
( )f x ( 2 ,0) ( , )a a− +∞与
( )f x ( 2 ) (0 )a a−∞ −, 与 ,
45( ) ( 2 ) 3f x f a a= − = −极小值
47( ) ( ) 12f x f a a= =极小值
4( ) (0)f x f a= =极大值
( )f x 1y = 4 45 713 12a a− < < 4 1a <
4 12
7a > 0 1a<