延边第二中学 2020 届高三第一次调研考试
数学（文）试题
本试卷共 23 题，共 150 分，共 6 页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔
迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超过答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. i 为虚数单位，设复数 z 满足 ，则复数 z 的模是（ ）
A．10 B．25 C．3 D．5
3．在 中，“ ”是“ ”的 ( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C．14 D．15
3 4i iz
+ =
ABC∆ A B> cos cosA B<
3a e= 3 3log 5 log 2b = − 2ln 3c = a b c
a c b> > b c a> > c a b> > c b a> >6．函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，且点 在角 的终边上，
则 （ ）
A． B． C． D． 7．一个几何体的三视图
如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
8． 若向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则向量 -2 与向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9.关于函数 ，下列叙述有误的是( ）
A．图象关于点 对称 B．图象关于直线 对称
C．值域是[－1,3]
D．图象由 图象上所有点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变得到
10． 定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，函
数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的零点
的的个数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11.历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比
( )log 4 2ay x= + + 0a > 1a ≠ A A θ
sin 2θ =
5
13
− 5
13
12
13
− 12
13
3
π
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
2sin 3 14y x
π = + +
,112
π
4
πx = −
2sin 14y x
π = + +
1
3
R ( )f x ( 1) ( 1)f x f x− = + [ 1,0]x∈ − 2( )f x x=
( )g x R 0x > ( ) lgg x x= ( ) ( ) ( )h x f x g x= −如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即 1，1，2，3，5，
8，13，21，34，55，89，144，233，….即 ，
，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有
着广泛的应用，若此数列被 4 整除后的余数构成一个新的数列 ，又记数列 满足
， ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．-728 C．-729 D．3
12 ． 已 知 为 定 义 在 上 的 可 导 函 数 ， 且 恒 成 立 ， 则 不 等 式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案写在答题纸上)
13．体积为 的球的内接正方体的棱长为_____________。
14．已知 且 ．求 _________.
15．在等差数列{an}中，已知 ，则 =_______________.
16．如图，向量 ， ， ， 是以 为圆心、 为半径的圆弧
上的动点，若 ，则 的最大值是______.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题.每个
试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题.考生根据要求作答。
(1) (2) 1F F= =
*( ) ( 1) ( 2)( 3, )F n F n F n n n N= − + − ≥ ∈
{ }nb { }nc
1 1c b= 2 2c b= *
1( 3, )n n nc b b n n N−= − ≥ ∈ 1 2 3 2019...c c c c+ + + +
( )f x ( )0,+∞ ( ) ( )'f x xf x>
( )2 1 0x f f xx
− >
( ),2−∞ ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( )2,+∞
4 3π
3 5 7 15a a a+ + = 4 83a a+
OA OB⊥ | | 2OA = 1OB = P O | |OA AC
OP mOA nOB= + mn（一）必考题：共 60 分
17.（本小题满分 12 分）
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
.
（1）求 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
18. （本小题满分 12 分）
已知数列 满足 ， ， .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）求数列 的前 项和.
19. （本小题满分 12 分）
2019 年，河北等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，
然后考生先在物理、历史中选择 1 门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择 2 门.为了更好
进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎
叶图如图所示.
(1)若甲同学随机选择 3 门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；
(2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；
(3)甲同学发现，其物理考试成绩 (分)与班级平均分 (分)具有线性相关关系，统计数据如下表
ABC∆ A B C a b c
2sin sinsin sin sinsin
B Cb B c C a AA
+ = +
A
2a = π
3B = ABC∆
{ }na 1 1a = 1 4 3 1n na a n+ = + − n nb a n= +
{ }nb
{ }na n
y x所示，试求当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩.
参考数据: ， ， ， .
参考公式： ， ， (计算 时
精确到 ).
20. （本小题满分 12 分）
如图，在多面体 中，四边形 是正方形， 是正三角形，
， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求多面体 的体积.
21.（本小题满分 12 分）
7
2
1
34840i
i
x
=
=∑ 7
2
1
50767i
i
y
=
=∑ 7
1
41964i i
i
x y
=
=∑ 7
1
( )( ) 314i i
i
x x y y
=
− − =∑
y bx a= + 1 1
22 2
1 1
( )( )
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y n x y
b
x x x n x
= =
= =
− − − ⋅ ⋅
= =
− − ⋅
∑ ∑
∑ ∑
a y b x= − ⋅ a b，
0.01已知函数 （ 为常数）．
（1）若函数 在 处的切线方程为 ，求 ；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22.（选修 4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分 10 分）
已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建
立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线 交于 两点，求 .
23.（选修 4-5：不等式选讲）（本小题满分 10 分）
已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 的解集为 R，求 的取值范围．
( ) ln 2 1xf x ax bx
= + − − ,a b
( )f x 1x = 2 4 0x y− − = ,a b
( ], 0,a b x e= ∈ ( ) 1f x x
≤ a
l
1 3
2 4
x t
y t
= − +
= − t x
C 2 2 cos 4
πρ θ = −
l C
l C ,A B AB
( ) | 1| | |f x x x a= + + −
2a = ( ) 5f x <
( ) 2f x ≥ a延边二中 2020 届高三数学（文）第一次调研考试参考答案
一、 选择题
BDACD CABAD DC
二、 填空题
13. 2 14． 15. 20 16．1
三、解答题
17.（1）因为 ，
由正弦定理可得： ，即 ，
再由余弦定理可得 ，即 ,所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
由正弦定理 ，可得 . .
18.证明：（1）∵ ，∴ .
又∵ ，∴ .
又∵ ，
∴数列 是首项为 2，公比为 4 的等比数列.
（2）由（1）求解知， ，
∴ ，
∴
2sin sinsin sin sinsin
B Cb B c C a AA
+ = +
2 2 2 bcb c a aa
+ = +
2 2 2 2b c a bc+ − =
2 cos 2bc A bc= 2cos 2A =
4A
π=
3B
π= ( ) 6 2sin sin 4C A B
+= + =
sin sin
a b
A B
= 3b = 1 3 3sin2 4ABCS ab C∆
+= =
n nb a n= + 1 1 1n nb a n+ += + +
1 4 3 1n na a n+ = + − ( )1 1 4 3 1 11 nn n
n n n
a n nb a n
b a n a n
+ + + − + ++ += =+ +
( )4 4n
n
a n
a n
+= =+
1 1 1 1 1 2b a= + = + =
{ }nb
12 4n
nb −= ×
12 4n
n na b n n−= − = × −
( ) ( )2 1
1 2
2 1 4 12(1 4 4 4 ) (1 2 3 ) 1 4 2
n
n
n n
n nS a a a n−
− += + +…+ = + + + + − + + + + = −− .
19．(1)记物理、历史分别为 ，思想政治、地理、化学、生物分别为 ，
由题意可知考生选择的情形有 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ，共 12 种
他选到物理、地理两门功课的满情形有 ，共 3 种
甲同学选到物理、地理两门功课的概率为
(2)物理成绩的平均分为
历史成绩的平均分为
由茎叶图可知物理成绩的方差 历史成绩的方差
故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最
高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可)
(3) ， ,
关于 的回归方程为
当 时， ,当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩为 73 分
20. 证明：（1）取 中点 ，连 ，∵ ，
∴四边形 ， 是平行四边形，∴ ， ，
在正方形 中， ，∴ ，∴四边形 为平行四边，∴ ，
∵ ，∴平面 平面 ，
( ) 22 1 14 13 2 2
n n n= − − −
1 2,A A 1 2 3 4, , ,B B B B
{ }1 1 2, ,A B B { }1 1 3, ,A B B { }1 1 4, ,A B B { }1 2 3, ,A B B
{ }1 2 4, ,A B B { }1 3 4, ,A B B { }2 1 2, ,A B B { }2 1 3, ,A B B { }2 1 4, ,A B B { }2 2 3, ,A B B
{ }2 2 4, ,A B B { }2 3 4, ,A B B
{ }{ }{ }1 1 2 1 2 3 1 2 4, , , , , ,A B B A B B A B B
∴ 3 1
12 4P = =
76 82 82 85 87 90 93 857x
+ + + + + += =物理
69 76 80 82 94 96 98 857x
+ + + + + += =历史
2s ( )1 1 2f a′ = + = 1a =
( )1, 2− ( )1 2 1 2f a b= − − = − 1b =
1, 1a b= =
( ], 0,a b x e= ∈ ( ) ( )1 1 0f x xf xx
≤ ⇔ − ≤
( ) ( ) ( )21 ln 2 1 1g x xf x x ax a x= − = + − + −
( ) ( ) ( )( ) ( ]22 2 1 1 2 1 1 , 0,ax a x ax xg x x ex x
− + + − −′ = = ∈（1）当 时， ，所以 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以函数 在 上的最大值为 ，
（2）当 时，令 ，得 或 ．
①当 ，即 时，函数 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以函数 在 上的最大值为 ，
由 ，得 ；
②当 ，即 时，函数 在 上为增函数，在 上为减函
数，
所以函数 在 上的最大值为 ，
因为 成立，
由 ，得 ；
所以 ；
③当 ，即 时，函数 在 上为增函数，
所以函数 在 上的最大值为 成立；
④当 ，即 时，
在 上为增函数，在 上为减函数，
所以函数 在 上的最大值为 ，
因为 成立，由 ，
得 ，而 ，所以 ；
⑤当 ，即 时，函数 在 上为增函数，在 上为减函数，
0a = ( ) 1 xg x x
−′ = ( )g x ( )0,1 ( ]1,e
( )g x ( ]0,e ( )1 2 0g = − <
0a ≠ ( ) 0g x′ = 1
2x a
= 1x =
1 02a
< 0a < ( )g x ( )0,1 ( ]1,e
( )g x ( ]0,e ( ) ( )1 2 1 1g a a= − + −
( )1 0g ≤ 2 0a− ≤ <
10 12a
< < 1
2a > ( )g x ( ]10, , 1,2 ea
1 ,12a
( )g x ( ]0,e ( )1max ,2g g ea
( )21 1 1 1 1 1ln 2 1 1 ln 2 02 2 2 2 2 4g a aa a a a a a
= + ⋅ − + ⋅ − = − −
− < < −
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