淄博实验中学高三级部第一学期学习效果检测试题
数 学
第 I 卷（共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知命题 ， .则命题 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充 分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 ，则下列成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则 的最小值是（ ） 山东中学联盟
A． B． C．5 D．4
6．已知 的等比中项为 2，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4
7．已知等差数列 中， ，前 7 项的和 ，则前 n 项和 中( )
A．前 6 项和最大 B．前 7 项和最大 C．前 6 项和最小 D．前 7 项和最小
8．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把 100 个面包
分给 5 个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则
最小一份的量为（ ）
{ }| 3A x N x= ∈ < { }2| 0B x x x= − ≤ A B =
](0,1 { }1 [ ]0,1 { }0,1
:p x R∀ ∈ 1 sinxe x≥ + p¬
x R∀ ∈ 1 sinxe x< + x R∀ ∈ 1 sinxe x≤ +
0x R∃ ∈ 0
01 sinxe x≤ + 0x R∃ ∈ 0
01 sinxe x< +
a b R∈ a b≥ a b>
a b>
a b> 2 2a b> 2 2
a b
c c
> 2 2ac bc>
0, 0, 2a b a b> > + = 1 4y a b
= +
9
2
7
2
0, 0, ,a b a b> > 1 1a bb a
+ + +
2
{ }na 1 11a = 7 35S = nS
1
7A． B． C． D．
9． 若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
10．点 为椭圆 的一个焦点，若椭圆上存在点 使 （ 为坐
标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ， ，当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
12．已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ，线段
的垂直平分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值
为（）
A． B．3 C．6 D．
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、 填空题：（请把答案填在题中横线上每小题 5 分，共 20 分）．
13．在 的展开式中， 的系数为__________．（用数字作答）
14．现有 3 位男学生 3 位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3 位女学生中有且只有两位
相邻，则不同的排法种数是_____．（用数字作答）
15．设 ，若
，则实数 ________.
5
2
5
4
5
3
5
6
2 2
2 2 1x y
a b
− = 2y x=
5
2 5 6
2
F
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > A AOF∆ O
3 1
2
−
3 1− 2 1
2
−
2 1−
0m > 0xy > 2x y+ = 2 4m
x y
+ ≥ m
)2, +∞ [ )2,+∞ (0, 2 ( ]0,2
1 2F F， 1 2PF PF>
1PF 2F 1e 2e 2
1
e2
e 2
+
6 3
62(3 )x x
− 2x
2018 2 2018
0 1 2 2018(1 )ax xa xa axa− = + + + +
1 2 3 20182 3 2018 2018a a a a a+ + +…+ = ( )0a ≠ a =16．已知函数 在 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数
为 ，当 时，有不等式 成立，若对 ，不等式
恒成立，则正整数 的最大值为_______. 山东中学联盟
三．解答题：（本大题共 6 小题，共 7 0 分．解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤）．
17．（本小题满分 10 分）等差数列 中，公差 ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 为矩形，
是以 为直角的等腰直角三角形，平面 ⊥平面 ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2) 为直线 的中点，且 ，求二面角 的余弦值.
19．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 的四个顶点围成的四边形的
面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为椭圆 的右顶点，过点 且斜率不为 0 的直线 与椭圆 相交于 ， 两
点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证: 为定值．
20．（本小题满分 12 分）2020 年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。
某省采用 模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还要
依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、
物理、化学、生物 6 门科目中自选 3 门参加考试（6 选 3），每科目满分 100 分.为了应对新高
考，某学校从高一年级 1000 名学生（其中男生 550 人，女生 450 人）中，根据性别分层，采
用分层抽样的方法从中抽取 100 名学生 进行调查.
（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个
( )y f x= R
( )f x′ 0x > ( ) ( )2 2x f x xf x′ > − x R∀ ∈
( ) ( )2 2 2 0x xe f e a x f ax− > a
{ }na 0d ≠ 5 14a = 2
3 1 11a a a=
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= { }nb n nS
P ABCD− ABCD
APB∆ P∠ PAB ABCD
PAD PBC
M PC 2AP AD= = A MD B− −
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2
2
C
4 2
C
M C (6,0)N l C P Q
PM QM 1k 2k 1 2k k⋅
3 3+科目的选课情况，对抽取到的 100 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须
选择一个科目且只能选择一个科目），如下表是根据调查结果得到的 列联表.请求出 和 ，
并判断是否有 的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
选择“物理” 选择“历史” 总计
男生 10
女生 25
总计
（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出 9 名女生，再从这 9
名女生中随机抽取 4 人，设这 4 人中选择“历史”的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
参考公式：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．（本小题满分 12 分）已知函数 .
（Ⅰ）若函数 在 上是单调递增函数，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 ，对任意 ，不等式 恒成立，求
实数 的取值范围.
22．（本小题满分 12 分）随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国
务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF 快递收取快递费的标
准是：重量不超过 1kg 的包裹收费 10 元；重量超过 1kg 的包裹，在收费 10 元的基础上，每
超过 1kg（不足 1kg，按 1kg 计算）需再收 5 元.某县 SF 分代办点将最近承揽的 100 件包裹的
重量统计如下：
重量（单位：kg） （0，1] （1，2] （2，3] （3，4] （4，5]
件数 43 30 15 8 4
对近 60 天，每天揽件数量统计如下表：
2 2× a b
99%
a
b
X X
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2P K k>
k
21( ) ln 1( )2f x x a x a R= − + ∈
( )f x [1,2] a
2 0a− ≤ < [ ]1 2, 1,2x x ∈ 1 2
1 2
1 1( ) ( )f x f x m x x
− ≤ −
m件数范围 0~100 101~200 201~300 301~400 401~500
件数 50 150 250 350 450
天数 6 6 30 12 6
以上数据已做近似处理，将频率视为概率.
（1）计算该代办点未来 5 天内不少于 2 天揽件数在 101~300 之间的概率；
（2）①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；
②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其
余的用作其他费用.目前该代办点前台有工作人员 3 人，每人每天揽 件不超过 150 件，日工资
110 元.代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后代办点每日利润的数
学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员 1 人？
高三级部第一学期学习效果检测参考答案
1．D2．D3．D4．C5．A6．C7．A8．C9．A10．B11．B12．C
13．4860 14．72 15． 16．
17．解：（1）因为 ， ，所以
因为 ，所以 故 的通项公式为 .
（2）因为 ，
所以 .
18．（Ⅰ）证明： 为矩形， ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，则 ，
又 ， ，
平面 ，而 平面 ，
平面 平面 ；
（Ⅱ） 取 中点 O，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
2 2
5 14a = 2
3 1 11a a a= ( ) ( )
1
2
1 1 1
4 14,
2 10 ,
a d
a d a a d
+ = + = +
0d ≠ 1 2,
3,
a
d
=
=
{ }na ( )1 1 3 1na a n d n= + − = −
( )( )1
1 1 1 1 1
3 1 3 2 3 3 1 3 2n
n n
b a a n n n n+
= = = − − + − +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 5 8 3 1 3 2 3 2 3 2 6 4n
nS n n n n
= − + − + + − = − = − + + +
ABCD AD AB∴ ⊥
PAB ⊥ ABCD PAB ∩ ABCD AB=
AD∴ ⊥ PAB AD PB⊥
PA PB⊥ PA AD A∩ =
PB∴ ⊥ PAD PB ⊂ PBC
PAD ⊥ PBC
AB ,OP OB ,x y由 ， 是以 为直角的等腰直角三角形，得：
，
．
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，取 ，得 ；
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，取 ，得 .
．∴二面角 的余弦值为 ．
19．（1）由题意有 ，∴椭圆 C 的标准方程为 ．
（2）由（1）可知 ，依题意得直线 l 的斜率存在，设其方程为 ，
设 ， ， ，
联立方程 ，整理 可得 ，
, ，
2AP AD= = APB∆ P∠
( ) ( ) ( ) 2 20, 2,0 , 0, 2,2 , 0, 2,0 , , ,12 2A D B M
− −
2 3 2 2 3 2 2 2, , 1 , , ,1 , , , 12 2 2 2 2 2MA MD MB = − − − = − − = − −
MAD ( ), ,m x y z =
2 3 2 02 2
2 3 2 02 2
m MA x y z
m MD x y z
⋅ = − − − =
⋅ = − − + =
1y = ( )3,1,0m = −
MBD ( ), ,n x y z =
2 3 2 02 2
2 2 02 2
n MD x y z
n MB x y z
⋅ = − − + =
⋅ = − + − =
x 1= ( )1,-1,- 2=n
1cos 5
0,
⋅∴ = = −
⋅
m nm n
m n
A MD B− − 10
5
2 2 2
2
22
2 4 2 2
2
ce aa
ab b
a b c c
= = = = ⇒ =
= + =
2 2
14 2
x y+ =
(2,0)M ( 6)( 0)y k x k= − ≠
( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y ( )1 22 2x x≠ ≠,
2 2
14 2
( 6)
x y
y k x
+ =
= −
2 2 2 2(1 2 ) 24 72 4 0k x k x k+ − + − =
2
1 2 2
24
1 2
kx x k
+ = +
2
1 2 2
72 4
1 2
kx x k
−= +
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( 6)( 6) [ 6( ) 36].2 2 2( ) 4 2( ) 4
y y k x x k x x x xk k x x x x x x x x x x
− − − + += = =− − − + + − + += 为定值.
20．（1）由题意，男生人数为 ，女生人数为 ，
所以 列联 表为：
选择“物理” 选择“历史” 总计
男生 45 10 55
女生 25 20 45
总计 70 30 100
， .
假设 ：选择科目与性别无关，所以 的观测值
，
查表可得： ，所以有 的把握 认为选择科目与性别有关.
（2）从 45 名女生中分层抽样抽 9 名女 生，所以这 9 名女生中有 5 人选择物理，4 人选择历史，
9 名女生中再选择 4 名女生，则这 4 名女生中选择历史的人数 可为 0，1，2，3，4.设事件
发生概率为 ，则
， ， ，
， .
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
所以 的数学期望 .
2 2
2
2 2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
2 2
72 4 144[ 36] [72 4 144 36(1 2 )] 321 2 1 2 172 4 48 72 4 48 4(1 2 ) 32+41 2 1 2
k kk k k k k kk k
k k k k k k
k k
− − + − − + ++ + = = =− − − + +−+ +
550100 551000
× = 450100 451000
× =
2 2×
45a = 20b =
0H 2K
( )2100 45 20 25 10 8.129 6.63570 30 55 45k
× − ×= ≈ >× × ×
( )2 0.01P K k≥ < 99%
X X
( )P X
( ) 4
5
4
9
50 126
CP X C
= = = ( ) 3 1
5 4
4
9
401 126
C CP X C
= = = ( ) 2 2
5 4
4
9
602 126
C CP X C
= = =
( ) 1 3
5 4
4
9
203 126
C CP X C
= = = ( ) 4
4
4
9
14 126
CP X C
= = =
X
X
P 5
126
20
63
10
21
10
63
1
126
X 5 40 600 1 2126 126 126EX = × + × + × 20 1 163 4126 126 9
+ × + × =21．（Ⅰ）易知 不是常值函数，∵ 在 上是增函数，
∴ 恒成立，所以 ，只需 ；
（Ⅱ）因为 ，由（Ⅰ）知，函数 在 上单调递增，不妨设 ，
则 ，可化为 ，
设 ，则 ，
所以 为 上的减函数，即 在 上恒成立，
等价于 在 上恒成立，
设 ，所以 ，
因 ，所以 ，所以函数 在 上是增函数，
所以 （当且仅当 时等号成立）． 山东中学联盟
所以 ．即 的最小值为 12．
22．（1）由题意，可得样本中包裹件数在 101~300 之间的天数为 36，频率 ，
故可估计概率为 ，
显然未来 5 天中，包裹件数在 101~300 之间的天数服从二项分布，即 ，
故所求概率为 .
（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位：kg） 1 2 3 4 5
快递费（单位：元） 10 15 20 25 30
包裹件数 43 30 15 8 4
故样本中每件快递收取的费用的平均值为 ，
故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为 15 元.
②代办点不应将前台工作人员裁员 1 人，理由如下：
( )f x 21( ) ln 12f x x a x= − + [ ]1,2
'( ) 0af x x x
= − ≥ 2a x≤ 2
min( ) 1a x≤ =
2 0a− ≤ < ( )f x [1,2] 1 21 2x x≤ ≤ ≤
( ) ( )1 2
1 2
1 1f x f x m x x
− ≤ − 2 1
2 1
( ) )m mf x f xx x
+ ≤ +（
21( ) ( ) ln 12
m mh x f x x a xx x
= + = − + + 1 2( ) ( )h x h x≥
( )h x [1,2] 2( ) 0a mh x x x x
= − − ≤′ [1,2]
3m x ax≥ − [1,2]
3( )g x x ax= − max( )m g x≥
2 0a− ≤ < 2'( ) 3 0g x x a= − > ( )g x [1,2]
max( ) (2) 8 2 12g x g a= = − ≤ 2a = −
12m ≥ m
36 3
60 5f = =
3
5
35 5X B～（ ，）
0 5 1
5 5
3 3 3 28531 0 1 1 1 15 5 5 3125P X P X C C− = − = = − × − − × × − =4（ ） （ ） （ ） （ ）
10 43 15 30 20 15 25 8 30 4 15100
× + × + × + × + × =根据题意及（2）①，搅件数每增加 1，代办点快递收入增加 15（元），
若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，代办点每日揽件数情况如下：
包裹件数范围 0~100 101~200 201~300 301~400 401~500
包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450
实际揽件数 50 150 250 350 450
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
EY
故代办点平均每日利润的期望值为 （元）；
若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，代办点每日揽件数情况如下：
包裹件数范围 0~100 101~200 201~300 301~400 401~500
包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450
实际揽件数 50 150 250 300 300
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
EY
则代办点平均每日利润的期望值为 （元），
故代办点不应将前台工作人员裁员 1 人.
50 0.1 150 0.1 250 0.5 350 0.2 450 0.1 260× + × + × + × + × =
1260 15 3 110 9703
× × − × =
50 0.1 150 0.1 250 0.5 300 0.2 300 0.1 235× + × + × + × + × =
1235 15 2 110 9553
× × − × =
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