2019-2020 学年（上）高三第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．设 ，其中 x，y 是实数，则
A．1 B． C． D．2
3．若 ，则
A． B．
C． D．
4．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若 变量满足 则使 取得最小值的最优解为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ，且满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． 或 B． C． D．
7．已知 ，且，函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递
减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．函数 的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
9．已知平面向量 与 的夹角为 ，且 ，则 （）
2{ | 4 3 0}A x x x= − + < { | 2 3 0}B x x= − > A B =
3( 3, )2
− − 3( 3, )2
− 3(1, )2
3( ,3)2
1 0 1a b c> > < a
1a < − 2a > 1 a 2− < < 2a > 2a <
0a > ( ) log (6 )af x ax= − 1 3a< < ( )f x (1,2)
a b 2
3
π 1, 2 2b a b= + = =aA． B． C． D．
10．在锐角三角形 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a7=5，S5=-55，则 nSn 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 的导函数 满足 对 恒成立，
则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．设 ，则 ________.
14．函数 的值域为________．
15．若存在等比数列 ，使得 ，则公比 的取值范围为___．
16．已知函数 满足：①当
时，方程 无解；②当 时，至少存在一个整数 使 .则实数
的取值范围为___________．
三、解答题（70 分）
17．（10 分）已知不等式 的解集是 .
（Ⅰ）求集合 ；
1 2 3 2 3
ABC 1cos , 7, 2 36 7A AB AC
π + = − = = AB BC⋅
40− 40 34− 34
343− 324− 320− 243−
( )f x ( )'f x ( ) ( ) ( )ln 'x x x f x f x+ < 1 ,x e
∈ +∞
( ) ( )2 1 ef f> ( ) ( )2e 1 ef f> ( ) ( )2 1 ef f< ( ) ( )e 1 ef f<
21 0 1( )
cos 0
x xf x
x x
− ≤ ≤=
{ }na ( )1 2 3 16 9a a a a+ = − q
( )
( )
[ ]
( )
2
, ,0 ,
6 20 13, 0,2 ,
6 , 2, ,
ln x x
f x x x x
xx
− ∈ −∞
= − + − ∈
∈ +∞
( ) ( )2g x ax a R= − ∈ 0x <
( ) ( )f x g x= 0x > 0x ( ) ( )0 0f x g x≥ a
0342 Ra ∈( )0≠a C ,φ≠∩ CA a
( ) 2 13sin sin cos2 2 2f x x x x
π π = − + + −
,3 2x
π π ∈ −
( )f x a≥ a
( )y f x=
6
π ( )y g x= ( ) 1
3y g x= − [ ],3π π−
{ }na ( )*
1
1 02 n na a n N+ − = ∈ 2 3 4, 2,a a a+
{ }na
( )*
1
1 1
1 1n
n n
b n Na a +
= − ∈− − { }nb n nT nT21．（12 分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效
率和降低物流成本，已知购买 台机器人的总成本 万元．
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达
指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量
（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为 件，
问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减
少百分之几？
22．（12 分）已知函数 .
（1）求证：对任意实数 ，都有 ；
（2）若 ，是否存在整数 ，使得在 上，恒有 成立？
若存在，请求出 的最大值；若不存在，请说明理由.（ ）
2019-2020 学年（上）高三第一次月考数学试卷（理科）参考答案
1 ． D 因 为 所 以
故选 D.
2．B 因为 所以 故选 B.
3．C 用特殊值法，令 ， ， 得 ，选项 A 错误， ，选项
B 错误， ，选项 C 正确， ，选项 D 错误，故选 C．
( ) ln 1f x x x ax a= + + −
a min[ ( )] 1f x ≤
2a = k (2, )x∈ +∞ ( ) ( 1) 2 1f x k x k> + − −
k 2.71828e =
2 3{ | 4 3 0}={ |1 3}, ={ | },2A x x x x x B x x= + < < < >-
3 3={ |1 3} { | }={ | 3},2 2A B x x x x x x< < > <
1 1
2 23 2 2 3× > ×
2 3
13log 2log 22
< 3 2
1 1log log2 2
>4．D ，
且 ，故选 D.
5.C 联立直线方程： ，可得点的坐标为： .本题选择 C 选项.
6．B 由函数的解析式易知函数为偶函数，且当 时， ，故函数在
区间 上单调递减，结合函数为偶函数可知不等式 即
，
结合偶函数的单调性可得不等式 ，求解绝对值不等式可得 的取值范围为
.本题选择 B 选项.
7．A ,且 ， 为减函数. 若 在 上单调递减，则 .且
，则 . 是 的充分不必要条件. 故选 .
8．C 因为 为奇函数，所以排除 B,D，当 且 时， ，排除 A
9．B 由题意可得： ，
则： ，据此可得： . 本题选择 B 选项.
10．A 由同角三角函数基本关系可得 ，
则 ，
由余弦定理可得 , 则 ，
结合平面向量数量积的定义可得： .
11．A ∵ 解得 ∴ 设
当 0 nnS
( )f xgx 1 lnx
，= +
1x ,e
∞ ∈ +
1
x
−
( )( ) ( )
( )2
1f' x 1 lnx f x x
1 lnx
+ −
=
+
1x ,e
∞ ∈ +
ge g1< ( ) ( )f e f 1
2 1
< ( ) ( )2f 1 f e>13． ， 由题意得， ，根据定积分的几何意义可知，
表示的是在 x 轴上方的半径为 1 的四分之一圆的面积，如
图（阴影部分）：
故 ，又 ，
所以 . 所以本题答案为
.
14． 由题 单调递增，∴ ,又 = ,
故函数的值域为 ，故答案为 .
15． ， ， .当
时，易知 满足题意，但 ；当 时， ，
解得 ，综上， .
故答案为
16． 绘制函数 的图像如图所示，函数 恒过点 ，（1）当
时，方程 无解，考查临界情况，当 时， ，
，设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
故切线方程为 ，切线过点 ，
则： ，解得： ，故切线的斜率 ，
据此可得 ，
（2）当 x≥0 时 时 ，点
两点连线的斜率 ，
时 ， ，点
两点连线的斜率 ，
据此可得 ， 综上可得，实数 的取值范
围为 .
1 4
π+
1 0 1
2
0
2 2
( ) cos 1f x dx xdx x dx
π π− −
= + −∫ ∫ ∫
1
2
0
1 x dx−∫
1
2
0
1 4x dx
π− =∫
0
0
2
2
cos sin | sin 0 sin( ) 12xdx x π
π
π
−
−
= = − − =∫
1 0 1
2
0
2 2
( ) cos 1 1 4f x dx xdx x dx
π π
π
− −
= + − = +∫ ∫ ∫
1 4
π+
( 5,3]− ( ) xx 2,f x 2 5≤ = − ( ) ( ]f x 5, 1∈ − − ( )f x [ ]3sinx 3,3∈ −
( ] [ ] ( ]5, 1 3,3 5,3− − ∪ − = − ( ]5,3−
1 5 1 5,0 0,2 2
− − − +∪
( )2
2 3 1a a a q q+ = + ( )2 2
1 1a q q 6a 9 0∴ + − + =
2q q 0+ = q 1= − q 0≠ 2q q 0+ ≠ ( )236 36 q q 0= − + ≥
1 5 1 5q2 2
− − − +≤ ≤ 1 5 1 5q ,0 0,2 2
− − − +∈ ∪
1 5 1 5,0 0,2 2
− − − +∪
3 3e a− < ≤ ( )f x ( )g x ( )0, 2− 0x <
( ) ( )f x g x= 0x < ( ) ( )lnf x x= − −
( ) ( )1 11f x x x
= − ⋅ − = −−
′ ( )( )0 0, lnx x− −
0
1k x
= −
( ) ( )0 0
0
1lny x x xx
+ − = − − ( )0, 2−
( ) ( )0 0
0
12 ln 1x xx
− + − = − ⋅ − = 3
0x e= − 3
3
1k ee
− = − = −
3a e−>
1x = 26 20 13 1x x− + − =
( ) ( )0, 2 , 1,1− 2 1 30 1k
− −= =−
2x = 26 20 13 3x x− + − = 6 2x
=
( ) ( )0, 2 , 2,2− 3 2 5
2 0 2k
+= =−
3a ≤ a
3 3e a− < ≤17．解: （Ⅰ） （Ⅱ） ; （Ⅲ）设
时, ; 时,
则 的取值范围是
18．（Ⅰ）由已知，根据正弦定理，asinA-csinC=（a-b）sinB 得，a2-c2= b（a-b），
即 a2+b2-c2=ab． 由余弦定理得 cosC= = ． 又 C∈（0，π）．所以 C= ．
（Ⅱ）∵C= ， ，A+B= ， ∴ ，
可得：a= sinA，b= sinB= sin（ －A），∴a+b+c= + sinA+
sin（ －A） = + sinA+ （ cosA+ sinA）
=8sin（A+ ）+4 ∵由 0＜A＜ 可知， ＜A+ ＜ ，可得： ＜sin（A+ ）≤1．
∴△ABC 的周长 a+b+c 的最大值为 12．
19．（1） . 若对任意 ，都有
成立，则只需 即可 ∵ ，∴ ，
∴当 ，即 时， 有最小值 ，故 .
（2）依题意可得 ，由 得 ，由图可知， 在
上有 4 个零点： ，根据对称性有 ，从而所有零点和为
.
20．（1）由 知 数列 是等比数列，且公比为 .
成等差数列，
（2）
易知 单调递减， 当 时，
的取值范围为
21．（1）由总成本 万元，可得每台机器人的平均成本
，当且仅当 ，即当 时，等号成立，所以，若使每台机器人
);3,1(=A 3≥a =)(xg 2 2 2ax x a− −
0.10 >a 7
60)3( >⇒> ag 0.20 0，函数 t（ ）单调递增； 时， − ( ) ln (1 ) 2t x x x k x k= + − +
( ) ln 2t x x k′ = + − ( ) ln 2t x x k′ = + − 2kx e −=
2 2ke − ≤ 2 ln 2k ≤ + (2, )x∈ +∞ ( ) 0t x′ >
( ) (2) 2 2ln 2 0t x t> = + >
2 2ke − > 2 ln 2k > + 2(2, )kx e −∈ ( ) 0t x′ < 2(2, )kx e −∈
2( , )kx e −∈ +∞ ( ) 0t x′ > 2( , )kx e −∈ +∞
(2, )x∈ +∞ 2 2
min( ) ( ) 2k kt x t e k e− −= = −
ln ( 2)x x x k x+ > − 2 2
min( ) ( ) 2 0k kt x t e k e− −= = − >
2 2( ) 2 , ( ) 2k km k k e m k e− −′= − ∴ = − 2( ) 2 0km k e −′ = − = 2 ln2k = +
2 ln 2k > + ( ) 0m k′ < ( )m k
4 2 2(4) 2 4 8 0m e e−= × − = − > 4 2 3(5) 2 5 10 0m e e−= × − = − < max 4k =
微信/支付宝扫码支付