2017 级高三上学期段考(二)
数 学 试 题
一、选择题(本大题共 13 小题,每小题 4 分,共 52 分. 其中 1-10 题是单选题,
11-13 题是多选题)
1. 设集合 ,则 ( )
A. B. C D.
2.已知 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
3. 已知 是等差数列 的前 n 项和, ,则 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4. 命题为“ ”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
5.已知 ,则 的最小值是( )
A. B. C.5 D.4
6. 函数 (其中 e 为自然对数的底数)的图象大致为( )
7. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 满 足 , 且 当
时, ,则 ( )
A.0 B.1 C.
D.2
8.若非零向量 满足 ,向量 与 垂直,则 与 的夹角为
2{ 1 2 1 3}, { log }A x x B x y x= − ≤ + ≤ = = A B =
(0,1] [ 1,0]− [ 1,0)− [0,1]
2
3 3
3
2
1 1, , log3 2a b c π = = = , ,a b c
a b c> > a c b> > c a b> > c b a> >
nS { }na 3 7 78, 35a a S+ = = 2a =
[ ] 21,2 ,2 0x x a∀ ∈ − ≥
1a ≤ 2a ≤ 3a ≤ 4a ≤
0, 0, 2a b a b> > + = 1 4y a b
= +
7
2
9
2
( ) ( )
1
1
x
x
ef x
x e
+=
−
( )f x ( ) ( ) ( ) ( ), 1 1f x f x f x f x− = + = −
[ ]0,1x∈ ( ) ( )2log 1f x x= + ( )2019f =
1−
a b 、 a b= 2a b+ b a bA. B. C. D.
9. 已 知 函 数 的 图 像 的 一 条 对 称 轴 为 直 线 , 且
,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知三棱锥 的各顶点都在同一球面上,且 平面 ,若该棱锥
的体积为 1, ,则此球的表面积等于( )
A.
B.
C.
D.
11.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象,则( )
A. 在 上的最小值为 B. 在 上的最小值为
C. 在 上的最大值为 D. 在 上的最大值为 1
12.如图,在棱长均相等的四棱锥 P-ABCD 中,O 为底面正方形的中心,M,N 分别为侧
棱 PA,PB 的中点,有下列结论正确的有: ( )
A.PA∥平面 OMN B. 平面 PCD∥平面 OMN
C. 直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 90° D. ON⊥PB
13. 设函数 ,若 有 4 个零点,则 的可能取值有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
14. 已知 且 .则 _________.
15.若在 中, ,其外接圆圆心 满足 ,则
.
ABC△ 1BC = O
AB AC⋅ =
150 120 60 30
( ) sin 3 cosf x a x x= − 5
6x
π=
1 2( ) ( ) 4f x f x⋅ = − 1 2x x+
3
π− 0 3
π 2
3
π
P ABC− PA ⊥ ABC
2, 1, 60AB AC BAC= = ∠ =
4 3π 32
3
π 12π 16π
( ) sin 2f x x=
6
π
( )g x
( )g x 0, 2
π
3
2
− ( )g x 0, 2
π
1−
( )g x 0, 2
π
3
2 ( )g x 0, 2
π
2
( ) ln ( 0)2
axf x ax ae
= − > ( )f x a
( )0,α π∈ 3cos 6 5
πα − =
=αsin
0=++ OCOBOA16.已知函数 在 上的图象是连续不断的一条曲线,并且关于原点对称,
其导函数为 ,当 时,有不等式 成立,若对 ,
不等式 恒成立,则正数 的最大值为_______.
17. 如图,设 的内角 所对的边分别为 ,
, 且 . 若 点 是
外一点, ,则当四边形 面积最大
时, = ,面积的最大值为
三、解答题(本大题共 6 小题,第 18 题 10 分,第 19-21 题 14 分,第 22-23 题 15 分,共
82 分)
18.(10 分)已知 中,角 的对边分别为 ,
.
(1)求角 的大小;
(2)若 ,求 的面积.
19. ( 14 分 ) 设 数 列 的 前 项 和 , 数 列 满 足
,
(1)求数列 的通项公式;
(2)求数列 的前 项和
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
2cos ( cos cos ) 0C a C c A b+ + =
C
2, 2 3b c= = ABC∆
( )y f x= R
( )f x′ 0x > ( ) ( )2 2x f x xf x′ > − x R∀ ∈
0)()( 222 ≥− axfxaefe xx a
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
BbAcCa sin2)coscos(3 =+
3
π=∠CAB D
ABC∆ 3,1 == DADC ABCD
D
{ }na n 12 2n
nS += − { }nb
n
n anb
2log)1(
1
+=
{ }na
{ }nb n nT20.(14 分)如图,四棱锥 的一个侧面 PAD 为等边三角形,且平面
平面 ABCD,四边形 ABCD 是平行四边形,
.
(1)求证: ;
(2)求二面角 的余弦值
P ABCD−
PAD ⊥ 2, 2 3, 3AD BD BAD
π= = ∠ =
BD PD⊥
P BC D− −21.(14 分)某种商品原来每件售价为 25 元,年销售量 8 万件.
(1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收
入不低于原收入,该商品每件定价 x 最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技
术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 万元作为技
改费用,投入 50 万元作为固定宣传费用,投入 万元作为浮动宣传费用.试问:
当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低
于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
22.(15 分)已知函数 .
(Ⅰ)求函数 在 上的最值;
(Ⅱ)若存在 ,使得不等式 成立,求实数 的取值范围.
23.(15 分)已知函数 .
(Ⅰ)若函数 在 上是单调递增函数,求实数 的取值范围;
(Ⅱ)若 ,对任意 ,不等式 恒成立,
求实数 的取值范围.
)600(6
1 2 −x
x5
1
( ) 2sinf x x x= −
( )f x 3 3
π π − ,
0, 2x
π ∈
( )f x ax< a
21( ) ln 1( )2f x x a x a R= − + ∈
( )f x [1,2] a
2 0a− ≤ < [ ]1 2, 1,2x x ∈ 1 2
1 2
1 1( ) ( )f x f x m x x
− ≤ −
m2017 级高三上学期段考(二)
数学试题答案
一、选择题(本大题共 13 小题,每小题 4 分,共 52 分. 其中 1-10 题是单选题,11-13 题是
多选题)
1-5. ADCAB 6—10.ABBDD 11.AD 12.ABD 13.BCD
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
14. 15.
16. e 17. ,
三、解答题(本大题共 6 小题,第 18 题 10 分,第 19-21 题 14 分,第 22-23 题 15 分,共 82 分)
18. (1)∵ ,
由正弦定理可得
,…………………………………2
∴ ,即 ,…………………3
又 ,∴ ,∴ ,即 .…………………5
(2)由余弦定理可得 ,
又 , ……………………………………8
∴ ,∴ 的面积为 .……………………………10
19.解:(1) …………………………………………………………2
…………………4
符合
数列 的通项公式为: ………………………………………………………6
2cos ( cos cos ) 0C a C c A b+ + =
2cos (sin cos sin cos ) sin 0C A C C A B+ + =
2cos sin( ) sin 0C A C B+ + = 2cos sin sin 0C B B+ =
0 180B< < ° sin 0B ≠ 1cos 2C = − 120C = °
2 2 2 2(2 3) 2 2 2 cos120 2 4a a a a= + − × ° = + +
0, 2a a> =
1 sin 32ABCS ab C∆ = = ABC∆ 3
10
334 +
2
1
6
5π 332
5 +
1 11 2,n a S= = =时,
( ) ( )1
1 12 2, 2 2 2 2 2n n n
n n n n nS S n a S S n+
− −= − ∴ = − ≥ ∴ = − = ≥
21 =a 2n
na =
∴ { }na 2n
na =(2) ………………………10
……………………………………………………………………………14
20.(1)证明:在 中,
…………………………………………………………………………………2
又平面 平面 ABCD
平面 平面 ABCD=AD,
平面 PAD, ………………………………………………………………4
又 …………………………………………………………6
(2)
如图,作 于点 O,
则 平面 ABCD
过点 O 作 于点 E,连接 PE,
以 O 为坐标原点,以 OA,OE,OP 所在直线为 x 轴,
y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,…………………………… 8
则
……………………10
由(1)知平面 DBC 的一个法向量为
设平面 PBC 的法向量为
则
取 ……………………………………………………………………………12
设平面 DBC 与平面 PBC 所成二面角的平面角为
则 …………………………………………………………………………14
21. (1)设每件定价为 x 元,依题意得
nnn
b nn )1(
1
2log)1(
1
2
+=
+
=
1
11
+−=
nn
1
11
3
1
2
1
2
11 +−++−+−=
nnTn
1
11 +−=
n
ABD∆ 2, 2 3, 3AD BD BAD
π= = ∠ =
AD BD∴ ⊥
PAD ⊥
PAD ∩ ABCDBD 面⊂
BD∴ ⊥
PADPD 面⊂ BD PD∴ ⊥
PO AD⊥
PO ⊥
OE BC⊥
( ) ( ) ( ) ( )1,0,0 , 1,2 3,0 , 0,0, 3 , 3,2 3,0D B p C− − −
( ) ( )1, 2 3, 3 , 2,0,0BP BC= − = −
( )0,0,1
( ), ,n x y z=
0
0
n BC
n BP
⋅ = ⋅ =
2 0
2 3 3 0
x
x y z
− = − + =
即
( )0,1,2 ,n =
θ
2 5cos 5
θ =x≥25×8, ……………………………………………………………3
整理得 x2-65x+1 000≤0,解得 25≤x≤40……………………………………………5
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元………………………6
(2)依题意不等式 ax≥25×8+50+ (x2-600)+ x 有解, ………………………………8
等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解, …………………………………………………10
因为 + x≥2 =10……………………………………………………………12
(当且仅当 x=30 时,等号成立),所以 a≥10.2. ………………………………………13
所以当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收
入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元. …………………………………14
22.
解:(Ⅰ) , ……………………2
在 单调递减……………………………………………………4
当
当 ………………………………………………………6
(Ⅱ)令 …………………………8
① 时, , 在 递减, ,不成立;
② 时 , 在 递增, ,恒成立;
③ 时 存在
递增, 递减,所以存在
,
…………14
xxxf sin2)( −=
0cos21)( ≤−=′ xxf
0, 2x
π ∈ 综上可知,实数 的取值范围 ………………………………………15
23.(Ⅰ)易知 不是常值函数,∵ 在 上是增函数,
∴ 恒成立,……………………………………………………3
所以 ,只需 ;…………………………………………………6
(Ⅱ)因为 ,由(Ⅰ)知,函数 在 上单调递增,
不妨设 ,则 ,
可化为 ,………………………………………………8
设 ,则 ,
所以 为 上的减函数,……………………………………………………10
即 在 上恒成立,
等价于 在 上恒成立,……………………………………………12
设 ,所以 ,
因 ,所以 ,所以函数 在 上是增函数,
所以 (当且仅当 时等号成立).…………14
所以 . ……………………………………………………15
( )f x 21( ) ln 12f x x a x= − + [ ]1,2
'( ) 0af x x x
= − ≥
2a x≤ 2
min( ) 1a x≤ =
2 0a− ≤ < ( )f x [1,2]
1 21 2x x≤ ≤ ≤ ( ) ( )1 2
1 2
1 1f x f x m x x
− ≤ −
2 1
2 1
( ) )m mf x f xx x
+ ≤ +(
21( ) ( ) ln 12
m mh x f x x a xx x
= + = − + + 1 2( ) ( )h x h x≥
( )h x [1,2]
2( ) 0a mh x x x x
= − − ≤′ [1,2]
3m x ax≥ − [1,2]
3( )g x x ax= − max( )m g x≥
2 0a− ≤ < 2'( ) 3 0g x x a= − > ( )g x [1,2]
max( ) (2) 8 2 12g x g a= = − ≤ 2a = −
12m ≥