山东省泰安市宁阳县第一中学2020届高三上学期阶段性测试（二）数学试题（附答案）.doc

2017 级高三上学期段考(二) 数 学 试 题 一、选择题（本大题共 13 小题，每小题 4 分，共 52 分. 其中 1-10 题是单选题， 11-13 题是多选题） 1. 设集合 ，则 ( ) A. B. C D. 2．已知 ，则 的大小关系为( ) A． B． C． D． 3. 已知 是等差数列 的前 n 项和， ，则 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4. 命题为“ ”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 5．已知 ，则 的最小值是（　） A． B. C．5 D．4 6. 函数 （其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为( ) 7. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 满 足 ， 且 当 时， ，则 ( ) A.0 B.1 C. D.2 8．若非零向量 满足 ，向量 与 垂直，则 与 的夹角为 2{ 1 2 1 3}, { log }A x x B x y x= − ≤ + ≤ = = A B = (0,1] [ 1,0]− [ 1,0)− [0,1] 2 3 3 3 2 1 1, , log3 2a b c π   = = =       , ,a b c a b c> > a c b> > c a b> > c b a> > nS { }na 3 7 78, 35a a S+ = = 2a = [ ] 21,2 ,2 0x x a∀ ∈ − ≥ 1a ≤ 2a ≤ 3a ≤ 4a ≤ 0, 0, 2a b a b> > + = 1 4y a b = + 7 2 9 2 ( ) ( ) 1 1 x x ef x x e += − ( )f x ( ) ( ) ( ) ( ), 1 1f x f x f x f x− = + = − [ ]0,1x∈ ( ) ( )2log 1f x x= + ( )2019f = 1− a b 、 a b=  2a b+  b a bA． B． C． D． 9. 已 知 函 数 的 图 像 的 一 条 对 称 轴 为 直 线 ， 且 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D. 10．已知三棱锥 的各顶点都在同一球面上，且 平面 ，若该棱锥 的体积为 1, ,则此球的表面积等于( ) A. B. C. D. 11.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则( ) A. 在 上的最小值为 B. 在 上的最小值为 C. 在 上的最大值为 D. 在 上的最大值为 1 12.如图,在棱长均相等的四棱锥 P-ABCD 中,O 为底面正方形的中心,M,N 分别为侧 棱 PA,PB 的中点,有下列结论正确的有: ( ) A．PA∥平面 OMN B. 平面 PCD∥平面 OMN C. 直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 90° D. ON⊥PB 13. 设函数 ，若 有 4 个零点，则 的可能取值有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 14. 已知 且 ．则 _________. 15．若在 中， ，其外接圆圆心 满足 ，则 . ABC△ 1BC = O AB AC⋅ =  150 120 60 30 ( ) sin 3 cosf x a x x= − 5 6x π= 1 2( ) ( ) 4f x f x⋅ = − 1 2x x+ 3 π− 0 3 π 2 3 π P ABC− PA ⊥ ABC 2, 1, 60AB AC BAC= = ∠ =  4 3π 32 3 π 12π 16π ( ) sin 2f x x= 6 π ( )g x ( )g x 0, 2 π     3 2 − ( )g x 0, 2 π     1− ( )g x 0, 2 π     3 2 ( )g x 0, 2 π     2 ( ) ln ( 0)2 axf x ax ae = − > ( )f x a ( )0,α π∈ 3cos 6 5 πα − =   =αsin 0=++ OCOBOA16．已知函数 在 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称， 其导函数为 ，当 时，有不等式 成立，若对 ， 不等式 恒成立，则正数 的最大值为_______. 17. 如图，设 的内角 所对的边分别为 ， ， 且 . 若 点 是 外一点， ，则当四边形 面积最大 时， = ,面积的最大值为 三、解答题（本大题共 6 小题，第 18 题 10 分，第 19-21 题 14 分，第 22-23 题 15 分，共 82 分） 18．（10 分）已知 中，角 的对边分别为 ， ． （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的面积． 19. （ 14 分 ） 设 数 列 的 前 项 和 ， 数 列 满 足 ， （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2cos ( cos cos ) 0C a C c A b+ + = C 2, 2 3b c= = ABC∆ ( )y f x= R ( )f x′ 0x > ( ) ( )2 2x f x xf x′ > − x R∀ ∈ 0)()( 222 ≥− axfxaefe xx a ABC∆ , ,A B C , ,a b c BbAcCa sin2)coscos(3 =+ 3 π=∠CAB D ABC∆ 3,1 == DADC ABCD D { }na n 12 2n nS += − { }nb n n anb 2log)1( 1 += { }na { }nb n nT20.（14 分）如图，四棱锥 的一个侧面 PAD 为等边三角形，且平面 平面 ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形, . （1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值 P ABCD− PAD ⊥ 2, 2 3, 3AD BD BAD π= = ∠ = BD PD⊥ P BC D− −21.（14 分）某种商品原来每件售价为 25 元,年销售量 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收 入不低于原收入,该商品每件定价 x 最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技 术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 万元作为技 改费用,投入 50 万元作为固定宣传费用,投入 万元作为浮动宣传费用.试问: 当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低 于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 22.（15 分）已知函数 . （Ⅰ）求函数 在 上的最值； （Ⅱ）若存在 ,使得不等式 成立，求实数 的取值范围． 23．（15 分）已知函数 . （Ⅰ）若函数 在 上是单调递增函数，求实数 的取值范围； （Ⅱ）若 ，对任意 ，不等式 恒成立， 求实数 的取值范围. )600(6 1 2 −x x5 1 ( ) 2sinf x x x= − ( )f x 3 3 π π −  ， 0, 2x π ∈   ( )f x ax< a 21( ) ln 1( )2f x x a x a R= − + ∈ ( )f x [1,2] a 2 0a− ≤ < [ ]1 2, 1,2x x ∈ 1 2 1 2 1 1( ) ( )f x f x m x x − ≤ − m2017 级高三上学期段考(二) 数学试题答案 一、选择题（本大题共 13 小题，每小题 4 分，共 52 分. 其中 1-10 题是单选题，11-13 题是 多选题） 1-5. ADCAB 6—10.ABBDD 11.AD 12.ABD 13.BCD 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 14. 15． 16． e 17. ， 三、解答题（本大题共 6 小题，第 18 题 10 分，第 19-21 题 14 分，第 22-23 题 15 分，共 82 分） 18． （1）∵ ， 由正弦定理可得 ，…………………………………2 ∴ ，即 ，…………………3 又 ，∴ ，∴ ，即 ．…………………5 （2）由余弦定理可得 ， 又 ， ……………………………………8 ∴ ，∴ 的面积为 ．……………………………10 19.解：（1） …………………………………………………………2 …………………4 符合 数列 的通项公式为： ………………………………………………………6 2cos ( cos cos ) 0C a C c A b+ + = 2cos (sin cos sin cos ) sin 0C A C C A B+ + = 2cos sin( ) sin 0C A C B+ + = 2cos sin sin 0C B B+ = 0 180B< < ° sin 0B ≠ 1cos 2C = − 120C = ° 2 2 2 2(2 3) 2 2 2 cos120 2 4a a a a= + − × ° = + + 0, 2a a> = 1 sin 32ABCS ab C∆ = = ABC∆ 3 10 334 + 2 1 6 5π 332 5 + 1 11 2,n a S= = =时， ( ) ( )1 1 12 2, 2 2 2 2 2n n n n n n n nS S n a S S n+ − −= − ∴ = − ≥ ∴ = − = ≥ 21 =a 2n na = ∴ { }na 2n na =（2） ………………………10 ……………………………………………………………………………14 20.（1）证明：在 中， …………………………………………………………………………………2 又平面 平面 ABCD 平面 平面 ABCD=AD， 平面 PAD， ………………………………………………………………4 又 …………………………………………………………6 （2） 如图，作 于点 O， 则 平面 ABCD 过点 O 作 于点 E，连接 PE， 以 O 为坐标原点，以 OA,OE,OP 所在直线为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，…………………………… 8 则 ……………………10 由（1）知平面 DBC 的一个法向量为 设平面 PBC 的法向量为 则 取 ……………………………………………………………………………12 设平面 DBC 与平面 PBC 所成二面角的平面角为 则 …………………………………………………………………………14 21. (1)设每件定价为 x 元,依题意得 nnn b nn )1( 1 2log)1( 1 2 += + = 1 11 +−= nn 1 11 3 1 2 1 2 11 +−++−+−= nnTn  1 11 +−= n ABD∆ 2, 2 3, 3AD BD BAD π= = ∠ = AD BD∴ ⊥ PAD ⊥ PAD ∩ ABCDBD 面⊂ BD∴ ⊥ PADPD 面⊂ BD PD∴ ⊥ PO AD⊥ PO ⊥ OE BC⊥ ( ) ( ) ( ) ( )1,0,0 , 1,2 3,0 , 0,0, 3 , 3,2 3,0D B p C− − − ( ) ( )1, 2 3, 3 , 2,0,0BP BC= − = −  ( )0,0,1 ( ), ,n x y z= 0 0 n BC n BP  ⋅ = ⋅ =     2 0 2 3 3 0 x x y z − = − + = 即 ( )0,1,2 ,n = θ 2 5cos 5 θ =x≥25×8, ……………………………………………………………3 整理得 x2-65x+1 000≤0,解得 25≤x≤40……………………………………………5 所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元………………………6 (2)依题意不等式 ax≥25×8+50+ (x2-600)+ x 有解, ………………………………8 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解, …………………………………………………10 因为 + x≥2 =10……………………………………………………………12 (当且仅当 x=30 时,等号成立),所以 a≥10.2. ………………………………………13 所以当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收 入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元. …………………………………14 22. 解：（Ⅰ） ， ……………………2 在 单调递减……………………………………………………4 当 当 ………………………………………………………6 （Ⅱ）令 …………………………8 ① 时， ， 在 递减， ，不成立； ② 时 ， 在 递增， ，恒成立； ③ 时 存在 递增， 递减，所以存在 ， …………14 xxxf sin2)( −= 0cos21)( ≤−=′ xxf 0, 2x π ∈   综上可知，实数 的取值范围 ………………………………………15 23．（Ⅰ）易知 不是常值函数，∵ 在 上是增函数， ∴ 恒成立，……………………………………………………3 所以 ，只需 ；…………………………………………………6 （Ⅱ）因为 ，由（Ⅰ）知，函数 在 上单调递增， 不妨设 ，则 ， 可化为 ，………………………………………………8 设 ，则 ， 所以 为 上的减函数，……………………………………………………10 即 在 上恒成立， 等价于 在 上恒成立，……………………………………………12 设 ，所以 ， 因 ，所以 ，所以函数 在 上是增函数， 所以 （当且仅当 时等号成立）．…………14 所以 ． ……………………………………………………15 ( )f x 21( ) ln 12f x x a x= − + [ ]1,2 '( ) 0af x x x = − ≥ 2a x≤ 2 min( ) 1a x≤ = 2 0a− ≤ < ( )f x [1,2] 1 21 2x x≤ ≤ ≤ ( ) ( )1 2 1 2 1 1f x f x m x x − ≤ − 2 1 2 1 ( ) )m mf x f xx x + ≤ +（ 21( ) ( ) ln 12 m mh x f x x a xx x = + = − + + 1 2( ) ( )h x h x≥ ( )h x [1,2] 2( ) 0a mh x x x x = − − ≤′ [1,2] 3m x ax≥ − [1,2] 3( )g x x ax= − max( )m g x≥ 2 0a− ≤ < 2'( ) 3 0g x x a= − > ( )g x [1,2] max( ) (2) 8 2 12g x g a= = − ≤ 2a = − 12m ≥