辽宁省沈阳铁路实验中学2020届高三10月月考数学（理）试题（附答案）.doc

沈阳铁路实验中学高三数学试卷（理） 时间：120 分钟．总分：150 分 命题人： 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．） 1．设全集为 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2．设 ，则“ ”是“ ”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． （ ） A． B． C． D． 4．已知 ，则点 P 所在的象限是 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．设 ， ， ,则 （ ） A. B. C. D. 6．函数 f(x)＝ sin2x＋cos2x （ ） A．在 单调递减 B．在 单调递增 C．在 单调递减 D．在 单调递增 7. 已知箱中共有 6 个球，其中红球、黄球、蓝球各 2 个，每次从该箱中取 1 个球（每球取到的机会 均等），取出后放回箱中，连续取三次．设事件 =“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相 同”，事件 =“三次取到的球颜色都不相同”，则 （ ） R 2{ | 9 0}, { | 1 5}A x x B x x= − < = − < ≤ ( )RA C B = ( 3,0)− ( )3, 1− − ( ]3, 1− − ( )3,3− x R∈ 1 2x > 22 1 0x x+ − > 2 1 2 (1 ) i i + =− 11 2 i− − 11 2 i− + 11 2 i+ 11 2 i− 2α = (sin ,tan )α α 3 2log 3 1=a 3 1log 2 1=b 3.0 2 1     =c abc >> cab >> acb >> cba >> 3 ,3 6 π π − −   ,6 3 π π     ,06 π −   0, 6 π     A B P(B| A) =A. B. C. D. 8．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且 x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋ ，则 f(log220)的值为 (　　) A．1 B. C．－1 D．－ 9．若函数 在（0，1）内有极小值，则 ( ) A． ＜1 B．0＜ ＜1 C．b＞0 D．b＜ 10. 曲线 与直线 及 所围成的封闭图形的面积为 （ ） A. B. C. D. 11. 已知函数 ，若函数 在区间 上为单调递减函数，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 12．已知函数 对任意的 满足 （其中 是函数 的 导函数），则下列不等式成立的是 （ ） A． B． C． D． 第 Ⅱ 卷 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分。） 13．二项式 的展开式中的常数项为 ． 14．△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 acosB＝5bcosA，asinA﹣bsinB＝2sinC，则 边 c 的值为_______． 15. 已知函数 （ ）的图象关于直线 对称，则 ． 16．下列四个命题中，真命题的序号有 .（写出所有真命题的序号） ①若 ，则“ ”是“ ”成立的充分不必要条件； ②命题“ 使得 ”的否定是 “ 均有 ”； 6)2 1 xx +（ 1 6 1 3 2 3 1 1 5 4 5 4 5 bbxxxf 33)( 3 +−= b b 2 1 2y x = 1y x= − 4x = 4 2ln 2− 2 ln 2− 4 ln 2− 2ln 2 ( ) sin( )( 0)3f x x πω ω= − > ( )f x 3( , )2 ππ ω 2 11[ , ]3 9 5 11[ , ]6 9 2 3[ , ]3 4 2 5[ , ]3 6 ( )y f x= x∈R 2 '( ) 2 ( )ln 2 0x xf x f x− > '( )f x ( )f x 2 ( 2) ( 1)f f− < − 2 (1) (2)f f> 4 ( 2) (0)f f− > 2 (0) (1)f f> ( ) ( )sin 2cosy x xπ ϕ π ϕ= + − + 0 ϕ π< < 1x = sin 2ϕ = , ,a b c R∈ 2 2ac bc> a b> x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + < x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥③命题“若 ，则 或 ”的否命题是“若 ，则 ”； ④函数 在区间 上有且仅有一个零点. 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.） 17．（本题满分 12 分）已知 （ ）过点 ，且当 时，函数 取得 最大值 1. （1）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 ，求函数 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数 ，求 在 上的值域. 18．（本题满分 12 分）已知函数 ,在曲线 上的点 处的 切线与直线 平行。 （1）若函数 在 时取得极值，求 ， 的值； （2）在（1）的条件下求函数 的单调区间. 19 ．（ 本 题 满 分 12 分 ） 在 中 ， 角 所 对 的 边 分 别 为 , 且 . （1）求角 C；（2）若 的中线 CE 的长为 1，求 的面积的最大值. 20. （本题满分 12 分） 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己 和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了 名机动车司机，得到以下 统计：在 名男性司机中，开车时使用手机的有 人，开车时不使用手机的有 人；在 名女 性司机中，开车时使用手机的有 人，开车时不使用手机的有 人． （Ⅰ）完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关； 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 （Ⅱ）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检 辆，记 | | 2x ≥ 2x ≥ -2x ≤ | | 2x < 2 2x− < < 3( ) ln 2f x x x= + − (1,2) ( ) sin( )f x A xω φ= + 0,0 4, )2A πω φ> < < < 1(0, )2 6x π= ( )f x ( )f x 6 π ( )g x ( )g x 2( ) ( ) ( ) 2cos 1h x f x g x x= + + − ( )h x [0, ]2 π ( ) 523 +++= bxaxxxf ( )xfy = ( )( )1,1 fP 23 += xy ( )xfy = 2−=x a b ( )xfy = ABC∆ , ,A B C , ,a b c asin sin csin 2 3 0sin sin 3 A b B C aB C + − − = ABC∆ ABC∆ 100 55 40 15 45 20 25 2 2× 99.5% 3这 辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 ，若每次抽检的结果都相互独立，求 的 分布列和数学期望 ． 参考公式与数据： ，其中 . 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21．（本题满分 12 分）已知函数 ， ，其中 . （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）若 在其定义域内为增函数，求正实数 的取值范围； （Ⅲ）设函数 ，当 时，若 ， ，总有 成 立，求实数 的取值范围. 22 ．（本 题 满 分 10 分 ） 选 修 4-4 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 圆 C 的 参 数 方 程 为 ，直线 经过点 P（2,2），倾斜角 。 （1）写出圆的标准方程和直线 的参数方程； （2）设直线 与圆 C 相交于 A、B 两点，求 的值。 23．（本题满分 10 分）选修 4-5：已知函数 。 ⑴若不等式 的解集为 ，求实数 a 的值； ⑵在⑴的条件下，若存在 使得 成立，求实数 m 的取值范围。 | | | |PA PB⋅ 3 X X ( )E X 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d χ −= + + + + n a b c d= + + + 2 0( )P kχ ≥ 0k ( ) ln af x x x = − ( ) ( ) 6lng x f x ax x= + − a R∈ ( )f x ( )g x a 2( ) 4h x x mx= − + 2a = 1 (0,1)x∃ ∈ 2 [1,2]x∀ ∈ 1 2( ) ( )g x h x≥ m 4cos (4sin x y θ θθ =  = 为参数） l 3 πα= l l ||)( axxf −= 3)( ≤xf }51|{ ≤≤− xx Rx ∈ mxfxf ≤++ )5()(2019 年沈阳铁路实验中学高三月考 数学试卷（理）参考答案 1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7. B 8．C 9．B 10. A 11. B 12. A 13． 14．3 15. 16. ①②③④ 17． 【答案】(1) ；(2) . (1)由函数过 得 ， ，∵ ，∴ ， . (2) ， ， ， 值域为 . 18． 解：（1） ,则 ，即 ① ∵ 在 时取得极值，∴ ，即 ② 联立①②解得 （2）由（1）得 ∴ 由 得 或 ，由 得 所以函数 y=f（x）的单调递增区间为 ,单调递减区间为 19. 【答案】（1） ；（2） . 2 5 5 4− ( ) sin(2 )6g x x π= − [ 1,2]− 10, 2      1 2sinφ = ,2 6 π πφ φ< = 1 2 ,6 6 6 2f k k Z π π π πω π  = ⇒ + = + ∈   0 4ω< < 2ω = ( ) 2 6f x sin x π = +   ( ) 26 6g x f x sin x π π   = − = −       ( ) 3 2 2 2 2 6h x sin x cos x sin x π = + = +   7 10, , 2 , 2 12 6 6 6 2 6x x sin x π π π π π   ∈ ≤ + ≤ − ≤ + ≤      1 2 2 26sin x π − ≤ + ≤   [ ]1,2− 2'( ) 3 2f x x ax b= + + '(1) 3 2 3f a b= + + = 2 0a b+ = ( )y f x= 2x = − '( 2) 0f − = 4 12a b− + = − 2, 4a b= = − 3 2( ) 2 4 5f x x x x= + − + 2'( ) 3 4 4f x x x= + − '( ) 0f x > 2x < − 2 3x > '( ) 0f x < 22 3x− < < ( )2,−∞−     − 3 2,2 3 π 3 3（1）由 ，得： ，即 ,由余弦定理得 ∴ ，∵ ，∴ .（2）由余弦定理： ①，② ， 由三角形中线长定理可得：①+②得 即 ∵ ，∴ ∴ ，当且仅当 时取 . 20．解：（Ⅰ） 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 40 15 55 女性司机人数 20 25 45 合计 60 40 100 …………………2 分 因为 …………………4 分 有 的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关 …………………5 分 （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从道路上行驶的大量机动车中随机抽检 1 辆，司机为男性 且开车时使用手机的概率为 ． 可取值是 0，1，2，3，且 ， sin sin sin 2 3 0sin sin 3 a A b B c C aB C + − − = 2 3 b sin 3 a a b b c c aC ⋅ + ⋅ − ⋅ =⋅ 2 2 2 3 sin2 3 a b c Cab + − = 3cos sin3C C= tan 3C = ( )0,C π∈ 3C π= 2 2 1 2 1 cos4 2 c cb CEA= + − × × ⋅ ∠ 2 2 1 2 1 cos4 2 c ca CEB= + − × × ⋅ ∠ 2 2 2 2 2 cb a+ = + 2 2 22( ) 4b a c+ = + 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − ⋅ 2 2 4 2a b ab ab+ = − ≥ 4 3ab ≤ a b= 1 1 4 3 3S = sinC2 2 3 2 3ABC ab∆ ≤ × × = ( )2 2 100 40 25 15 20 8.249 7.87960 40 55 45 χ × × − ×= ≈× × × ＞ 99.5% 40 2 100 5 = X 23 5X B    ～ ，有： …………………10 分 的分布列为 0 1 2 3 …………………11 分 …………………12 分 21．(1)见解析；(2) ;(3) . 解：（1） 的定义域为 ，且 ， ①当 时， ， 在 上单调递增； ②当 时，由 ，得 ；由 ，得 ； 故 在 上单调递减，在 上单调递增. (2) , 的定义域为 . . 因为 在其定义域内为增函数，所以 ， . . 而 ，当且仅当 时取等号，所以 . (3)当 时， ， . 由 得 或 . ( ) 0 3 0 3 32 270 5 1255P X C   = = =        ， ( ) 1 2 1 3 32 541 5 1255P X C   = = =        ， ( ) 2 1 2 3 32 362 5 1255P X C   = = =        ， ( ) 3 0 3 3 2 12 3 83 5 55P X C            = = = ， X X P 27 125 54 125 36 125 8 125 ( ) 27 54 36 80 1 2 3 1.2125 125 125 125E X = × + × + × + × = 5 2a ≥ [8 5ln 2, )− +∞ ( )f x (0, )+∞ 2( ) x af x x +′ = 0a ≥ ' ( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞ 0a < ' ( ) 0f x > x a> − ' ( ) 0f x < x a< − ( )f x (0, )a− ( , )a− +∞ ( ) 5lnag x ax xx = − − ( )g x (0, )+∞ 2 ' 2 2 5 5( ) a ax x ag x a x x x − += + − = ( )g x (0, )x∀ ∈ +∞ ' ( ) 0g x ≥ 2 2 2 2 min 5 55 0 ( 1) 5 1 1 x xax x a a x x a ax x    ⇔ − + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥   + +    2 5 5 5 11 2 x x x x = ≤+ + 1x = 5 2a ≥ 2a = 2( ) 2 5lng x x xx = − − 2 ' 2 2 5 2( ) x xg x x − += ' ( ) 0g x = 1 2x = 2x =当 时， ；当 时， . 所以在 上， . 而“ ， ，总有 成立”等价于“ 在 上的最大值 不小于 在 上的最大值”. 而 在 上的最大值为 ， 所以有 . 所以实数 的取值范围是 . 22．解：（Ⅰ）圆的标准方程为 . 直线 的参数方程为 ，即 （ 为参数） （Ⅱ）把直线的方程 代入 ， 得 ， 8 分 所以 ，即 23．解： ⑴．由 得 ，解得 ，又已知不等式 的解集为 ，所以 解得 。 ⑵ 当 时 ， 设 ， 由 （当且仅当 时等号成立）得， 的最 3)( ≤xf 3|| ≤− ax 33 +≤≤− axa 3)( ≤xf }51|{ ≤≤− xx 53 13 =+ −=− a a 2=a 2=a |2|)( −= xxf )5()()( ++= xfxfxg 5|)3(2(||3||2| =+−−≥++− xxxx 23 ≤≤− x )(xg 10, 2x  ∈   ' ( ) 0g x ≤ 1 ,12x  ∈   ' ( ) 0g x ≥ (0,1) max 1( ) 3 5ln 22g x g  = = − +   1 (0,1)x∃ ∈ 2 [1,2]x∀ ∈ 1 2( ) ( )g x h x≥ ( )g x (0,1) ( )h x [1,2] ( )h x [1,2] max{ (1), (2)}h h 1 (1), 3 5ln 2 5 ,2 8 5ln 23 5ln 2 8 2 .1 (2).2 g h m mmg h    ≥  − + ≥ −   ⇔ ⇔ ≥ − − + ≥ −   ≥    m [8 5ln 2, )− +∞ 2 2 16x y+ = l 2 cos 3 2 sin 3 x t y t π π  = +  = + 12 2 32 2 x t y t  = +  = + t 12 2 32 2 x t y t  = +  = + 2 2 16x y+ = 2 21 3(2 ) (2 ) 162 2t t+ + + = 2 2( 3 1) 8 0t t+ + − = 1 2 8t t = − =8PA PB⋅小值为 5。从而存在 使得 ，即存在 使得 ，则 m 的 取值范围为 。 Rx ∈ mxfxf ≤++ )5()( Rx ∈ mxg ≤)( ),5[ +∞