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第16讲 垂径定理的应用
题一： 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∠BCD=25°，则下列结论错误的是（ ）
A．= B．OE=DE C．∠AOD=50° D．D是的中点
题二： AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(弦CD不是直径)，下列结论中错误的是（ ）
A．AC=AD B．BC=BD C．∠CAB=∠BCD D．AE=BE
题三： 如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=12cm，CD=8cm，那么OE的长为_______．
题四： 如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，AE=18，那么S△BCD=____．
题五： 如图，已知⊙O的直径AB经过弦CD的中点E，连接BC、BD，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BCD=∠DCO B．BC=BD C．∠BOC=2∠BCD D．CE=DE
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题六： 如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOC=2∠ABD B．AC=AD C．CM=DM D．AC=2BC
题七： 如图，AB是⊙O的直径，E是弧BC的中点，OE交BC于点D，OD=3，DE=2，求BC和AD的长．
题八： 如图，在⊙O中，AB为直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，D是劣弧AC的中点，连接OD，交AC于点E，连接BD，若AE=4，OE=3，则BD的长度为______．
题九： 点P是⊙O内的一点，OP=8cm，圆的半径是10cm．求过点P的最长弦和最短弦的长．
题十： 已知⊙O的半径为6cm，P是⊙O内一点，OP=2cm，那么过点P的最短的弦长
等于 cm，过点P的最长的弦长为12 cm．
题十一： 如图，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
则CD的长为cm ．
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题十二： 如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=3cm，EB=7cm，∠DEB=45°，
求CD的长为cm ．
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第16讲 垂径定理的应用
题一： B.
详解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴=，D是的中点，故D正确；
∵=-，=-，=，∴=，故A正确；
∵∠BCD=25°，∴∠AOD=2∠BCD=50°，故C正确；
但不能证得B一定成立，
故选B．
题二： D．
详解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，
∴，∴BC=BD，∠CAB=∠BCD ， 故B、C选项正确，
∵=-,=-,=，∴=，∴AC=AD，故A选项正确，
∵弦CD不是直径，AE≠BE，故D选项错误．
题三： 2cm．
详解：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD=8cm，
∴CE=CD=4cm，
又∵AB=12cm，
∴OC=AB=6cm，
在Rt△OEC中，
OE===2cm，
故答案是：2cm．
题四： 96．
详解：∵AB=26，∴OA=OB=OC=AB=13，
∵AE=18，∴OE=AE-OA=5，∴BE=OB-OE=8，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，
∴∠OEC=90°，CE=DE，
在Rt△OEC中，
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CE===12，
∴CD=2CE=24，
∴S△BCD=CDBE=×24×8=96．
题五： A．
详解：∵⊙O的直径AB经过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD， ∴BC = BD，CE=DE ，=，
∴∠BCD=∠BDC，∠BOC=2∠BDC，
∴∠BOC=2∠BCD ∴B、C、D正确，
∵CD不一定垂直平分BO，∴∠BCD不一定等于∠DCO，
∴A不正确．
故选：A．
题六： D．
详解：∵⊙O的直径AB经过弦CD的中点M，
∴AB⊥CD， ∴CM=DM，=，
∴=，∴AC=AD，∠AOC=2∠ABD，
∴A、B、C正确，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中不能确定AC与BC的数量关系．
故选D．
题七： 8，2．
详解：连接AC，
∵OD=3，DE=2，
∴OE=OB=5，即⊙O的半径为5，
在Rt△ODB中，BD==4，
∵OE⊥BC，
∴BC=2BD=8，DC=BD=4，
又∵BO=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AC=2OD=6，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴AD==2 ．
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题八： 4．
详解：连接AD，∵D是劣弧AC的中点，∴OD⊥AC，
∵AE=4，∴AE=EC=4，AC=8，
∵O为AB中点，E为AC中点，OE=3，
∴BC=2OE=6，
∵AB为直径，∴ACB=ADB=90°，
∴在Rt△ACB中，AB===10，
∴OD=5，DE=OD-OE=5-3=2，
∴在Rt△AED中，AD2===20，
∴在Rt△ADB中，BD===4．
题九： 20 cm，12cm.
详解：过点P的最长弦就是直径：10×2=20(cm)，
最短弦就是垂直于OP的弦，
AP===6(cm)，
∴弦AB=2AP=2×6=12(cm)．
题十： 8;12.
详解：如图， ∵OC=6cm，OP=2cm，∴由勾股定理得，CP=4(cm)
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，
∴CD=8(cm)，
∴过点P的最短的弦长等于8cm，
过点P的最长弦就是直径：6×2=12(cm).
题十一： 2.
详解：过点O作OF⊥CD于F，连接OD，
∵AE=1cm，EB=5cm，
∴AB=AE+EB=1+5=6(cm)，
∴OA=OD=3cm，
∴OE=OA-AE=3-1=2(cm)，
在Rt△OEF中，∠DEB=60°，∴∠EOF=30°，
∵OE=2cm，∴EF=1cm，
∴OF==(cm)，
在Rt△ODF中，
DF===(cm)，
∵OF⊥CD，
∴CD=2DF=2×=2(cm)．
题十二： 2cm．
详解：作OH⊥CD于H，连接OD，
∵AE=3cm，BE=7cm，E在直径AB上，
∴AB=3cm+7cm=10cm，∴OA=OD=5cm，
在Rt△OHE中，OE=5cm-3cm=2cm，∠OEH=45°，
∴HE=OH=cm，
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在Rt△OHD中，HD===(cm），
∵OH⊥CD，
∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm．
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