广东省佛山市第一中学2020届高三上学期10月月考试题数学（理）（带答案）.docx

第 1 页，共 4 页 佛山一中 2020 届高三年级十月考试题 数学（理科） 2019.10.3 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知角θ的顶点与原点 O 重合，始边与푥轴的正半轴重合，若它的终边经过点 ，则 = A. - 7B． C． D．7 2.已知命题 p： ，命题 q： ，则命题 p 是命题 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3 已知 ，角 的对边分别为 ，且满足 ,则角 等 于（ ） A. B. C. D. 4. 若 为锐角，且 ，则 A． B． C． D． 5.已知双曲线 的两条渐近线分别为直线 l1，l2，经过右焦点 F 且垂直于 l1 的直 线 l 分别交 l1，l2 于 A，B 两点，且 ，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 6.函数 的值域为 A.(0, + ∞) B. C. D. 7.将 的图像向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数y = g(푥) 的 图像，则下列关于函数y = g(푥)的说法错误的是 ( )( )P 2 0a a a ≠， tan 2θ 4 π +   1 7 − 1 7 2 2x y< 2 2log logx y< ABC∆ A B C、 、 , ,a b c ( )sin ( )(sin sin )b a A b c B C− = − + C 3 π 6 π 4 π 2 3 π α β, 2cos 6 3sin π πα β   − = +       α β 3 π+ = α β 6 π+ = α β 3 π− = α β 6 π− = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2FB AF=  2 3 3 3 4 3 4 3 3 ( ) 2 1f x x lnx= + − 3 ,2  +∞  3 1 22 2 ln ∞ + +  ， 3 1 22 2 ln∞ − +  ， ( ) 2 2 2 2 1f x sin x cos x= − + 4 π佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 2 页，共 4 页 A．函数y = g(푥)的最小正周期是π B．函数y = g(푥)的一条对称轴是 C.函数y = g(푥)的一个零点是 D．函数y = g(푥)在区间 上单调递减 8.函数 的图象可能是 A． B． C. D． 9.已知对任意푥 ∈ [1 푒，푒2]不等式 恒成立(其中 是自然对数的底数），则实数푎的取值 范围是 A． B． C． D． 10.已知函数 满足 ，且 是偶函数，当 时， ，若在区间 内，函数 有 4 个零点，则实数 的取值范围是 A．(1，5) B．(1，,5] C.(5， +∞) D．[5， +∞) 11.已知 ，若 ，且 ，则푥1 + 푥2与 2 的关系为 A. 푥1 + 푥2 > 2 B. 푥1 + 푥2 ≥ 2 C.푥1 + 푥2 < 2 D.大小不确定 12.已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则 的 最小值是 A． B． C. D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知曲线푦2 = 푥与y = 푥 ―2的图象所围成的阴影部分面积为_________. 8x π= 3 8 π 5,12 8 π π     ( ) ( ) ( ) 2 3 ln 4 4 2 x x f x x − + = − 2axe x> 2 e ∞ +  ， 1 e ∞ +  ， 1, 2e ∞ − −   2 4 e∞ −   ， ( )f x ( 1) ( 1)f x f x+ = − ( )f x [ ]1,0x∈ − 2( )f x x= [ ]1,3− ( ) ( ) log ( 2)ag x f x x= − + a f ( ) ( )xx xe x R−= ∈ 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= ( ) ln , ( ) (a ) 2f x x g x e x b= = − + ( ) ( )f x g x≤ (0, )x∈ +∞ 2b a 1 2e − 1 e − e− e第 3 页，共 4 页 14.已知定义在 R 上的函数푓(푥)满足푓(푥 + 2) = 1 푓(푥)，当푥 ∈ [0,2)时，푓(푥) = 푥 + 푒푥，则푓(2019) = ____________. 15.在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c，且a,b,c成等差数列，则角 B 的取值范围是___________. 16.关于 有以下命题： ①若 ，则 。② 的图像与 图像相同。 ③ 在区间 上是减函数。 ④ 图像关于 对称。 其中正确的选项是____________________________________________ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 10 分） 如图,在 △ 퐴퐵퐶中, , ,点 D 在边 BC 上，且 , ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 BD, AC 的长． 18.（本小题满分 12 分） 已知函数푓(푥) = ― 푥3 +푎푥2 +4푥的图象在푥 = 1处的切线方程为푦 = ―3푥 + 4． （Ⅰ）求实数 a 的值； （Ⅱ）若方程푓(푥) ―b = 0有三个实数解，求实数 b 的取值范围． ( ) 3sin(2 )4f x x π= + 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 ( )x x k k Zπ− = ∈ ( )f x ( ) 3cos(2 )4g x x π= − ( )f x 7 3,8 8 π π − −   ( )f x ,08 π −   3B π∠ = 8AB = 2CD = 1cos 7ADC∠ = sin BAD∠佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 4 页，共 4 页 19.(本题满分 12 分) 在直角坐标系푥oy中，已知曲线퐶1的参数方程为{푥 = 4 + 3푡 푦 = ―푡 (푡为参数)，曲线 的参数方程为 {푥 = 7푐표푠휃 푦 = 7 2 푠푖푛휃 (휃为参数)，在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线 ， 的极坐标方程； (Ⅱ)在极坐标系中，射线 与曲线 交于点 ，射线 与曲线 交于点 ，求 的 面积（其中 为坐标原点）. 20. （本小题满分 12 分） 已知函数푓(푥) = |푥 ― 3| + |2푥 ― 4|，g(푥) = |푥 ― 푎| +|푥 +1|，. （Ⅰ）解不等式푓(푥) ≤ 10； (Ⅱ) 若对于任意的푥1 ∈ 푅都有푥2 ∈ 푅,使得푓(푥1) = g(푥2),试求푎的取值范围. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）求函数 在[t,t + 1](t > 0)的最小值; （Ⅱ）若b > 푎 > 0，总有 成立，求实数m的值. 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性； （Ⅱ）设 a∈Z，若对任意的 x＞0，f（x）≤0 恒成立，求整数 a 的最大值； （Ⅲ）求证：当 x＞0 时， ． 1C 2C θ 3 π= 1C θ 6 π= 2C MON∆ ( ) ( )2 3 21 g 2 32 2 xf x lnx x x x = − = −  ， ( ) ( )2h 2 xx f xx = + ( ) ( ) ( ) ( )m g b g ba f f a− > −   2( ) ( 2) 1f x lnx ax a x a= + + + + ∈R（ ）． 3 22 1 0xe xlnx x x x+ + −− − ＞第 5 页，共 4 页 佛山一中 2019 届高三年级十月考试题数学（理科）答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A C A C D A A D A B 二、填空题: （每小题 5 分，共 20 分） 13.9 2； 14. 1 1 + 푒；15. (0，휋 3 ]； 16.(2)(3)(4)； 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （满分 10 分）解：(1)在 △ 퐴퐵퐶中, ∵ cos∠퐴퐷퐶 = 1 7, …………1 分 ∴ sin∠퐴퐷퐶 = 1 ― 푐표푠2∠퐴퐷퐶 = 1 ― (1 7)2 = 48 49 = 4 3 7 , …………3 分 则sin∠퐵퐴퐷 = sin(∠퐴퐷퐶 ― ∠퐵) = sin∠퐴퐷퐶 ⋅ 푐표푠퐵 ― cos∠퐴퐷퐶 ⋅ 푠푖푛퐵 = 4 3 7 × 1 2 ― 1 7 × 3 2 = 3 3 14 ．………5 分 (2)在 △ 퐴퐵퐷中,由正弦定理得 ,…………7 分 在 △ 퐴퐵퐶中,由余弦定理得퐴퐶2 = 퐴퐵2 +퐶퐵2 ―2퐴퐵 ⋅ 퐵퐶푐표푠퐵 = 82 + 52 ―2 × 8 × 5 × 1 2 = 49, 即퐴퐶 = 7．………………10 分 18.（满分 12 分）解：（Ⅰ）푓′(푥) = ―3푥2 ―4푥 + 4，……………………2 分 푓′(1) = ―3 +2푎 + 4 = ―3，解得푎 = ―2; ……………………5 分 （Ⅱ）∵푓(푥) ―b = 0 ∴푓(푥) = b 由(1)得푓′(푥) = ―3푥2 ―4푥 + 4，令푓′(푥) = 0，解得푥 = 2 3或푥 = ―2，……………………7 分 当 ―2 < 푥 < 2 3 时，푓′(푥) > 0, 푓(푥)在( ―2，2 3)上单调递增，……………………8 分 当x < ―2或푥 > 2 3时，푓′(푥) > 0, 푓(푥)在( ―∞， ― 2)和(2 3, + ∞)上单调递减，………………9 分 所以푓(푥)在푥 = ―2处取得极小值푓( ―2) = ―8，在푥 = 2 3处取得极大值푓(2 3) = 40 27…………………10 分 所以当 ―8 < 푏 < 40 27时，y=f(x)的图象与直线 y=b 有三个交点，那么方程푓(푥) ―b = 0有三个实数解 故实数 b 的取值范围为( ―8，40 27)……………………12 分佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 6 页，共 4 页 19. （12 分）解：（Ⅰ）由曲线 ： （ 为参数），消去参数 得： 化简极坐标方程为： …………………3 分 曲线퐶2： （ 为参数）消去参数 得： ……………………5 分 化简极坐标方程为： ……………………………6 分 （Ⅱ）联立 即 ………………………8 分 联立 即 ……………………………10 分 故 ……………………………12 分 20. （12 分）解：（Ⅰ）当푥 ≤ 2时，푓(푥) = 3 ― 푥 +4 ― 2푥 = 7 ― 3푥 ≤ 10 解得푥 ≥ ―1即有{푥| ― 1 ≤ 푥 ≤ 2}……………………………2 分 当2 < 푥 < 3时，푓(푥) = 3 ― 푥 +2푥 ―4 = 푥 ― 1 ≤ 10 解得푥 ≤ 11即有{푥|2 < 푥 < 3}……………………………3 分 当푥 ≥ 3时，푓(푥) = 푥 ―3 +2푥 ―4 = 3푥 ― 7 ≤ 10……………………………4 分 解得푥 ≤ 17 3 即有{푥|3 ≤ 푥 ≤ 17 3 } 故原不等式解集为{푥| ― 1 ≤ 푥 ≤ 17 3 }……………………………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知푓(푥) = { ―3푥 + 7，푥 ≤ 2 푥 ― 1，2 < 푥 < 3 3푥 ― 7，푥 ≥ 3 , ……………………………7 分 由此可得，当푥 = 2时，푓(푥)取最小值푓(2) = 1 ……………………………8 分 而g(푥) = |푥 ― 푎| + |푥 + 1| ≥ |푥 ― 푎 ― (푥 + 1)| = |푎 +1| …………………9 分 对任意푥1 ∈ 푅都有푥2 ∈ 푅使得푓(푥1) = g(푥2) 即 f(x)的值域是 g(x)值域的子集. |푎 +1| ≤ 1即 ―1 ≤ 푎 +1 ≤ 1 解得 ―2 ≤ a ≤ 0…………………11 分 可得 a 取值范围为[-2,0] ……………………………12 分 21. （12 分）解：（Ⅰ）∵h(푥) = 2 푥 ∙ 푥2 2 (푙푛푥 ― 1 2) + 푥 2 = 푥푙푛푥 定义域为（0， +∞）第 7 页，共 4 页 h′(푥) = ln푥 +1 且h′(푥)为单调递增函数，令h′(푥) = 0 得푥 = 1 푒………………3 分 所以当푥 ∈ (0,1 푒)时，h′(푥) < 0，h(푥)单调递减， 当푥 ∈ (1 푒， +∞)时，h′(푥) > 0，h(푥)单调递增. ………………3 分 ①当0 < 푡 < 푡 + 1 < 1 푒时，满足条件的 t 不存在，………………4 分 ②当0 < 푡 < 1 푒 < 푡 + 1，即0 < 푡 < 1 푒时，ℎ(푥)푚푖푛 = ℎ(1 푒) = ― 1 푒……………5 分 ③当1 푒 ≤ 푡 < 푡 + 1，即t ≥ 1 푒时，ℎ(푥)푚푖푛 = ℎ(푡) = 푡푙푛푡 ……………………6 分 （Ⅱ）因为m[g(b) ― g(a)] > 푓(b) ― 푓(a)等价于mg(b) ― 푓(b) > 푚푔(a) ― 푓(a) 构造函数φ(푥) = mg(푥) ― 푓(푥)=2m푥3 ―3푚푥2 ― 푥2 2 푙푛푥 + 푥2 4 ………………7 分 因为b > 푎 > 0总有mg(b) ― 푓(b) > 푚푔(a) ― 푓(a)成立 所以φ(푥)在(0， +∞)上单调递增 原问题转化为φ′(푥) = 6m푥2 ―6푚푥 ― 푥푙푛푥 ≥ 0对푥 ∈ (0， +∞)恒成立 因为φ′(푥) = 푥(6m푥 ― 6푚 ― 푙푛푥) 原问题转化为r(푥) = 6m푥 ― 6푚 ― 푙푛푥 ≥ 0对푥 ∈ (0， +∞)恒成立………………8 分 若m ≤ 0，因为r(푒) = 6m(e ― 1) ―1 < 0，所以不满足题意; 若m > 0由r‘(푥) = 6m ― 1 푥 = 6푚푥 ― 1 푥 知 当푥 ∈ (0， 1 6푚)时，r‘(푥) < 0， r(푥)在(0， 1 6푚)上单调递减………………8 分 当푥 ∈ ( 1 6푚, + ∞)时，r‘(푥) > 0， r(푥)在( 1 6푚, + ∞)上单调递增………………9 分 故r(푥)在当푥 = 1 6푚处取得极小值也是最小值，………………………………10 分 即푥 = 1 6푚是r(푥)在(0， +∞)上的最小值点………………………………11 分 由于r(1) = 0，所以当且仅当 1 6푚 = 1时，r(푥) ≥ 0，故m = 1 6 ………………………………12 分 22.（Ⅰ）解：f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1， f′（x）＝ 2ax+a+2＝ （x＞0），………………1 分 ①若 a≥0，则 f′（x）＞0，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②若 a＜0，由 f′（x）＞0，得 0＜x＜﹣ ；由 f′（x）＜0，得 x＞﹣ ． ∴函数 f（x）在（0，﹣ ）上单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减；………………3 分 （Ⅱ）解：若 a≥0，则 f（1）＝2a+3＞0，∴不满足 f（x）≤0 恒成立．佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 8 页，共 4 页 若 a＜0，由（Ⅰ）可知，函数 f（x）在（0，﹣ ）上单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减． ∴ ，又 f（x）≤0 恒成立， ∴ ≤0，…………5 分 设 g（x）＝lnx+x，则 g（﹣ ）≤0． ∵函数 g（x）在（0，+∞）上单调递增，且 g（1）＝1＞0，g（ ） ＜0， ∴存在唯一的 x0∈（ ），使得 g（x0）＝0．……………………6 分 当 x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当 x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．……………7 分 ∴0＜﹣ ≤x0，解得 a ∈（﹣2，﹣1）， 又 a∈Z，∴a≤﹣2． 则综上 a 的最大值为﹣2；………………………8 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2 时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0， ∴lnx＜2x2﹣1，则﹣xlnx＞﹣2x3+x， ∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝ex﹣x2+2x﹣1． 记 u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），则 u′（x）＝ex﹣2x+2．…………………9 分 记 h（x）＝ex﹣2x+2，则 h′（x）＝ex﹣2，…………………10 分 由 h′（x）＝0，得 x＝ln2． 当 x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当 x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0， ∴函数 h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增， ∴ ＝4﹣2ln2＞0．…………………11 分 ∴h（x）＞0，即 u′（x）＞0，故函数 u（x）在（0，+∞）上单调递增． ∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即 ex﹣x2+2x﹣1＞0． ∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．…………………12 分 佛山一中 2019 届高三年级十月考试题数学（理科）答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A C A C D A A D A B第 9 页，共 4 页 二、填空题: （每小题 5 分，共 20 分）13.9 2；14. 1 1 + 푒；15. (0，휋 3 ]；16.(2)(3)(4)； 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.（满分 10 分）解：(1)在 △ 퐴퐵퐶中, ∵ cos∠퐴퐷퐶 = 1 7,…………1 分 ∴ sin∠퐴퐷퐶 = 1 ― 푐표푠2∠퐴퐷퐶 = 1 ― (1 7)2 = 48 49 = 4 3 7 ,…………3 分 则sin∠퐵퐴퐷 = sin(∠퐴퐷퐶 ― ∠퐵) = sin∠퐴퐷퐶 ⋅ 푐표푠퐵 ― cos∠퐴퐷퐶 ⋅ 푠푖푛퐵 = 4 3 7 × 1 2 ― 1 7 × 3 2 = 3 3 14 ．………5 分 (2)在 △ 퐴퐵퐷中,由正弦定理得 ,…………7 分 在 △ 퐴퐵퐶中,由余弦定理得퐴퐶2 = 퐴퐵2 +퐶퐵2 ―2퐴퐵 ⋅ 퐵퐶푐표푠퐵 = 82 + 52 ―2 × 8 × 5 × 1 2 = 49, 即퐴퐶 = 7．………………10 分 18.（满分 12 分）解：（Ⅰ）푓′(푥) = ―3푥2 ―4푥 + 4，……………………2 分 푓′(1) = ―3 +2푎 + 4 = ―3，解得푎 = ―2;……………………5 分 （Ⅱ）∵푓(푥) ―b = 0 ∴푓(푥) = b 由(1)得푓′(푥) = ―3푥2 ―4푥 + 4，令푓′(푥) = 0，解得푥 = 2 3或푥 = ―2，……………………7 分 当 ―2 < 푥 < 2 3时，푓′(푥) > 0, 푓(푥)在( ―2，2 3)上单调递增，……………………8 分 当x < ―2或푥 > 2 3时，푓′(푥) > 0, 푓(푥)在( ―∞， ― 2)和(2 3, + ∞)上单调递减，………………9 分 所以푓(푥)在푥 = ―2处取得极小值푓( ―2) = ―8，在푥 = 2 3处取得极大值푓(2 3) = 40 27…………………10 分 所以当 ―8 < 푏 < 40 27时，y=f(x)的图象与直线 y=b 有三个交点，那么方程푓(푥) ―b = 0有三个实数解 故实数 b 的取值范围为( ―8，40 27)……………………12 分 19.（12 分）解：（Ⅰ）由曲线 ： （ 为参数），消去参数 得： 化简极坐标方程为： …………………3 分佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 10 页，共 4 页 曲线퐶2： （ 为参数）消去参数 得： ……………………5 分 化简极坐标方程为： ……………………………6 分 （Ⅱ）联立 即 ………………………8 分 联立 即 ……………………………10 分 故 ……………………………12 分 20. （12 分）解：（Ⅰ）当푥 ≤ 2时，푓(푥) = 3 ― 푥 +4 ― 2푥 = 7 ― 3푥 ≤ 10 解得푥 ≥ ―1即有{푥| ― 1 ≤ 푥 ≤ 2}……………………………2 分 当2 < 푥 < 3时，푓(푥) = 3 ― 푥 +2푥 ―4 = 푥 ― 1 ≤ 10 解得푥 ≤ 11即有{푥|2 < 푥 < 3}……………………………3 分 当푥 ≥ 3时，푓(푥) = 푥 ―3 +2푥 ―4 = 3푥 ― 7 ≤ 10……………………………4 分 解得푥 ≤ 17 3 即有{푥|3 ≤ 푥 ≤ 17 3 } 故原不等式解集为{푥| ― 1 ≤ 푥 ≤ 17 3 }……………………………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知푓(푥) = { ―3푥 + 7，푥 ≤ 2 푥 ― 1，2 < 푥 < 3 3푥 ― 7，푥 ≥ 3 ,……………………………7 分 由此可得，当푥 = 2时，푓(푥)取最小值푓(2) = 1……………………………8 分 而g(푥) = |푥 ― 푎| + |푥 + 1| ≥ |푥 ― 푎 ― (푥 + 1)| = |푎 +1|…………………9 分 对任意푥1 ∈ 푅都有푥2 ∈ 푅使得푓(푥1) = g(푥2)即 f(x)的值域是 g(x)值域的子集. |푎 +1| ≤ 1即 ―1 ≤ 푎 +1 ≤ 1解得 ―2 ≤ a ≤ 0…………………11 分 可得 a 取值范围为[-2,0]……………………………12 分 21. （12 分）解：（Ⅰ）∵h(푥) = 2 푥 ∙ 푥2 2 (푙푛푥 ― 1 2) + 푥 2 = 푥푙푛푥 定义域为（0， +∞） h′(푥) = ln푥 +1 且h′(푥)为单调递增函数，令h′(푥) = 0 得푥 = 1 푒………………3 分 所以当푥 ∈ (0,1 푒)时，h′(푥) < 0，h(푥)单调递减， 当푥 ∈ (1 푒， +∞)时，h′(푥) > 0，h(푥)单调递增.………………3 分第 11 页，共 4 页 ①当0 < 푡 < 푡 + 1 < 1 푒时，满足条件的 t 不存在，………………4 分 ②当0 < 푡 < 1 푒 < 푡 + 1，即0 < 푡 < 1 푒时，ℎ(푥)푚푖푛 = ℎ(1 푒) = ― 1 푒……………5 分 ③当1 푒 ≤ 푡 < 푡 + 1，即t ≥ 1 푒时，ℎ(푥)푚푖푛 = ℎ(푡) = 푡푙푛푡 ……………………6 分 （Ⅱ）因为m[g(b) ― g(a)] > 푓(b) ― 푓(a)等价于mg(b) ― 푓(b) > 푚푔(a) ― 푓(a) 构造函数φ(푥) = mg(푥) ― 푓(푥)=2m푥3 ―3푚푥2 ― 푥2 2 푙푛푥 + 푥2 4 ………………7 分 因为b > 푎 > 0总有mg(b) ― 푓(b) > 푚푔(a) ― 푓(a)成立 所以φ(푥)在(0， +∞)上单调递增 原问题转化为φ′(푥) = 6m푥2 ―6푚푥 ― 푥푙푛푥 ≥ 0对푥 ∈ (0， +∞)恒成立 因为φ′(푥) = 푥(6m푥 ― 6푚 ― 푙푛푥) 原问题转化为r(푥) = 6m푥 ― 6푚 ― 푙푛푥 ≥ 0对푥 ∈ (0， +∞)恒成立………………8 分 若m ≤ 0，因为r(푒) = 6m(e ― 1) ―1 < 0，所以不满足题意; 若m > 0由r‘(푥) = 6m ― 1 푥 = 6푚푥 ― 1 푥 知 当푥 ∈ (0， 1 6푚)时，r‘(푥) < 0， r(푥)在(0， 1 6푚)上单调递减………………8 分 当푥 ∈ ( 1 6푚, + ∞)时，r‘(푥) > 0，r(푥)在( 1 6푚, + ∞)上单调递增………………9 分 故r(푥)在当푥 = 1 6푚处取得极小值也是最小值，………………………………10 分 即푥 = 1 6푚是r(푥)在(0， +∞)上的最小值点………………………………11 分 由于r(1) = 0，所以当且仅当 1 6푚 = 1时，r(푥) ≥ 0，故m = 1 6………………………………12 分 22.（Ⅰ）解：f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+1， f′（x）＝ 2ax+a+2＝ （x＞0），………………1 分 ①若 a≥0，则 f′（x）＞0，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②若 a＜0，由 f′（x）＞0，得 0＜x＜﹣ ；由 f′（x）＜0，得 x＞﹣ ． ∴函数 f（x）在（0，﹣ ）上单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减；………………3 分 （Ⅱ）解：若 a≥0，则 f（1）＝2a+3＞0，∴不满足 f（x）≤0 恒成立． 若 a＜0，由（Ⅰ）可知，函数 f（x）在（0，﹣ ）上单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减． ∴ ，又 f（x）≤0 恒成立， ∴ ≤0，…………5 分佛山一中高三年级十月考数学（理科）试题 第 12 页，共 4 页 设 g（x）＝lnx+x，则 g（﹣ ）≤0． ∵函数 g（x）在（0，+∞）上单调递增，且 g（1）＝1＞0，g（ ） ＜0， ∴存在唯一的 x0∈（ ），使得 g（x0）＝0．……………………6 分 当 x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当 x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0．……………7 分 ∴0＜﹣ ≤x0，解得 a ∈（﹣2，﹣1）， 又 a∈Z，∴a≤﹣2． 则综上 a 的最大值为﹣2；………………………8 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a＝﹣2 时，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0， ∴lnx＜2x2﹣1，则﹣xlnx＞﹣2x3+x， ∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝ex﹣x2+2x﹣1． 记 u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），则 u′（x）＝ex﹣2x+2．…………………9 分 记 h（x）＝ex﹣2x+2，则 h′（x）＝ex﹣2，…………………10 分 由 h′（x）＝0，得 x＝ln2． 当 x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当 x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0， ∴函数 h（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增， ∴ ＝4﹣2ln2＞0．…………………11 分 ∴h（x）＞0，即 u′（x）＞0，故函数 u（x）在（0，+∞）上单调递增． ∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即 ex﹣x2+2x﹣1＞0． ∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．…………………12 分