2020 届高三月考试题(三)理科数学参考答案
一、选择题:本大题共
12
小题,每小题
5
分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的
.
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
D B C B A C C D A A C B
1ư 【答案】D
【解析】注意集合中的元素的互异性 ư
2ư 【答案】B
3ư 【答案】C
【解析】 z = 1
3 + 4i = 3 - 4i
25
= 3
25
- 4
25
i ,所以 z 的实部为 3
25 ,虚部为 - 4
25 , z 的共轭复数为
3
25
+ 4
25
i ,模为 ( 3
25)
2 + ( 4
25)
2 = 1
5 ,故选 Cư
4ư 【答案】B
【解析】A 中,∀x∈R,ex
> 0ư
B 中,∃x = 2,x = 4,2
x
= x2
,∃x,2
x
< x2
ư
C 中,
a + b = 0b≠0
{ 的充要条件是 a
b = - 1ư
D 中,a > 1,b > 1 可以得到 ab > 1,当 ab > 1 时,不一定可以得到 a > 1,b > 1ư
5ư 【答案】A
【解析】原式 = 1 + tan 17° + tan 28° + tan 17°·tan 28°
= 1 + tan 45°(1 - tan 17°·tan 28°) + tan 17°·tan 28° = 1 + 1 = 2ư 故选 Aư
6ư 【答案】C
【解析】数列{an }的前 n 项和 Sn = 2
n
- 1,可得 a
1 = S
1 = 2 - 1 = 1;当 n≥2 时,an = Sn - Sn - 1 = 2
n
- 1 - (2
n - 1
- 1) = 2
n - 1
,对 n = 1 也成立 ư 所以 an = 2
n - 1
(n∈N∗
)
log2
an = log22
n - 1
= n - 1,
则数列{log2
an }的前 11 项和等于 0 + 1 + 2 + … + 9 + 10 = 1
2 × (1 + 10) × 10 = 55ư 故选 Cư
7ư 【答案】C
【解析】由题意可知椭圆是焦点在 x 轴上的椭圆,利用椭圆定义得到|BF
2 | + |AF
2 | =8 - |AB|,再
由过椭圆焦点的弦中通径的长最短,可知当 AB 垂直于 x 轴时 | AB | 最小,把 | AB | 的最小值
b2 代入| BF
2 | + | AF
2 | = 8 - | AB | ,由| BF
2 | + | AF
2 | 的最大值等于 5 可求 b 的值.
【详解】由 0 < b < 2 可知,焦点在 x 轴上,∴ a = 2,
∵ 过 F
1
的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,∴ | BF
2 | + | AF
2 | + | BF
1 | + | AF
1 | = 2a + 2a = 4a = 8
∴ | BF
2 | + | AF
2 | = 8 - | AB | .
1当 AB 垂直 x 轴时| AB | 最小,| BF
2 | + | AF
2 | 值最大,
此时| AB | = 2b2
a = b2
,∴ 5 = 8 - b2
,解得 b = 3,故选 Cư
8ư 【答案】D
【解析】结合三角函数平移原理,得到 g(x)的解析式,计算结果,即可 ư
【详解】化简,得到 f(x) = 2sin(2x - π
6 ),根据三角函数平移性质可知,当将 f(x)的图像上的
所有点的横坐标缩短到原来的 1
2 ,纵坐标保持不变,得到函数解析式为 f(x) = 2sin(4x -
π
6 ),当把所得图像向上平移 1 个单位长度,得到 g(x) = 2sin(4x - π
6 ) + 1,故 g(x) max = 3,
要使得 g(x
1 )·g(x
2 ) = 9,则要求 x
1 - x
2 = nT = n·2π
w = n· π
2 ,故选 Dư
9ư 【答案】A
【解析】如 x 为有理数,则 f(f(x)) = f(1) = 1,如 x 为无理数,f(f(x)) = f(0) = 1,故①正确;如 x 为有理数,则 - x 为有理数,则f( - x) = 1 = f(x),如 x 无有理数,则 - x 为无理数,则
f( - x) = 0 = f(x),故②正确;如 x 为有理数,则 T + x 为有理数,则 f(T + x) = 1 = f(x),如 x
无有理数,则 T + x 为无理数,则 f(T + x) = 1 = f(x),故③正确,令 x
1 = - 3
3 ,x
2 = 3
3 ,x
3 = 0,
则 f(x
1 ) = f(x
2 ) = 0,f(x
3 ) = 1,此时三角形 ABC 为等边三角形,所以④正确;故选 Aư考点:1ư 函数的奇偶性;2ư 函数的周期性;3ư 分段函数的表示与求值 ư
10ư 【答案】A
11ư 【答案】C
【解析】法一:由已知得sinα
cosα = 1 + sinβ
cosβ ,
所以 sinαcosβ = cosα(1 + sinβ),即 sin(α - β) = cosαư
结合诱导公式得 sin(α - β) = sin( π
2 - α)ư
因为 α∈(π,3π
2 ),β∈(0, π
2 ),所以 α - β∈(π,3π
2 ), π
2 - α∈( - π, - π
2 )ư
由诱导公式可得 sin(α - β) = sin[2π + ( π
2 - α)],易知 2π + ( π
2 - α)∈(π, 3
2 π),
因为 y = sinx 在( π
2 , 3
2 π)上单调递减,所以 α - β = 2π + ( π
2 - α),即 β = 2α - 5
2 πư
法二:由 tanα = 1 + sinβ
cosβ 得 tanα =
sin
β
2 + cos
β
2
cos
β
2 - sin
β
2
=
tan
β
2 + 1
1 - tan
β
2
= tan(
β
2 +
π
4 ),
所以 tanα = tan(
β
2 + π
4 )ư 因为 α∈(π,3π
2 ),β∈(0, π
2 ),所以 β
2 + π
4 ∈( π
4 , π
2 )ư
由诱导公式可得 tan(α - π) = tanα,即 tan(α - π) = tan(
β
2 + π
4 )
因为 y = tanx 在(0, π
2 )上单调递增,所以 α - π =
β
2 + π
4 ,即 β = 2α - 5
2 πư
12ư 【答案】B
2【解析】由题意设 g(x) =
f(x)ex ,则 g ′(x) =
f(x) - f(x)ex = 1x ,所以 g(x) = lnx + c(为常数)ư
∵ f(1) = - e,∴ g(1) =
f(1)e = - 1 = c,∴ f(x) = g(x)·ex
= ex
( - 1 + lnx),
∴ f(x) = ex
(lnx + 1x - 1),令 h(x) = lnx + 1x - 1,则 h(x) = 1x - 1x2 =
x - 1x2 ,
故当 1
2 < x < 1 时,h ′(x) < 0,h(x)单调递减,当 x > 1 时,h ′(x) > 0,h(x)单调递增 ư
∴ h(x)≥h(1) = 0,从而当 x∈ 1
2 , + ∞[ ö
ø
÷时,f(x)≥0,∴ f(x)在区间 1
2 , + ∞[ ö
ø
÷上单调递
增,设 φ(a) = a3
- 3a - 2 - e,a∈[ - 2,1],则 φ ′(a) = 3a2
- 3 = 3(a + 1)(a - 1),故 φ(a)在( - 2, - 1)上单调递增,在( - 1,1)上单调递减,所以 φ(a) max = φ( - 1) = - e,
∴ 存在 a[2,1],使不等式 f 2 - 1m
æ
è
ç ö
ø
÷
≤a3
- 3a - 2 - e 成立等价于 f 2 - 1m
æ
è
ç ö
ø
÷
≤ - e = f(1),
∴
2 - 1m ≤1
2 - 1m ≥ 1
2
ì
î
í
ïï
ïï ,解得 2
3 ≤m≤1,故 m 的取值范围为 2
3 ,1[ ],选 Bư
点睛:本题考查用函数的单调性解不等式,在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构
造函数 g ( x) =
f(x)ex ,并进一步求得函数 f( x) 的解析式,从而得到函数 f ( x) 在区间
1
2 , + ∞[ ö
ø
÷上的单调性,然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为 f(2 - 1m )≤f(1),
最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可 ư二、填空题:本大题共
4
小题,每小题
5
分.
13ư 【答案】1 + 5
2 ư
14ư 【答案】y = ± 3
3
xư
【解析】依题意椭圆x2
a2 +
y2
b2 = 1(a > b > 0)与双曲线x2
a2 -
y2
b2 = 1
2 (a > 0,b > 0)即x2
a2
2
-
y2
b2
2
= 1
(a > 0,b > 0)的焦点相同,可得:a2
- b2
= 1
2
a2
+ 1
2
b2
,即 a2
= 3b2
,
∴
b
a = 3
3 ,可得
b
2a
2
= 3
3 ,∴ 双曲线的渐近线方程为:y = ±
b
2a
2
x = ± 3
3
xư
315ư 【答案】30
【解析】 设 CD = x , 在 △AED 中, AE = 10 6, DE =DC
sin60° =
x
sin60°,∠DAE = 45°,∠AED = 105°,
∴ ∠ADE = 30°
由正弦定理得 DE
sin∠DAE =
AE
sin∠ADE,∴
x
sin60°
sin45° = 10 6
sin30°,
∴ x = 30
16ư 【答案】 π
3 + 3
8 ư
【解析】分析可知:两个函数均是单调函数且都关于点 0, 1
2
æ
è
ç ö
ø
÷对称,又由 A、B、C 三点的关
系得:点 A、C 关于点 B 对称,而点 B 就是两个函数的公共对称中心 0, 1
2
æ
è
ç ö
ø
÷
,所以 a = 0 ,
b = 3
2 ,作图可得所求的积分值为 π
3 + 3
8 ư
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17ư 【答案】(1)由 m→
= ( 3sinx,cos(x + π
3 )),n→
= (cosx,sin(x + 5π
6 ))得:
f(x) = m→
·n→
= ( 3sinx,cos(x + π
3 ))·(cosx,cos(x + π
3 )) = 3sinxcosx + cos
2
(x + π
3 )
= 3
2 sin2x +
1 + cos2(x + π
3 )
2 = 3
2 sin2x - 1
4 cos2x - 3
4 sin2x + 1
2 = 1
2 sin(2x - π
6 ) + 1
2 ư
2 分
…
……………………………………………………………………………
∴ 不等式 f(x) > 1
4
可化为:sin(2x - π
6 ) > - 1
2 ,∴ 2kπ - π
6 < 2x - π
6 < 2kπ + 7π
6 ,k∈Zư
4 分……………………………………………………………………………
即:kπ < x < kπ + 2π
3 ,k∈Z, ∴ 不等式的解集为: kπ,kπ + 2π
3
æ
è
ç ö
ø
÷
,k∈Z…………6 分
(2)由(1)知:f(
A
2 ) = 1
2 sin(A - π
6 ) + 1
2 = 3
4 ,∴ sin(A - π
6 ) = 1
2 ,
又∵ 0 < A < π
2 ,∴ - π
6 < A - π
6 < π
3 ,∴ A - π
6 = π
6 ,∴ A = π
3 8 分……………
再由正、余弦定理及 b = 1 得:
a + c = 2b = 2
b2
+ c2
- a2
= 2bc cosA{ ,
∴
a + c = 2
1 + (c + a)(c - a) = c{ ,∴ a = c = 1 10 分……………………………………
所以△ABC 是正三角形,故 S = 3
4 ư 12 分………………………………………
18ư 【解析】(1)在正方形 ABCD 中,∴ O 是 AC 的中点,又 P 是 EF 的中点,而正方形 ABCD 所在平面垂直于矩形 ACEF 所在的平面,
4∴ PO⊥平面 ABCD
由已知 AB = 2,AF = 1 得 PC = PD = 3,CM = DM = 5,PM = 2
∴ CM2
= PC2
+ PM2
,DM2
= PD2
+ PM2
∴ PM⊥PC,PM⊥PD,又 PC∩PD = P
故平面 PCD⊥平面 PCM 6 分……………………………………………………
(2)设三棱锥 O—PCM 的高为 h,
由(1)可得, VP - COM = 1
3
S
△COM ·PO = 1
3 · 1
2 ·1·1·1 = 1
6 ,∴ VO - PCM = VP - COM = 1
6
又在△PCM 中∴ PM⊥PC,PC = 3,PM = 2, ∴ S
△PCM = 1
2 · 3· 2 = 6
2
∴ VO - PCM = 1
3
S
△PCM h = 1
3 · 6
2 ·h = 1
6 ,故 h = 6
6 12 分………………………
19ư 【解析】
(1) x-
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5
5 = 3,y-
= 1ư 9 + 2ư 3 + 2ư 0 + 2ư 5 + 2ư 8
5 = 2ư 3,
∴ b^
=
∑
5
i = 1
xi yi - 5x- y-
∑
5
i = 1
x2i - 5 x- 2 = 36ư 5 - 34ư 5
55 - 45 = 0ư 2,∴ a^ = y-
- b^ x-
= 1ư 7,
所以,线性回归方程为:y^ = 0ư 2x + 1ư 7所以,预计今年的“参与”人数为:0ư 2 × 6 + 1ư 7 = 2ư 9(千人) 4 分……………
(2)分析可知:在 9 次独立重复试验中,事件发生的次数为 ξ 次,故随机变量 ξ 服从二项分
布 B(9, 1
3 ),所以 E(ξ) = 9 × 1
3 = 3 ,D(ξ) = 9 × 1
3 × 1 - 1
3
æ
è
ç ö
ø
÷
= 2ư ………………8 分
(3)(1)由列联表可得:
K2
=
n(ad - bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d) = 100 × (26 × 20 - 30 × 24)
2
56 × 44 × 50 × 50 ≈0ư 649 35 < 0. 708ư
所以没有 60% 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关. 12 分………………
20ư 【解析】(Ⅰ)设 P(x
1 ,y
1 ),∵ A( - 2,0),B(2,0),
则 kAP ·kBP =
y
1
x
1 + 2·
y
1
x
1 - 2 =
y2
1
x2
1 - 4,
又x2
1
4 + y2
1 = 1,则 y2
1 = 1 -
x2
1
4 ,代入上式,得 kAP ·kBP = - 1
4 , 2 分………………
由已知:kAP = 1
4
kBQ ,则 kAP ·kBP = - 1
4 = 1
4
kBQ ·kBP ,
从而 kBQ ·kBP = - 1,即 BP⊥BQư 5 分…………………………………………
(Ⅱ)设直线 PQ 的方程为:y = kx + b,
联立得:
y = kx + b
x2
+ 4y2
= 4
{ ⇒(1 + 4k2
)x2
+ 8kbx + 4(b2
- 1) = 0,
由△ > 0⇒4k2
+ 1 > b2
,
由韦达定理:x
1 + x
2 = - 8kb
1 + 4k2 ,x
1
x
2 = 4(b2
- 1)
1 + 4k2 , 6 分…………………………
由(1)BP⊥BQ,则BP→·BQ→ = 0,则(x
1 - 2)(x
2 - 2) + y
1
y
2 = 0⇒(x
1 - 2)(x
2 - 2) + (kx
1 + b)(kx
2 + b) = 0,
5即:(1 + k2
)x
1
x
2 + (kb - 2)(x
1 + x
2 ) + 4 + b2
= 0,所以:12k2
+ 16kb + 5b2
= 0,
得:k = - 1
2
b 或 k = - 5
6
b, 8 分…………………………………………………
当 k = - 1
2
b 时,直线 PQ:y = b( - 1
2
x + 1),不合题意,
当 k = - 5
6
b 时,直线 PQ:y = b( - 5
6
x + 1),过定点 M( 6
5 ,0), 10 分…………
又 S
1 = 1
2
AM y
2 - y
1 ,S
2 = 1
2
MB y
2 - y
1 ,
则S
1
S
2
=
AM
MB =
6
5 - ( - 2)
2 - 6
5
= 4,为定值 ư 12 分…………………………………
21ư 【解析】(Ⅰ)∵ f ′(x) = (x + 1)ex
- a,设 h(x) = f ′(x) = (x + 1)ex
- a,则 h ′(x) = (x + 2)ex
,当 x∈( -
¥
, - 2)时,h ′(x) < 0,h(x)单调递减,当 x∈( - 2, +
¥
)时,h ′(x) > 0,h(x)单调递增, 2 分…………………………
且 h( - 2) = - 1e2 - a < 0,
当 x∈( -
¥
, - 2)时,h(x) = (x + 1)ex
- a < 0 - a < 0,当 x∈( - 2, +
¥
)时,取 x = a,则 h(a) = (a + 1)ea
- a = a(ea
- 1) + ea
> 0,依据零点存在性定理,知存在唯一的 x
0 ∈( - 2,a),使得 h(x
0 ) = f ′(x
0 ) = 0,…………4 分
且 x < x
0
时,f ′(x) < 0,f(x)递减,且 x > x
0
时,f ′(x) > 0,f(x)递增,故 x = x
0
为函数 f(x)唯一的极小值点 ư 5 分……………………………………
(Ⅱ)因为 F(x) = g(x) - f(x) = alnx - xex
+ ax,
所以 F ′(x) =
a
x - (x + 1)ex
+ a,
设 t(x) = F ′(x),则 t ′(x) = -
a
x2 - (x + 2)ex
< 0,
则 F ′(x)在(0, +
¥
)上为单调递减函数,
取 x = 1
2 ,则 F ′( 1
2 ) = 3a - 3
2
e = 3(a -
e
2 ) > 0,
取 x = a,则 F ′(a) = (1 + a) - (1 + a)ea
= (1 + a)(1 - ea
) < 0,
所以,存在唯一的 x
1 ∈( 1
2 ,a),使得 F ′(x
1 ) = 0,即 a
x
1
- (x
1 + 1)ex
1
+ a = 0,…………7 分
且当 x∈(0,x
1 )时,F ′(x) > 0,F(x)单调递增,
当 x∈(x
1 , +
¥
)时,F ′(x) < 0,F(x)单调递减,故函数 F(x)在 x = x
1
处取得最大值 F(x
1 ), 9 分………………………………
此时,由 a
x
1
- (x
1 + 1)ex
1
+ a = 0 得 a = x
1
ex
1
,
F(x
1 ) = alnx
1 - x
1
ex
1
+ ax
1 = alnx
1 - a + ax
1 = a(lnx
1 - 1 + x
1 ),
6由 a = x
1
ex
1 两边取对数,得 lna = x
1 + lnx
1
则 M = F (x) max = F(x
1 ) = a(lnx
1 - 1 + x
1 ) = a(lna - 1) > 0,由已知,lna - 1 > 0⇒a > e,故正整数 a 的最小值为 3ư 12 分…………………………………………………
请考生在
22、23
两题中任选一题做,如果多做,则按所做的第一题记分.
22ư 选修 4 - 4:坐标系与参数方程
【解析】(1)将 x = 2 - 2
2
t 代入 x + y - 2 = 0,得 y = 2
2
t,
∴ 直线 l 的参数方程是
x = 2 - 2
2
t
y = 2
2
t
ì
î
í
ï
ï
ïï (t 为参数) 2 分……………………………
由 ρ(1 + cos2θ) = 2asinθ (a > 0)得曲线 C 的直角坐标方程:x2
= ay (a > 0)
5 分
…………
……………………………………………………………………………
(2)将直线 l 的参数方程代入 x2
= ay,得:t2
- 2 4 + a( )t + 8 = 0,
设 A、B 对应的参数分别是 t
1 ,t
2 ,∴ t
1 + t
2 = 2(4 + a),t
1
t
2 = 8,由题意知: AB 2
= PA · PB ,∴ t
1 - t
2
2
= t
1
t
2 ,∴ t
1 + t
2
2
= 4t
1
t
2 + t
1
t
2
7 分
………
……………………………………………………………………………
得:2 (4 + a)
2
= 40,∴ a = ± 2 5 - 4,又∵ a > 0,∴ a = 2 5 - 4( 经检验:符合题意 ư )
10 分
……
……………………………………………………………………………
23ư 选修 4 - 5:不等式选讲
【解析】(1)利用分类讨论法解绝对值不等式;(2)先求出 h(x) = | f(2x + a) - 2f(x) |
=
0, x≤0
|4x | ,0 < x < a
4a, x≥a
{ ,再求出| f(2x + a) - 2f(x) | max = 4aư 解不等式 4a≤2 即得解 ư
【详解】(1)当 a = 1 时,f(x) = 3x - 1,x≥1x + 1,x < 1ư
{ 2 分………………………………
当 x≥1 时,由 f(x)≥2⇒3x - 1≥2⇒x≥1;当 x < 1 时,由 f(x)≥2⇒x + 1≥2⇒x≥1 不成立;综上所述,当 a = 1 时,不等式 f(x)≥2 的解集为[1, + ∞ )ư 5 分……………
(2)记 h(x) = | f(2x + a) - 2f(x) | = 2 | | x | - | x - a | + a |
则 h(x) =
0, x≤0
|4x | , 0 < x < a
4aư x≥a
{ ư 7 分………………………………………………
∴ | f(2x + a) - 2f(x) | max = 4aư 依题意得 4a≤2,∴ a≤ 1
2 ư
所以实数的取值范围为(0, 1
2 ]ư 10 分…………………………………………
7