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秘密 　 ★　 启用前 ２０２０ 届高三月考试题（三） 数学（文科） 注意事项： １ư 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓 名、准考证号和科目。 ２ư 考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上答题无效。 考生在 答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。 ３ư 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 ４ư 本试题卷共 ４ 页。 如缺页，考生须声明，否则后果自负。 ５ư 时量 １２０ 分钟，满分 １５０ 分。 一、选择题（本大题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，共 ６０ 分 ư 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） １ư 已知集合 Ａ ＝ ｛０，１，２｝，Ａ 的非空子集个数为（　 　 ） Ａư ５　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂư ６　 　 　 　 　 　 　 　 Ｃư ７　 　 　 　 　 　 　 　 Ｄư ８ ２ư 已知 ａ，ｂ∈Ｒ，ｉ 为虚数单位，（２ａ ＋ ｉ）（１ ＋ ３ｉ） ＝ ３ ＋ ｂｉ，则 ａ ＋ ｂ ＝ （　 　 ） Ａư ２２ Ｂư － １６ Ｃư ９ Ｄư － ９ ３ư 已知具有线性相关的变量 ｘ，ｙ，设其样本点为 Ａｉ （ｘｉ ，ｙｉ ）（ｉ ＝ １，２，……，６），回归直线方程为 ｙ ＝ ｘ ３ ＋ ｂ，若ＯＡ １ → ＋ ＯＡ ２ → ＋ … ＋ ＯＡ ６ → ＝ （９，６）（Ｏ 为坐标原点），则 ｂ ＝ （　 　 ） Ａư ３ Ｂư － ４ ３ Ｃư １ ２ Ｄư － １ ２ ４ư 已知平面向量ａ→ ，ｂ→满足｜ ａ→ ｜ ＝ ｜ ｂ→ ｜ ＝ １，若｜３ ａ→ ＋ ２ ｂ→ ｜ ＝ ７，则向量ａ→与ｂ→的夹角为（　 　 ） Ａư ３０° Ｂư ４５° Ｃư ６０° Ｄư １２０° —数学（文科）月考试卷（三）　 第 １ 页（共 ４ 页）—５ư 黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为 ３６°，底角为 ７２°，底与腰的长度比值约为 ０ư ６１８，这一数值也可以表示为 ｍ ＝ ２ｃｏｓ７２°，若 ｎ ＝ ｃｏｓ３６°ｃｏｓ７２°ｃｏｓ１４４°，则 ｍｎ ＝ （　 　 ） Ａư － １ Ｂư １ ８ Ｃư － １ ８ Ｄư １ ６ư 已知｛ａｎ ｝是公差为 ２ 的等差数列，Ｓｎ 为 ａｎ{ }的前 ｎ 项和，若Ｓ ５ ＝ Ｓ ３ ，则 ａ ４ ＝ （　 　 ） Ａư － ４ Ｂư － ３ Ｃư － ２ Ｄư － １ ７ư 在四面体 ＳＡＢＣ 中，若三条侧棱 ＳＡ，ＳＢ，ＳＣ 两两互相垂直，且 ＳＡ ＝ １，ＳＢ ＝ ２，ＳＣ ＝ ３，则四 面体 ＡＢＣＤ 的外接球的表面积为（　 　 ） Ａư ８π Ｂư ６π Ｃư ４π Ｄư ２π ８ư 函数 ｙ ＝ ｘ２ ＋ ｌｎ ｜ ｘ ｜ｘ 的图象大致为（　 　 ） ９ư 已知满足条件∠ＡＢＣ ＝ ３０°，ＡＢ ＝ １２，ＡＣ ＝ ｘ 的△ＡＢＣ 有两个，则 ｘ 的取值范围是（　 　 ） Ａư ｘ ＝ ６ Ｂư ６ ＜ ｘ ＜ １２ Ｃư ｘ≥１２ Ｄư ｘ≥１２ 或 ｘ ＝ ６ １０ư 环境指数是“宜居城市”评比的重要指标 ư 根据以下环境指数 的数据，对名列前 ２０ 名的“宜居城市”的环境指数进行分组统 计，结果如表所示 ư 现从环境指数在［４，５）和［７，８］内的“宜 居城市”中随机抽取 ２ 个市进行调研，则至少有 １ 个市的环境 指数在［７，８］的概率为（　 　 ） 组号 分组 频数 １ ［４，５） ２ ２ ［５，６） ８ ３ ［６，７） ７ ４ ［７，８］ ３ Ａư ３ ４ Ｂư ３ ５ Ｃư ２ ３ Ｄư ９ １０ １１ư 在数列｛ａｎ ｝中，ａ １ ＝ １，当 ｎ≥２ 时，其前 ｎ 项和 Ｓｎ 满足 Ｓ２ｎ ＝ ａｎ （Ｓｎ － １），设 ｂｎ ＝ ｌｏｇ２ Ｓｎ Ｓｎ ＋ ２ ，数 列 ｂｎ{ }的前 ｎ 项和为 Ｔｎ ，则满足 Ｔｎ ≥５ 的最小正整数 ｎ 是（　 　 ） Ａư １０ Ｂư ９ Ｃư ８ Ｄư ７ １２ư 已知函数 ｆ（ｘ） ＝ ４ｓｉｎ（２ｘ － π ６ ），ｘ∈［０，４３π ３ ］，若函数 Ｆ（ｘ） ＝ ｆ（ｘ） － ３ 的所有零点依次记 为 ｘ １ ，ｘ ２ ，ｘ ３ ，…，ｘｎ ，且 ｘ １ ＜ ｘ ２ ＜ ｘ ３ ＜ … ＜ ｘｎ ，则 ｘ １ ＋ ２ｘ ２ ＋ ２ｘ ３ ＋ … ＋ ２ｘｎ － １ ＋ ｘｎ ＝ （　 　 ） Ａư １１９０π ３ Ｂư １１９２π ３ Ｃư ３９８π Ｄư １１９６π ３ —数学（文科）月考试卷（三）　 第 ２ 页（共 ４ 页）—二、填空题（本大题共 ４ 小题，每小题 ５ 分，共 ２０ 分） １３ư 函数 ｆ（ｘ） ＝ ｌｏｇ １ ３ （ｘ － １）的定义域为　 　 　 　 　 ư １４ư 若函数 ｆ（ｘ） ＝ ｌｎｘ ＋ １ ２ ｘ２ ＋ ｅｘ ，则曲线 ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线的方程为　 　 　 　 ư １５ư ２０１９ 年 １０ 月 １ 日，我国举行盛大的建国 ７０ 周年阅兵，能 被邀到现场观礼是无比的荣耀 ư 假设如图，在坡度为 １５° 的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平 面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分 别为 ６０°和 ３０°，且第一排和最后一排的距离为 １０ ６米，则 旗杆的高度为　 　 　 　 　 米 ư １６ư 已知函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ｘ） ＋ １ ＝ １ｆ ｘ ＋ １ ( )，当 ０≤ｘ≤１ 时，ｆ（ｘ） ＝ ｘ，若方程 ｆ（ｘ） － ｍｘ － ｍ ＝ ０ ｘ∈ － １，１ ( ]( )有两个不同实数根，则实数 ｍ 的最大值是　 　 　 　 　 ư 三、解答题（共 ７０ 分 ư 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ư 第 １７ ～ ２１ 题为必考题，每 个试题考生都必须作答 ư 第 ２２、２３ 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 ６０ 分 ư １７ư （本小题满分 １２ 分）已知函数 ｆ（ｘ） ＝ ３ｓｉｎｘｃｏｓｘ ＋ １ ２ （ｓｉｎ ２ ｘ － ｃｏｓ ２ ｘ）（ｘ∈Ｒ）， （１）求 ｆ（ｘ）的单调递增区间 ư （２）在△ＡＢＣ 中，角 Ａ，Ｂ，Ｃ 所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ，若 ｆ（Ａ） ＝ １，ｃ ＝ １０，ｃｏｓＢ ＝ １ ７ ，求△ＡＢＣ 的中线 ＡＤ 的长 ư １８ư （本小题满分 １２ 分）已知｛ａｎ ｝的前 ｎ 项和 Ｓｎ ＝ ４ｎ － ｎ２ ＋ ３， （１）求数列｛ａｎ ｝的通项公式； （２）求数列 ６ － ａｎ ２ ｎ ＋ １{ }的前 ｎ 项和 Ｔｎư １９ư （本小题满分 １２ 分）如图，在梯形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ ＝ ＤＣ ＝ ＣＢ，∠ＡＢＣ ＝ π ３ ，平面 ＡＣＦＥ⊥平面 ＡＢＣＤ，四边形 ＡＣＦＥ 是矩 形，ＡＥ ＝ ＡＤ，点 Ｍ 在线段 ＥＦ 上 ư （１）求证：ＢＣ⊥平面 ＡＣＦＥ； （２）若ＥＭ ＭＦ ＝ １ ２ ，求证：ＡＭ∥平面 ＢＤＦư —数学（文科）月考试卷（三）　 第 ３ 页（共 ４ 页）—