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第31讲 与圆有关的位置关系
题一： 如图，△ABC是边长为10的等边三角形，以AC为直径作⊙O，D是BC上一点，BD = 2，以点B为圆心，BD为半径的⊙B与⊙O的位置关系为 .
题二： 如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = 16，BC = 6，AC为⊙O的直径，⊙B的半径长为r．
(1)当r = 2时，求证：⊙O与⊙B外切；
(2)求当⊙B与⊙O内切时，r的值．
题三： 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠C = 90°，AD+BC = AB，以AB为直径作⊙O．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)试探索以CD为直径的圆与AB有怎样的位置关系？证明你的结论．
题四： 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A = ∠B = 90°，E是AB的中点，连接DE、CE，AD+BC = CD，以下结论：
(1)∠CED = 90°；
(2)DE平分∠ADC；
(3)以AB为直径的圆与CD相切；
(4)以CD为直径的圆与AB相切．
其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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第31讲 与圆有关的位置关系
题一： 外离．
详解：要判断两圆的位置关系，需要明确两圆的半径和两圆的圆心距，再根据数量关系进一步判断两圆的位置关系，设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d = R+r；相交，则R－r＜d＜R+r；内切，则d = R－r；内含，则d＜R－r．根据题意得，圆O的直径是10，点B到点O的距离是5，则5＞5+2，所以⊙B与⊙O的位置关系为外离．
题二： 见详解；(2)18．
详解：(1)如图，连接BO，
∵AC = 16，∴OC = 8，∴BO == 10，
当r = 2时，有2+OC = 2+8 = 10 = OB，
∴⊙O与⊙B外切；
(2)由|r－8| = 10得r－8 = ±10，解得r1 = 18，r2 =－2(舍去)，
所以当r = 18时，⊙O与⊙B内切．
题三： 见详解；(2) 以CD为直径的圆与AB相切，证明见详解．
详解：(1)过点O作OE⊥CD于点E，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C = 90°，
∴AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥OE∥BC，
∵OA = OB，
∴OE是梯形ABCD的中位线，
∴OE =(AD+BC)，
∵AD+BC = AB，
∴OE =AB，
∵以AB为直径作⊙O，
∴直线CD是⊙O的切线；
(2)设以CD为直径的圆的圆心为O′．过点O′作O′F⊥AB于点F，过点O′作O′M∥AD，连接O′A，
∴O′M是梯形ABCD的中位线，即O与M重合，
∴O′M =(AD+BC) =AB = MA
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，
∴∠O′AM = ∠AO′M，
∵AD∥O′M，
∴∠DAO′ = ∠AO′M = ∠O′AM，
在△AO′D和△AO′F中，，
∴△AO′D≌△AO′F (AAS)，
∴O′F = O′D =CD，
即AB与⊙O′相切．
题四： D．
详解：先过E作EF∥BC，再过E作EG⊥CD，分别与CD交于点F、G．
(1)∵EF∥BC∥AD，E是AB中点，
∴AE:BE = DF:CF，AE = BE，
∴DF = CF，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF =(AD+BC)，
又∵AD+BC = CD，
∴EF =CD，
∴△DEC是直角三角形，
即∠DEC = 90°；
(2)∵EF∥BC∥AD，
∴∠1 = ∠DEF，
又∵EF是Rt△DEC的中线，
∴DF = EF，
∴∠2 = ∠DEF，
∴∠1 = ∠2，
即DE平分∠ADC；
(3)∵EG⊥CD，∠A = 90°，
∴∠A = ∠EGD = 90°，
又∵∠1 = ∠2，ED = ED，
∴△AED≌△GED(AAS)，
∴EG = AE =AB，
又∵EG⊥CD
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，
∴CD是⊙E的切线，
即以AB为直径的圆与CD相切；
(4)∵∠A = 90°，EF∥AD∥BC，
∴∠BEF = 90°，
∴EF⊥AB，
又∵EF =CD，
∴AB是⊙F的切线，
即以CD为直径的圆与AB相切．
故此四个结论都正确，故选D．
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