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第33讲 正多边形与圆
题一： 已知正六边形的内切圆的半径是，则正六边形的边长为 .
题二： 边长为a的正六边形的内切圆与外接圆的半径的比为 .
题三： 如图五边形ABCDE内接于⊙O，∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E．求证：五边形
ABCDE是正五边形．
题四： 如图，连接正五边形ABCDE各条对角线，就得到一个五角星图案.
(1)求五角星的各个顶角(如∠ADB)的度数；
(2)求证：五边形MNLHK是正五边形．
题五： 如图，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
题六： 已知正方形ABCD的边心距OE =cm，求这个正方形外接圆⊙O的面积．
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第33讲 正多边形与圆
题一： 2.
详解：如图，连接OA、OB，OG，
∵六边形ABCDEF是正六边形，设其边长为a，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA = AB = a，
又∵OG为正六边形的内切圆的半径，
∴OG⊥AB，OG =，AG =，
在Rt△OAG中，，解得a = 2.
题二： .
详解：∵正六边形的外接圆的半径等于其边长，为a，
正六边形的内切圆的半径等于其边心距，为，
∴正六边形的内切圆与外接圆的半径的比为.
题三： 见详解．
详解：∵∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E，∠A对着弧BDE，∠B对着弧CDA，
∴弧BDE = 弧CDA，
∴弧BDE－弧CDE = 弧CDA－弧CDE，即弧BC = 弧AE，
∴BC = AE，
同理可证其余各边都相等，
∴五边形ABCDE是正五边形．
题四： (1)36°；(2)见详解．
详解：(1)∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC = (5－2)×180°×= 108°，
∴∠ADB = 108°－(180°－108°) ×2 = 36°；
(2)∵∠NBC = ∠NCB = ∠MBN = 36°，
∴∠KMN = ∠MNB+∠MBN = ∠NBC+∠NCB+∠MBN = 108°，
同理∠MNL = ∠NLH = ∠LHK = ∠HKM= 108°，
∴MN = NL = LH = HK = MK，
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∴五边形MNLHK是正五边形．
题五： 4π cm2.
详解：如图，连接OE、OA，设正方形外接圆、内切圆的半径分别为R、r，
则OA2－OE2 = AE2，即R2－r2 == 4，
则S圆环 = S大圆－S小圆 = πR2－πr2 = π(R2－r2)，
∵R2－r2 = 4，
∴S = 4π (cm2)．
题六： 4π cm2．
详解：连接OC、OD，∵圆O是正方形ABCD的外接圆，
∴O是对角线AC、BD的交点，
∴∠ODE =∠ADC = 45°，
∵OE⊥CD，
∴∠OED = 90°，
∴∠DOE = 180°－∠OED－ODE = 45°，
∴OE = DE = cm，
由勾股定理得OD == 2 cm，
∴这个正方形外接圆⊙O的面积是π•22 = 4π(cm2).
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