宁夏银川市第一中学2020届高三上学期第三次月考数学（理）试卷（附答案）.doc

银川一中 2020 届高三年级第三次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 CRA= A． B． C． D． 2．设 是虚数单位，如果复数 的实部与虚部是互为相反数，那么实数 的值为 A． B． C． D． 3．若向量 =（0，-2）， =（ ，1），则与 共线的向量可以是 A．（ ，-1） B．（-1， ） C．（ ，-1） D．（ ） 4．设 ， ，那么“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 A．2　　　　　　 B．3 C．2 　　　　　　　　　D．2 6 ． 等 比 数 列 的 首 项 为 ， 公 比 为 ， 前 项 和 为 ， 则 当 时， 的最小值与最大值的比值为 A． B． C． D． 7．某汽车公司的 A,B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,若 A 厂每小时可装配 1 辆 甲型车和 2 辆乙型车,B 厂每小时可装配 3 辆甲型车和 1 辆乙型车.现要装配 40 辆甲型车和 40 辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为 a b R∈ 1a b > 0a b> > 2 2 3 { }05| 2 >−= xxxA { }50| ≤≤ xx { }0| xx { }05| ≤≤− xx i 2 a i i − + a 3 1 3 1 3 − 3− m n 3 nm +2 3 3 3− 3,1 −− { }na 3 2 1 2 − n nS *n N∈ 1 n n S S − 12 5− 10 7− 10 9 12 5A．16,8 B．15,9 C．17,7 D．14,10 8．已知正数 满足 ，则 的最小值为 A．5 B． C． D．2 9．已知函数 ，把函数 的图象向右平移 个单位，再把图象的横 坐标缩小到原来的一半，得到函数 的图象，当 时，方程 有两 个不同的实根，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 10．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A． B． C． D． 11．甲、乙、丙三人中,一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知:丙的年龄比医生大;甲的 年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是 A．甲是教师,乙是医生,丙是记者 B．甲是医生,乙是记者,丙是教师 C．甲是医生,乙是教师,丙是记者 D．甲是记者,乙是医生,丙是教师 12．已知定义在 上的连续奇函数 的导函数为 ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知函数 ，如果不等式 的解集为 ，那么不等式 的解集为________________. 14．观察下列各式： ， ， ， ，…，由此推得： ． ,x y 1=+ yx 1 4 1x y + + 3 14 9 2 ( ) 3sin cosf x x x= + ( )f x 3 π ( )g x 0, 2x π ∈   ( ) 0g x k− = k 1, 3   )3,2 [ ]1,2 [ )1,2 12017 − 12018 − 12019 − 12020 − R ( )f x ( )f x′ 0x > ( ) ( ) 0f xf x x ′ + > ( ) ( ) ( )2 2 1 3 3 1 0xf x x f x+ − − > x ( )1,+∞ ( )11, 1,5  − +∞   1 ,15      ( ),1−∞ bxabaxxf −−+= )1()( 2 ( ) 0f x > ( )1,3− ( )2 0f x− < 31 =1 3 3 21 +2 =3 3 3 3 21 +2 +3 =6 3 3 3 3 21 +2 +3 +4 =10 3 3 3 31 +2 +3 +n = 3 π− 1− 1 x2 3 πO y15．若函数 的图象 如图所示,则图中的阴影部分的面积为 . 16．底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使 水面恰好浸没所有铁球，则需要注水体积为 cm3. 三、解答题：共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第 17～21 题为必考题， 第 22、23 题为选考题. （一）必考题：共 60 分 17．（12 分） 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通项公式 an. (2)求数列{an-n-2}的前 n 项和. 18．（12 分） 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防 辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用 p(万元)和宿 舍与工厂的距离 x(km)的关系为 ,若距离为 1km 时，测算宿舍建造费用为 100 万元.为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需 5 万元，铺 设路面每公里成本为 6 万元，设 f(x)为建造宿舍与修路费用之和. (1)求 f(x)的表达式 (2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用 f(x)最小并求最小值. 19．（12 分） 如图，在四边形 中， （1）求 的正弦值； （2）若 ，且△ 的面积是△ 面积的 4 倍，求 的长. 20．（12 分） 各项均为正数的等比数列 中，已知 是数列 的前 n 项和. （1）求数列 的通项公式； （2）求 ； ( ) sin( )( 0, 0)6f x A x A πω ω= − > > 2 1 )80(53 ≤≤+= xx kp ABCD 7 , 2 ,AC CD AD= = 2 .3ADC π∠ = CAD∠ 2BAC CAD∠ = ∠ ABC ACD AB { }na 1 52, 512, na a T= = { }2log na { }na nT（3）求满足 的最大正整数 n 的值. 21．（12 分） 已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围（ 为自 然常数）； (3)求证： ． (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一 题记分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程 （ 为参数）．以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 的极坐标方程； （2）若直线 的极坐标方程是 ，射线 与曲线 的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长． 23．[选修 4－5：不等式选讲] 已知函数 （1）解不等式 ； （2）若 ，求证： . 2013 1011)11()11)(11( 32 >−−− nTTT  ( ) ln 3f x a x ax= − − ( 0)a ≠ ( )f x ( ) ( 1) 4 0f x a x e+ + + − ≤ 2[ , ]x e e∈ a e 2 2 2 2 1 1 1 1ln( 1) ln( 1) ln( 1) ... ln( 1) 12 3 4 n + + + + + + + + < *( 2, )n n N≥ ∈ xOy C    ϕ= ϕ+= sin cos1 y x ϕ O x C l 2 sin( ) 3 33 πρ θ + = : 3OM πθ = C ,O P l Q PQ |1|)( −= xxf ( ) ( 4) 8f x f x+ + ≥ | | 1, | | 1, 0a b a< < ≠ )(||)( a bfaabf >银川一中 2020 届高三年级第三次月考（理科）参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A B B D B A C D D C C 二、填空题： 13． 14． 15. 16. 三、解答题： 17．解：(1)由题意得 则 -----------------------------------2 分 又当 n≥2 时,由 a n+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得 an+1=3an,-------4 分 所以数列{a n}是以 1 为首项,公比为 3 的等比数列,所以 a n=3n-1,n∈N *.---6 分 (2)记 Sn=(a1-1-2)+(a2-2-2)+(a3-3-2)+……+(a n-n-2) ------8 分 =(a1+a2+……+a n)-[3+4+5+……+(n+2)] ------10 分 = -----12 分 18．解(1)根据题意，距离为 1km 时，测算宿舍建造费用为 100 万元 -------------3 分 -------------6 分 (2) =75 -------------8 分 当且仅当 即 x＝5 时 -------------11 分 答：宿舍应建在离厂 5km 处可使总费用 f(x)最小为 75 万元. ------12 分 19.（Ⅰ）在△ 中，设 ， 由余弦定理得 ，-----------------2 分 整理得 ，解得 . 所以 ---------------------------------------------------4 分 由正弦定理得 ，解得 .......................6 分 （Ⅱ）由已知得 ， }2 1 2 3|{ >−< xxx 或 4 )1( 22 +nn 2 31− π+ )2 2 3 1( 1 2 2 1 a a 4, a 2a 1,  + = = + 1 2 a 1, a 3.  = = 2 513 2 5 2 13 2 )23( 31 31 22 nnnnnn nnn −−−=+−−=++−− − 800,513100 =∴+×= kk  80,6553 800)( ≤≤+++=∴ xxxxf 5805)53(253 800)( −≥−+++= xxxf )53(253 800 +=+ xx 75)( min =xf ACD ( 0)AD x x= > 2 2 27= 4 2 2 cos 3x x x x+ − × ⋅ π 27 7x = 1x = 1, 2.AD CD= = 2sin sin 3 DC AC DAC =∠ π 21sin .7DAC∠ = 4ABC ACDS S∆ ∆=所以 ， 化简得 ------------------------------8 分 所以 于是 --------------------------------------------------10 分 因为 ，且 为锐角， 所以 .----------------------------12 分 因此 ...............12 分 20． 21．解：（1）函数的定义域为 ， , 2 分 当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 3 分 当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 4 分 （2）令 , 则 ，令 ，则 5 分 （a）若 ,即 则 在 是增函数, 1 1sin 4 sin2 2AB AC BAC AD AC CAD⋅ ⋅ ∠ = × ⋅ ⋅ ∠ sin 4 sin .AB BAC AD CAD⋅ ∠ = ⋅ ∠ 2sin cos 4 sin ,AB CAD CAD AD CAD⋅ ∠ ⋅ ∠ = ⋅ ∠ cos 2 .AB CAD AD⋅ ∠ = 21sin 7CAD∠ = CAD∠ 2 2 7cos 1 sin 7CAD CAD∠ = − ∠ = 7.AB = ' (1 )( ) a xf x x −= 0a > ( )f x (0,1] [1, )+∞ 0a < ( )f x [1, )+∞ (0,1] ( ) ln 3 ( 1) 4 ln 1F x a x ax a x e a x x e= − − + + + − = + + − ' ( ) a xF x x += ' ( ) 0a xF x x += = x a= − a e− ≤ a e≥ − ( )F x 2[ , ]e e 无解. 6 分 （b）若 即 ，则 在 是减函数, 所以 7 分 （c）若 ,即 ， 在 是减函数, 在 是增函数, 可得 可得 所以 综上所述 8 分 （3）令 （或 ）此时 ，所以 ， 由（1）知 在 上单调递增，∴当 时， 即 ，∴ 对一切 成立， 9 分 ∵ ，则有 ， 10 分 所以 12 分 22.(1)曲线 的普通方程为 ， 极坐标方程为 ------4 分 (2)设 ，则有 解得 --6 分 设 ，则有 解得 --8 分 所以 . --10 分 23.解：（1）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝{－2x－2，x＜－3， 4，－3 ≤ x ≤ 1， 2x＋2，x＞1． 2 2 max( ) ( ) 2 1 0F x F e a e e= = + + − ≤ 2 1 2 e ea − −≤ 2a e− ≥ 2a e≤ − ( )F x 2[ , ]e e max( ) ( ) 1 0F x F e a= = + ≤ 1a ≤ − 2a e≤ − 2e a e< − < 2e a e− < < − ( )F x [ , ]e a− 2[ , ]a e− 2 2( ) 2 1 0F e a e e= + + − ≤ 2 1 2 e ea − −≤ ( ) 1 0F e a= + ≤ 1a ≤ − 2 2 1 2 e ee a − −− ≤ ≤ 2 1 2 e ea − −≤ 1a = − 1a = ( ) ln 3f x x x= − + − (1) 2f = − ( ) ln 3f x x x= − + − [1, )+∞ (1, )x∈ +∞ ( ) (1)f x f> ln 1 0x x− + − > ln 1x x< − (1, )x∈ +∞ *2,n n N≥ ∈ 2 2 1 1 1 1 1ln( 1) ( 1) 1n n n n n n + < < = −− − 2 2 2 2 1 1 1 1ln( 1) ln( 1) ln( 1) ... ln( 1)2 3 4 n + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ...( )2 2 3 3 4 1n n < − + − + − + −− 11 1n = − < C 2 2( 1) 1x y− + = 2cosρ θ= 1 1( , )P ρ θ 2cos 3 ρ θ πθ = = 1 11, 3 πρ θ= = 2 2( , )Q ρ θ 2 sin( ) 3 33 3 πρ θ πθ  + =  = 2 23, 3 πρ θ= = 2PQ =当 x＜－3 时，由－2x－2≥8，解得 x≤－5； 当－3≤x≤1 时，f(x)≤8 不成立； 当 x＞1 时，由 2x＋2≥8，解得 x≥3．……………………………………………4 分 所以，不等式 f(x)≤4 的解集为{x|x≤－5，或 x≥3}．……………………………5 分 （2）f(ab)＞|a|f(b a)，即|ab－1|＞|a－b|． …………………………………………6 分 ∵因为|a|＜1，|b|＜1， ∴|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0， 所以，|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立．…………………………………10 分