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2019 学年第一学期期中考试
高三数学 试题卷
命题:冯霄 审题:郭春
满分 150 分,时间 120 分钟 2019 年 11 月
本试题卷分选择题和非选择题两部分,请考生按规定将所有试题答案写在答题卷的相
应位置。
参考公式:
如果事件 ,A B 互斥,那么 ()()()PA B PA PB+= +
如果事件 ,A B 相互独立,那么 ()()()PAB PA PB×= ×
如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生
k 次的概率 ( ) (1 ) ( 0,1, 2, , )kk nk
nnPX k Cp p k n-== - = …
球的表面积公式 锥体的体积公式
24SRp= 1
3VSh=
球的体积公式 其中 S 表示棱锥的底面面积, h 表示棱锥的高
34
3VRp= 台体的体积公式
其中 R 表示球的半径 1 (S )3 AABBVSSSh=+ +
柱体的体积公式 其中 ,ABSS分别表示台体的上、下底面积
VSh= h 表示台体的高
其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高
选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 {}|2 4xAx=³, {}2|log 4Bx x= £ ,则 RCA B ( )
.A [ ]2,16 c ( ),2-¥ .C ( )0, 2 .D ( ],16-¥
2.已知椭圆
2
2
2 1x ya +=(1)a > 的离心率为 3
2
,则其焦距为( )
.A 3 .B 23 .C 5 .D 25
3.设 z 为复数, z 为其共轭复数,则“ 2zz×£”是“ 2z £ ”的( )
.A 充分必要条件 .B 必要不充分条件
.C 充分不必要条件 .D 既不充分也不必要条件
4.已知平面a b^ 且 lab= , M 是平面a 内一点, ,mn是异于l 且不重合的两条直线,则
下列说法中错误..的是( )
.A 若 m a 且 m b ,则 ml .B 若 m a^ 且 n b^ ,则 mn^
.C 若 M mÎ 且 ml ,则 m b .D 若 M mÎ 且 ml^ ,则 m b^
5.设 ,x y 满足不等式组
013
057
011
yx
yx
yx
,若 yaxZ 的最大值为 92 a ,最小值为 2a ,
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则实数 a 的取值范围是( )
]7,.( A ]1,3.[B ),1.[ C ]3,7.[ D
6.将编号为 1,2,3,4,5,6,7 的小球放入编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个盒子中,每盒放一球,若有且
只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同,则不同的放法种数为( )
.A 5040 .B 24 .C 315 .D 840
7.已知 ,ab R ,随机变量 满足 ,Pxaxb 其中 1, 0,1x ,若 1
3E ,则
2ED =( )
.A 1
3 .B 2
3 .C 1 .D 4
3
8.已知实数 ,xy满足 20xy,且 11122xy x y
,则 x y 的最小值为( )
.A 323
5
.B 423
5
.C 243
5
.D 343
5
9.已知可导函数 ()f x 的导函数为 f x ,若对任意的 x R ,都有 () 2fx f x,且
( ) 2019fx 为奇函数,则不等式 2017 2xfx e 的解集为( )
.A ,0 .B 0, .C 2
1, e
.D 2
1 ,e
10.已知数列 na 满足 2
*
11
1 ,2 2018
n
nn
aaa anN,则使 1na 的正整数 n 的最小值
是( )
.A 2018 .B 2019 .C 2020 .D 2021
非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本小题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。
11.我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题:“以绳测井,若将绳三折测之,绳多
四尺;若将绳四折测之,绳多一尺。绳长,井深各几何?”其大意为:“用绳子测量井的深
度,若将绳三等分,则绳比井的深度长四尺;若将绳四等分,则绳
比井的深度长一尺。”则绳长 尺,井深 尺.
12. 一个几何体的三视图如右图所示,其中,正视图中 ABC 是边
长为 2 的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的体积
为 ,表面积为
13.已知6 26
01 2 61 x aaxax ax ,则 2x 项的二项式
系数是________; 012 6aaa a =________.
14.在ΔABC 中, 4BC = , AB AC= , P 为 BC 上一点且满足 3BP PC=
,则当 PACÐ 最
大时,sin PACÐ= , ΔABC 的面积为 .
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15.已知点 ,2Pm 是双曲线
22
:122
xyC 右支上的一点, 12,FF分别为其左右焦点,线
段 1PF 交C 的左支于点Q ,则 2PQ QF
16.已知 AD 是 RtΔABC 的斜边 BC 上的高, 点 P 在线段 DA 的延长线上,且满足
()42PB PC AD
+×= .若 2AD
= ,则 PB PC
× = .
17.如图,在 ΔABC 中, 7AB , 10AC = , 3BC = .过 AC 的中点 M 的动直线l 与线
段 AB 交于点 N .将ΔAMN 沿直线l 向上翻折至 Δ 'AMN,使得点 'A 在平面 BCMN 内
的投影 H 落在线段 BC 上.则点 'A 的轨迹长度为 .
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分 14 分)已知角a , b 的顶点与原点O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,点
A 13,22
æöç÷ç÷èø
, B 21,55
æöç÷-ç÷èø
分别在 , b 的终边上.
(Ⅰ)求cos(2 )b a- 的值;
(Ⅱ)设函数 () 2sin( )fx xp a=+,求 ()f x 的最小正周期和单调递减区间.
19.(本题满分 15 分) 如图,四边形 ABCD 是正方形,四边形 BDEF 为矩形,AC BF ,
G 为 EF 的中点.
(Ⅰ)求证: BF ⊥平面 ABCD
(Ⅱ)二面角CBGD的大小可以为 60O 吗?若可以求出此时 BF
BC
的值,若不可以,
请说明理由.
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20.(本题满分 15 分)已知数列{}na 是等比数列,且满足 46 138( )aa aa+= + , nS 是数列{}nb
的前 n 项和,且 11(1)nnnnn b SS++×+× = × *()nNÎ . 1 1a = , 1
1
2b = .
(Ⅰ)求{}na ,{}nb 的通项公式;
(Ⅱ)设 1= (1)n
nn
c nab+
, nT 是数列{}nc 的前 n 项和.若对任意的正整数 n ,