高中 2019 届毕业班第一次诊断性考试
数学（理工类）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.若 为虚数单位，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知命题 ：“ ， ”，则命题 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若双曲线 的一条渐近线为 ，则实数 （ ）
A. B. C. D.
4.在 中， ， ， ，点 为 边上一点， ，则
（ ）
A. B. C. D.
5.如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为 分米，其内有一边长为 分米的正六边形
i 2
1
i
i
− =+
1 3
2 2 i− 3 1
2 2 i+ 3 3
2 2 i− 3 1
2 2 i−
p 0a∀ ≥ 2 0a a+ ≥ p¬
0a∀ ≥ 2 0a a+ ≤ 0a∀ ≥ 2 0a a+ <
0 0a∃ ≥ 2 0a a+ < 0 0a∃ < 2
0 0 0a a+ <
2
2 1x ym
− = 2 0x y− = m =
2 4 6 8
ABC∆ 3AB = 2AC = 120BAC∠ = ° D BC 2BD DC=
AB AD⋅ =
1
3
2
3 1 2
6 1的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计)，则该飞镖落在圆形图
案的正六边形小孔内的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数 ， 图象相邻两条对称轴的距离为 ，将函数
的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 轴对称，则函数 的图象（ ）
A.关于直线 对称 B.关于直线 对称
C.关于点 对称 D.关于点 对称
7.下列命题错误的是（ ）
A.不在同一直线上的三点确定一个平面
B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C.如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面
D.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面
8. 的展开式中不含 项的系数的和为（ ）
A. B. C. D.
9.某地环保部门召集 家企业的负责人座谈，其中甲企业有 人到会，其余 家企业各有 人
到会，会上有 人发言，则发言的 人来自 家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A. B. C. D.
10.已知直线 与抛物线 及其准线分别交于 ， 两点， 为抛物
3
24
3
24π
1
6
3
6π
( ) sin( )f x xω ϕ= + 0,| | 2
πω ϕ > 2: 4C y x= M N F线的焦点，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
11.已知正项等比数列 的前 项和 ，满足 则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知函数 则 ________.
14.已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式
________.
15.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现
有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，
且该球的表面积为 ，则该“阳马”的体积为________.
正视图
侧视图
16.某车间租赁甲、乙两种设备生产 ， 两类产品，甲种设备每大能生产 类产品 件和
类产
3FM MN= m
2− 2 2− 2 3− 2 6−
{ }na n nS 4 22 3S S− = 6 4S S−
1
4 3 4 12
2
4 2( ) 4 4 5
xf x x x
−= − +
3 1(2 1) 2x− − +
2018
1 2019k
kf
=
= ∑
0 1009 2018 2019
2
, 1,( )
1, 1,
x xf x
x x
>= + ≤
(2) (1)f f−
{ }na 1 0a = 1 1 2( 1)n na a n−− − = − *( , 2)n N n∈ ≥ { }na
na =
24π
A B A 8 B品 件，乙种设备每天能生产 类产品 件和 类产品 件，已知设备甲每天的租赁费
元，设备乙每天的租赁费 元，现车间至少要生产 类产品 件， 类产品 件，所需
租赁费最少为________元.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.
17.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 .
（1）求 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
18.某大型商场在 2018 年国庆举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有 个红球， 个黑球和 个
白球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取 个小球，每位顾客每次抽
完奖后将球放回抽奖箱，活动另附说明如下：
①凡购物满 （含 ）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；
②凡购物满 （含 元）者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
③若取得的 个小球只有 种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个 元的红包；
④若取得的 个小球有 种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个 元的红包；
⑤若取得的 个小球只有 种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个 元的红包.
抽奖活动的组织者记录了该超市前 20 位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所
示的茎叶图.
15 A 10 B 25 300
400 A 100 B 200
ABC∆ A B C a b c 2 cos 2a B b c+ =
A
7a = 2b = ABC∆
3 3 1
3
99 99
166 166
3 1 10
3 3 5
3 2 2（1）求这 位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整
数部分）；
（2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为 ，求 的分布列及数学期望，并计算这
位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽
奖）.
19.如图，在棱长为 的正方体 中， 是线段 上的动点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 是 中点，求二面角 的余弦值；
（3）判断点 到平面 的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
20.已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 ，直线 与椭圆
交于 、 两点且 为直角， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的最大值.
21.已知函数 ，其中 .
（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；
（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数，都有 成立，求实数 的取值范围.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按
所做的第一题记分.
20
X X
20
2 1 1 1 1ACBD AC B D− M AB
/ /AB 1 1A B C
M AB 1 1M A B C− −
M 1 1A B C
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = ( 0)a b> > 3
2 4 y kx m= + C
A B AOB∠ O
C
| |AB
2
( ) af x x x
= + 0a >
1x = ( ) ( ) lnh x f x x x= + + a
[1, ]x e∈ e ( ) 1f x e− ≥ a22.本小题满分 10 分[选修 4-4：坐标系与参数方程]
已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与 轴的正半轴重合，圆 的极坐标方程为
（ ），直线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）若 ，直线 与 轴的交点为 ， 是圆 上一动点，求 的最小值；
（2）若直线 被圆 截得的弦长等于圆 的半径，求 的值.
23.本小题满分 10 分[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 （ ）的一个零点为
（1）求不等式 的解集；
（2）若 ，求证： .
高中 2019 届毕业班第一次诊断性考试
数学(理工类)参考答案
一、选择题
1.解析：选择 A .
试题立意：本小题考查复数的概念和乘除运算等基础知识；考查考生的运算求解能力.
2.解析：选择 C，由已知，命题 为全称命题，其否定需由特称命题来完成，并将其结论否定，
即 ， .
试题立意：本小题考查简易逻辑关系与逻辑用语，命题的几种形式等基础知识；考查逻辑推
理能力.
3.解析：选择 B，由题意知 ，即 ，故有 ，所以 .
试题立意：本小题主要考查双曲线的几何性质；意在考查运算求解能力.
x C sinaρ θ=
0a > l
21 ,2
2 ,2
x t
y t
= − +
=
t
2a = l x M N C | |MN
l C C a
( ) | | | 2 1| 1f x x a x= − + − − a R∈ 1
( ) 1f x ≤
1 2
1 am n
+ =− ( 0, 1)m n> > 2 11m n+ ≥
2 (2 )(1 ) 1 3 1 3
1 (1 )(1 ) 2 2 2
i i i i ii i i
− − − −= = = −+ + −
p
0: 0p a∃ ≥ 2
0 0 0a a+ <
2 0x y− = 1
2y x= 1 1
2m
= 4m =4.解析：选择 C，因为 ，所以
.
试题立意：本小题考查平面向量的基本运算，向量的几何意义等基础知识；考查运算求解能
力和数形结合思想.
5.解析：选择 B，因为圆形图案的面积为 ，正六边形的面积为 ，
所以该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为 .
试题立意：本小题考查几何概型等基础知识；考查数学文化，数据处理，数形结合.
6.解析：选择 D，由题意得 ，所以 ， ，因为函数 的图象向
左平移 个单位后，得到的图象关于 轴对称，即 的图象关于 轴对称，
所以 ，因为 所以 ，所以 ，其图象关于
点 对称.
试题立意：本小题考查三角函数图象及其性质等基础知识；考查推理论证能力，化归转换，
数形结合思想.
7.解析：选择 C，如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，
可能相交或平行于另一个平面，故命题错误.
试题立意：本小题考查空间直线和平面的位置关系，直线与平面垂直的判定与性质定理等基
础知识；意在考查学生空间想象能力.
8.解析：选择 A，令 ，得所有项的系数和为 ，又由通项公式
，其中 可取. ， ， ， ， ， 令 ，得 ，所以不含 项的
系数的和为 .
试题立意：本小题考查二项式定理及其求展开式系数等基础知识；考查运算求解能力.
9 解析：选择 B，由间接法得可能情况数位 .
1
3AD AC CD AC CB= + = + 1 1 1
3 3 3AC AB AC AB= + − = 2
3 AC+
21 2
3 3AB AD AB AB AC= +
23 3 2cos120 13
= + × × ° =
36π 16 1 12
× × × 3 3sin60 2
× ° =
3 3
32
36 24π π=
22
T π= 4T π= 2 1
2T
πω = = ( )y f x=
3
π
y 1sin 2 6y x
π ϕ = + + y
6 2 k
π πϕ π+ = + ( )k Z∈
2
πϕ <
3
πϕ < 1( ) sin 2 3f x x
π = +
2 ,03
π −
5( ) (3 )f x x= − 5(1) 2 32f = =
5
1 5 3 ( )r r r
rT C x−
+ = − r 0 1 2 3 4 5 5r = 5
5T x= − 5x
(1) 1 33f + =
3 2 1
7 2 5C C C− 35 5 30= − =试题立意：本小题考查排列组合的应用问题；考查应用意识，数据处理能力.
10.解析：选择 B，因为 ，设直线 的倾斜角为 ，由拋物线的定义知：点 到准线的距
离为 ，则 ，故 ，所以 ，则
，又 所以 ，
试题立意：本小题主要考查抛物线的定义、直线与拋物线的位置关系等基础知识；意在考查
逻辑思维与推证能力、运算求解能力.
11.解析：选择 D，由题意可知 的公比 ， ，则
，则有 ，所以
.
试题立意：本小题考查等比数列、二次函数等基础知识；考查推理论证能力，运算求解能力，
化归与转化思想.
12.解析：选择 B，由 ，所以函数 的图像关于点
成中心对称图形，所以 ，所以
.
试题立意：本小题考查函数奇偶性、函数值等基础知识；意在考查运算求解能力和转化与化
归思想.
二、填空题
13.解析：填 ，因为 所以 .
试题立意：本小题主要考查分段函数；意在考查学生运算求解能力.
14.解析：填 ，依题意， 且 ，所以由累加法可知 ，
0k > l α M
MQ MQ MF= sin 2
MQ
MN
π α − =
1
3
FM
MN
= = 1cos 3
α =
tan 2 2k α= = (1,0)F 0 k m= + 2 2m k= − = −
{ }na 0q > n 0a > 4 2 3 13 ( ) ( )a a a a= − + −
2
1( 1) ( 1)a q q= + − 1q > 6 4 6 5 1(1 )S S a a a q− = + = +
4
4
2
2 4
3 3
1 11
qq q
q q
= =− −
2
2
3 12
1 1 1
4 2q
= ≥
− −
2
2(2 1)( ) (2 1) 4
xf x x
−= −− +
3 1(2 1) 2x − + ( )y f x= 1 1,2 2
1 2018 2
2019 2019 2019f f f + =
2017 ... 12019f + = =
2018
1
10092019k
kf
=
= ∑
0 2
, 1,( )
1, 1,
x xf x
x x
>= + ≤
(2) (1) 2 2 0f f− = − =
2 1n − 1 0a = 1 2 1n na a n−− = − 2 1( 2)na n n= − ≥当 时， ，也满足，所以数列 的通项公式为 .
试题立意：本小题考查递推数列的通项公式等基础知识；考查逻辑推理能力和运算求解能力.
15.解析：填 .如图所示，设“阳马”马的外接球半径为 ，由球的表面积 ，所
以 为矩形，其中 底面 ， ， 则该“阳马”的外接球直径为
，解得 ，所以该“阳马”的体积 .
试题立意：本小题主要考查空间几何体与球的组合体，球与三棱锥的切接问题，三棱锥的体
积公式；考查空间想象能力及分析问题解决问题的能力.
16.解析：填 ，设甲种设备需要租赁生产 天，乙种设备需要租赁生产 天，该车间所需
租赁费为 元，则 ，且 ， 满足关系为 作出不等式表示的
平面区域，当 对应的直线过两直线 ，的交点 时，目标函数
取得最小值 元，即最少租赁费用为 元.
试题立意：本小题考查线性规划问题等基础知识；考查应用意识，化归转化思想，数形结合
思想.
三、解答题
17.解析：（1）因为 ，由正弦定理可得
，
1n = 1 0a = { }na 2 1na n= −
16
3 R P ABCD−
ABCD PD ⊥ ABCD 2AB = 4AD =
2 2 2 2 6PB PD AD AB= + + = 2PD = 1 164 2 23 3V = × × × =
3800 x y
z 300 400z x y= + x y
8 10 100,
15 25 200,
, ,
x y
x y
x N y N
+ ≥
+ ≥
∈ ∈
300 400z x y= + 4 5 50
3 5 40
x y
x y
+ =
+ = (10,2)
300 400z x y= + 3800 3800
2 cos 2a B b c+ =
2sin cos sin 2sinA B B C+ + = 2sin( ) 2sin cos 2cos sinA B A B A B+ = +所以 ，因为 ， ，所以
（2）由余弦定理可得 ，
因为 ， 有 解得
所以
试题立意：本小题考查正余弦定理，解三角形等基础知识；考查运算求解能力，化归转化思
想.
18 解析：（1）获得抽奖机会的数据的中位数为
平均数为
（2） 的可能取值为 ， ， ， ， ，
则 的分布列为
故 ...............10 分
这 位顾客中，有 位顾客获得一次抽奖的机会，有 位顾客获得两次抽奖的机会，故共有
次抽奖机会.
所以这 位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为 元
试题立意：本小题考查统计的中位数、平均数等基本量，分布列与数学期望等基础知识；考
查阅读理解能力，数据处理能力，应用意识和创新意识.
19.解析：（1）证明：因为在正方体 中， ， 平面 ，
平面 ， 平面
sin 2cos sinB A B= sin 0B ≠ 0 A π< <
3
π
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
7a = 2b = 2 2 3 0c c− − = 3c =
1 1sin2 2ABCS bc A= =
3 3 32 3 2 2
× × × =
110
1 (101 102 105 107 10911
+ + + + 110 113 114 188 189 200)+ + + + + + 1438
11
= ≈ 131
X 2 5 10 3
7
2 2( 10) 35P X C
= = =
1 1
3 3
3
7
9( 5) 35
C CP X C
= = =
2 1
3 4
3
7
2 24( 2) 35
C CP X C
= = =
X
X 2 5 10
P
24
35
9
35
2
35
24 9( ) 2 535 35E X = × + × 2 11310 35 35
+ × =
20 8 3 14
20 113 14 45.235
× =
1 1 1 1ACBD AC B D− 1 1/ /AB A B 1 1A B ⊂ 1 1A B C
AB ⊄ 1 1A B C / /AB∴ 1 1A B C（2）取 的中点 ，连接 ， ， .因为 ，所以 ，因为
，所以 ，则 为二面角 的平面角
， 分别为 和 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，
而 平面 ， ，故在 中， .
二面角 的余弦值为
法二（向量法）： 在正方体 中， ， ， 两两互相垂直，则建立空
间直角坐标系 如图所示，则 ， ， ， ，所以
， ， ， ，设向量 ，
分别为平面 和平面 的法向量，由
取 ，则 ， ， .
同理
取 ，则 ， ， .
，
又 二面角 的平面角为锐角，
二面角 的余弦值为
1 1A B N MN CN CM 1 1B M MA= 1 1MN A B⊥
1 1B C CA= 1 1CN A B⊥ MNC∠ 1 1M A B C− −
M N AB 1 1A B 1/ /MN AA 1AA ⊥ ABCD MN∴ ⊥ ABCD
CM ⊂ ABCD MN CM∴ ⊥ Rt CMN 2 6cos 36
MNMNC NC
∠ = = =
∴ 1 1M A B C− − 6
3
1 1 1 1ACBD AC B D− CB CA 1CC
C xyz− (1,1,0)M 1(0,2,2)A 1(2,0,2)B (0,0,0)C
1 ( 1,1,2)MA = − 1 (1, 1,2)MB = − 1 (2,0,2)CB = 1 (0,2,2)CA = 1 1 1 1( , , )n x y z=
2 2 2 2( , , )n x y z= 1 1MA B 1 1CA B 1 1
1 1
0,
0,
n MA
n MB
=
=
1 1 1
1 1 1
2 0,
2 0,
x y z
x y z
− + + =⇒ − + =
1 1x = 1 1y = 1 0z = 1 (1,1,0)n∴ =
2 1
2 1
0,
0,
n CA
n CB
=
=
2 2
2 2
2 2 0,
2 2 0,
y z
x z
+ =⇒ + =
2 1x = − 2 1y = − 2 1z = 2 ( 1, 1,1)n∴ = − −
1 2
1 2
1 2
6cos , 3
n nn n n n
∴ = = −
1 1M A B C− −
∴ 1 1M A B C− − 6
3（3）方法一（几何法）：因为 平面 ，所以点 ，点 到平面 的距离相等，
设为 .故 ，则 .解得
.
点 到平面 的距离为定值 ................12 分
方法二(几何法）：由（1）知 平面 . 点 到平面 的距离等于 上任意一
点到平面 的距离.令点 平分 ，作 的中点 ，连结 ， ， 过
作 ，垂足为 ，显然 、 、 、 共面.
平面 ， ，
平面 .
平面 ， .
又 ， 平面 ， 平面 ， ，
平面 ，即 为所求.
， ，
， .
， .
点 到平面 的距离为定值
/ /AB 1 1A B C M A 1 1A B C
h 1 1 1 1 1 1M B A C A B A C B ACAV V V− − −= = 1 3 12 2 2 23 2 2
× × × × 1 12 2 23 2h× = × × × ×
2 3
3h =
∴ M 1 1A B C 2 3
3
/ /AB 1 1A B C ∴ M 1 1A B C AB
1 1A B C M AB 1 1A B 1M 1MM 1 1C M 1CM M
1MO CM⊥ O C M 1M 1C
AB ⊥ 1 1MCC M 1 1/ /AB A B
1 1A B∴ ⊥ 1 1MCC M
MO ⊂ 1 1MCC M 1 1A B MO∴ ⊥
1MO CM⊥ 1CM ⊂ 1 1A B C 1 1A B ⊂ 1 1A B C 1 1 1 1CM A B M=
MO∴ ⊥ 1 1A B C MO
1 2CB CA CC= = = BC AC⊥ 2 2 2 2AB CA CB∴ = + =
2 2 2CM BC BM∴ = − = 2 2
1 1 6CM CM MM∴ = + =
1 1
1 1
2 2MO CM CM MM=
2 2 2 3
36
MO∴ = =
∴ M 1 1A B C 2 3
3方法三（向量法）由（1）知 平面 . 点 到平面 的距离等于 上任意一
点到平面 的距离.令点 平分 ，则由（2）的向量法知：点 到平面 的距离
.
点 到平面 的距离定值为
试题立意：本小题考查线面垂直判定定理，线面平行判定与性质定理，二面角等基础知识；
意在考查空间想象能力、分析问题、解决问题的能力及推理论证能力.
20.解析：（1）由题意 ，
，
，椭圆方程为
⑵设 ， ，把 代人 ，得 .
，
因为 为直角，所以 ，
得 ， ， ，
， .......10 分
/ /AB 1 1A B C ∴ M 1 1A B C AB
1 1A B C M AB M 1 1A B C
2 1
2
2 2 3
33
n MAd n
= = =
∴ M 1 1A B C 2 3
3
2 4a = 2a∴ =
3
2
c
a
= 3c∴ =
2 2 2 1b a c= − =
2
2 14
x y+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y y kx m= +
2
2 14
x y+ = 2 2(4 1) 8k x kmx+ + 24 4 0m+ − =
1 2 2
8
4 1
kmx x k
∴ + = − +
2
1 2 2
4 4
4 1
mx x k
−= +
AOB∠ 1 2 1 2 0OA OB x x y y= + =
1 2 1( )x x kx m+ + 2( ) 0kx m+ = 2 24 4 5k m+ = 2 216(4 1 )k m∆ = + −
2 24 1k m∴ + − =
2
2 4 44 1 05
kk
++ − > 216 1 0k∴ + >
21AB k= + 2
1 2 1x x k− = +
2
1 2 1 2( ) 4x x x x+ −
2 2 2
2
4 1 4 1
4 1
k k m
k
+ + −= +
2
2 2
2
4 44 1 4 1 5
4 1
kk k
k
++ + −
= +，
当 时， 取得最大值为
试题立意：本小题主要考查椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；意在
考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.
21.解析：（1）由已知 ， ，
所以
因为 是函数 的极值点，
所以 ，即 ，因为 ，所以 .
（2）对任意的 都有 成立，即 恒成立，
因为 ，且 ， ，
① 且 时， ，
所以函数 在 上是增函数，
，
由 ，得 ，又 ， 不合题意.
②当 时，若 ，则 ，
若 ，则 ，
函数 在 上是减函数，在 上是增函数，
，
由 ，得 ，又 ，
③当 且 x 时， ，
4 2
4 2
4 16 17 155 16 8 1
k k
k k
+ += + +
2
4 2
4 95 15 16 8 1
k
k k
= + + +
2
2
4 95 1 15 16 8k k
= +
+ +
4 95 1 55 8 8
≤ + =+
1
2k = ± AB 5
2
( ) 2 lnah x x xx
= + + (0, )x∈ +∞
2
2
1( ) 2 ah x x x
′ = − +
1x = ( )h x
(1) 0h′ = 23 0a− = 0a > 3a =
[1, ]x e∈ ( ) 1f x e− ≥ ( ) 1f x e≥ +
2
2( ) 1 af x x
′ = −
2
( )( )x a x a
x
+ −= [1, ]x e∈ 0a >
0 1a< < [1, ]x e∈
2
( )( )( ) 0x a x af x x
+ −′ = >
2
( ) af x x x
= + [1, ]e
2
min[ ( )] (1) 1f x f a∴ = = +
21 1a e+ ≥ + a e≥ 0 1a< < a∴
1 a e≤ ≤ 1 x a≤ <
2
( )( )( ) 0x a x af x x
+ −′ = <
a x e< ≤
2
( )( )( ) 0x a x af x x
+ −′ = >
∴
2
( ) af x x x
= + [1, )a ( , ]a e
min[ ( )] ( ) 2f x f a a∴ = =
2 1a e≥ + 1
2
ea
+≥ 1 a e≤ ≤ 1
2
e a e
+ ≤ ≤
a e> [1, ]x e∈
2
( )( )( ) 0x a x af x x
+ −′ = a e∴ >
a 1,2
e + +∞
2a = C 2sinρ θ= 2 2 sinρ ρ θ=
2 2 2 0x y y+ − = 2 2( 1) 1x y+ − =
l 1 0x y− + = x M ( 1,0)−
(0,1) ( 1,0)M − 2
MN 2 1−
sinaρ θ= 2 sinaρ ρ θ=
C
2 2
2
2 4
a ax y + − =
l C C
l C 3
2
2 2
1 32
2 21 ( 1)
a
a
−
=
+ −
4 2 6a = − ± 0a > 4 2 6a = − +
( )f x x a= − + 2 1 1x − − a R∈ 1
1a =
1a = ( ) 1 2 1 1f x x x= − + − − ( ) 1 1 2 1 2f x x x≤ ⇒ − + − ≤上述不等式可化为 或 ，或
解得 或 或
所以 或 或 ，
所以原不等式的解集为 .
（2）由（1）知 ，因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ， 时取等号，所以
试题立意：本小题考查绝对值不等式的解法，重要不等式在证明中的应用；考查运算求解能
力，推理论证能力，化归与转化思想.
1 ,2
1 1 2 2
x
x x
≤
− + − ≤
1 1,2
1 2 1 2,
x
x x
<
2( 1) [ 2( 1)]m n m n+ − = + − 1 2 51m n
+ = + −
2 2( 1) 91
m n
n m
−+ ≥−
3m = 4n = 2 11m n+ ≥
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