浙江省温州十五校联合体2019-2020学年高二上学期期中联考试题数学（附答案）.doc

绝密★考试结束前 2019 学年第一学期“温州十五校联合体”期中考试联考 高二年级数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定 区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应 数字 . 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸 . 一、选择题 (本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分) 1．若过点 M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为(　　) [] A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 2. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．正方形 D．正六边形 3. 过点 M(－3，2)，且与直线 x＋2y－9＝0 平行的直线方程是(　　) A. 2x－y＋8＝0 B. x－2y＋7＝0 C. x＋2y＋4＝0 D. x＋2y－1＝0 [ 4. 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　) A. (x－1)2＋(y－1)2＝1 B. (x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D. (x－1)2＋(y－1)2＝2 5. 若 P，Q 分别为直线 3x＋4y－12＝0 与 6x＋8y＋5＝0 上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 6． 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积 等于( ) A．10 cm3 B．20 cm3 C．30 cm3 D．40 cm3 9 5 18 5 29 10 29 5 正视图 侧视图 俯视图 5 3 4 3 (第 6 题图)7. 若 是两条异面直线 外的任意一点，则（　　） A．过点 有且仅有一条直线与 都垂直 B．过点 有且仅有一条直线与 都 平行 C．过点 有且仅有一条直线与 都相交 D．过点 有且仅有一条直线与 都异 面 8. 在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离，当 变化时， 的最大值为（ ） A．1 B．2 C． 3 D．4 9. 在矩形 中，若 , 为边 上的一点， ，现将 沿直 线 折 成 ，使得点 在平面 上的射影在四边形 内（不含边界），设直线 与平面 所成的角分别为 ,二面角 的大小为 ，则（ ） A． B． C． D． 10. 已知正方体 的棱长为 2，点 分别是棱 , 的中点，点 在 平面 内，点 在线段 上，若 ，则 长度的最小值为 （ ） A． B． C． D． 二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题 每小题 6 分，单空题 每小题 4 分，共 36 分) 11. 不论实数 为何值，直线 恒过定点 . 12. 点 是空间直角坐标系 中的一点，点 关于 轴对称的点的 坐标为 ； = . P l m， P l m， P l m， P l m， P l m， d (cos ,sin )P α α 2 0mx y+ − = ,mα d ABCD 8, 6AB AD= = E AD 1 3DE AD= ABE∆ BE A BE′∆ A′ BCDE BCDE ,A B A C′ ′ BCDE α β， A BE C′ − − γ α β γ< < β γ α< < α γ β< < β α γ< < 1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1 1A D CD P ABCD Q BN 5PM = PQ 2 1− 2 3 5 5 5 − 3 5 5 m 2 1 0mx y m− + + = ( 1,2,3)M − Oxyz M x OM C C1D1 B1 A1 A B D P M N Q13. 已知直线 与 相交于点 P ，若 l1⊥l2 ，则 a ＝ ________；此时直线 的倾斜角为 . 14. 已知直线 垂直于平面 ，垂足为 . 在矩形 中， ， 若点 在直线 上移动，点 在平面 上移 动， 则 两点间的最大距离为 . 15. 已知直线 与圆 相交于 两点， 是线段 的 中点，则 的轨迹方程为 ； 到直线 的距离的最小值 为 . 16. 已知点 在圆 上运动，且 ，若点 的坐标为 ， 则 的最大值为 . 17. 所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥， 在 正三棱锥 中， 是 的中点，且 ，底面边长 ，则正三棱锥 的外接球的表面积为 ； 与底面 所成角的正弦值为 . 三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．（本小题满分 14 分） 已知直线 ( ). (I)若直线 不经过第四象限，求 的取值范围； (II)若直线 交 轴的负半轴于点 ，交 轴的正半轴于点 ， 为坐标原点，设 的 面积为 ，求 的最小值及此时直线 的方程. 1 : 4 0l ax y+ − = 2 : ( 2) 1 0l x a y a+ − + − = 1l l α O ABCD 4, 2AB BC= = A l B α ,O C : ( 4)l y k x= + 2 2( 2) 4x y+ + = ,A B M AB M M 3 4 6 0x y+ − = , ,A B C 2 2 1x y+ = 0BA BC⋅ =  M (3,0) MA MB MC+ +   P ABC− M PC AM PB⊥ 2AB = P ABC− AM ABC : 2 4 0l kx y k− + + = k R∈ l k l x A y B O AOB∆ S S l l O B C D A19. （本小题满分 15 分） 已知长方体 中， , 分别是 的中点. （I）求证: 直线 ∥平面 ； (II) 求直线 与平面 所成角的正弦值 . [ 20．（本小题满分 15 分） 已知圆 与 轴相切， 为坐标原点，动点 在圆外，过 作圆 的 切线，切点为 . （I） 求圆 的圆心坐标及半径 ； (II) 若点 运动到 处，求此时切线 的方程； (III)求满足 条件 的点 的轨迹方程. 21．（本小题满分 15 分） 如图，已知梯形 中， ∥ ， ，矩形 平面 ，且 1 1 1 1ABCD A B C D− 12, 4, 3AD AB AA= = = ,E F 1 1,AB A D EF 1 1BB D D EF 1 1BCC B 2 2: 2 4 0C x y x y m+ + − + = y O P P C M C P ( 2,4)− l 2PM PO= P ABCD AD BC AB AD⊥ EDCF ⊥ ABCD D1 A1 A B D C B1 C1 F E . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求证： ∥平面 ； （Ⅲ） 求二面角 的正切值 [] 22. （本小题满分 15 分） 在直角坐标系 中，直线 交 轴于 ，以 为圆心的圆与直线 相切 . （I）求圆 的方程； （II）设点 为直线 上一动点，若在圆 上存在点 ，使得 , 求 的取值范围； （ III ） 是 否 存 在 定 点 ， 对 于 经 过 点 的 直 线 ， 当 与 圆 交 于 时 ， 恒 有 ? 若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由 . 2, 1AB BC DE AD= = = = AB AE⊥ DF ABE B EF D− − xOy : 3 4 0l x y− − = x M O l O 0 0( , )N x y 3y x= − + O P 045ONP∠ = 0x S S L L O ,A B AMO BMO∠ = ∠ S A B D C E F2019 学年第一学期“温州十五校联合体”期中考试联考 高二数学参考答案 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. B 7.A 8. C 9. A 10. C 二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题 每小题 6 分，单空题 每小题 4 分，共 36 分) 11. 12. ； 13. ； ； 14. 15. ；2 16. 10 17. ； 三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. （本小题满分 14 分） 解 ： （ I ） 直 线 的 方 程 可 化 为 ， 则 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 为 ， ………2 分 要 使 直 线 不 经 过 第 四 象 限 ， 则 ， 故 的 取 值 范 围 是 . ………6 分 (II) 依题意，直线 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 ，且 ， …… 8 分 所 以 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故 的最小值为 ，此时直线 的方程为 . ……… 14 分 19. (本小题满分 15 分) 解： （Ⅰ）取 的中点 ,连接 ,由条件 分别是 的中点可知， ∥ ,且 ,故 为平行四边形，所以 ∥ ， 平面 ,且 平面 ∥平面 ………7 分 （II） 平面 ∥平面 , 直线 与平面 所成角就是直线 与平面 所成角 . 平面 在平面 内的射影为 ，因此 就是直线 与平面 所成角.在 中， , ，于是直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………15 分 20. (本小题满分 15 分) 解:(I) 由圆方程 得 ，故圆 的圆心 坐标为 .由于圆 与 轴相切，则 ，得 ，圆的半径为 1. ………4 分 （II） 当过点 的直线斜率不存在时，此时直线 的方程为 , 圆 的圆心 到直线 的距离为 1，所以直线 为圆 的切线 . 当过点 的直线斜率 存在时，设直线方程为 ，由直线与圆相切 得 ，解得 .此时切线 的方程为 综 上 ， 满 足 条 件 的 切 线 l 的 方 程 为 或 ………9 分 （III）设 ，则 ， 由于 ，则 ，整理得 的方程为 ，轨迹为圆心为它 ，半径为 的 圆 . ………15 分 21. (本小题满分 15 分) 解： 矩形 平面 ，且平面 平面 = ,又 , 平面 平面 . 又 平面 ， 且 平面 . 平面 ， ………4 分 （Ⅱ）取 中点 ,连接 ,由已知条件易得 及 为平行四边形，于是 // // ,由于 = = ,故 为 平 行 四 边 形. // 面 //平 面 .又 // 面 //平面 平面 // 平面 . 又 平面 ∥平面 ………9 分 （III）过点 B 作 ,作 ，连接 由 矩 形 平 面 ， 得 平 面 , 又 ………12 分 所以 就是所求二面角 的平面角。在 中，易知 故二面角 的正切值为 . ………15 分[] 22. (本小题满分 15 分) 解：（I）由直线 ，得原点到直线的距离为 ， 故圆的方程为 . ………3 分（II）过 N 作圆 O 的切线，切点为 Q，则 , , .由点 为直线 上一动点，得 ，解得 . (III)存在定点 ，使得 恒成立 . ………9 分 设直线 : ，设直线 AB 与圆交点为 ，联立方程 ， 消 得， ，于是 . 由 ， 得 ,由 , 故 ， ，化简得 .此时直线 : ， 恒过定点 .当直线 AB 的斜率不存在时，由圆的对称性知直线过 时也满足 . 由此存在定点 ，使得 恒成立 . ………15 分