10月联考-理科数学.pdf

【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学参考答案(共 ４ 页)第 １　　　　 页】 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学 参考答案与评分细则 一、选择题:本题共 １２ 小题,每小题 ５ 分,共 ６０ 分. 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 A C B D C C D B A A B C 二、填空题:本题共 ４ 小题,每小题 ５ 分,共 ２０ 分 ． １３ư－３　　　　１４ư(０,e＋１ e－２)　　　　１５ư２ ６　　　１６ư(４,８) 三、解答题:共 ７０ 分 ．１７ư(１０ 分) (１)cos∠COB＝cos＜OC→,OB→＞＝ OC→ŰOB→ |OC→||OB→| ＝３ １０－４ ３ １０ ＝３－４ ３ １０ (５ 分) ƺ ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)∵∠AOB＝１２０°,C＝ ３,∴∠ACB＝６０° (７ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴ a sinA＝ b sinB＝ ３ sin６０°＝２ (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴a＋b＝２sinA＋２sin(２π ３ －A)＝２ ３sin(A＋ π ６), O＜A＜２π ３ ,３＜a＋b≤２ ３ (９ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴２ ３＜a＋b＋c≤３ ３ (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ １８ư(１２ 分) (１)∵PD⊥ 平面 ABCD,∴PD⊥AC． (１ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ又 ∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴BD⊥AC (２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺ又BD∩PD＝D,∴AC⊥ 平面 PBD DE⊂ 平面 PBD,∴AC⊥DE (４ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)连OE,在 △PBD 中,OE∥PD,∴OE⊥ 平面 ABCD 分别以OA→,OB→,OE→为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系． 设 PD＝t,则 A(１,０,０,),B(０,３,０), C(－１,０,０),E(０,０, t ２),P(０,－ ３,t)． 由(１)知,平面 PBD 的一个法向量为n１→＝(１,０,０) (５ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设平面 PAB 的一个法向量为n２→＝(x,y,z),则由 n２→ŰAB→＝０ n２→ŰAP→＝０ { 即 －x＋ ３y＝０ －x－ ３y＋tz＝０ { ,令y＝１,则n２→＝(３,１,２ ３t )． (７ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 因二面角 AＧPBＧD 的余弦值为３ ４,∴|cos＜n１→,n２→＞|＝ ３ ４＋１２t２ ＝３ ４,∴t＝３． (１０ 分)ƺ 设EC 与平面PAB 所成角为θ,∵EC→＝(－１,０,－３ ２),n２→＝(３,１,２ ３ ３ ), ∴sinθ＝|cos＜EC→,n２→＞|＝ |－ ３－ ３| １＋９ ４ ４＋４ ３ ＝ ２ ３ １３ ２ Ű４ ３ ＝３ １３ １３ (１２ 分)ƺƺƺƺƺ【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学参考答案(共 ４ 页)第 ２　　　　 页】 １９ư(１２ 分) (１)a≤０ 时,∵０≤x≤１,∴f(x)＝x２ －ax,f(x)单调递增． ∴g(a)＝f(１)＝１－a (２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)当a＞０,如图所示,令f(x)＝ a２ ４,得x＝ a ２ 或x＝ ２＋１ ２ a ① 当a ２≥１,即a≥２ 时,g(a)＝f(１)＝a－１ (４ 分)ƺƺƺ ② 当a ２＜１＜ ２＋１ ２ a,即 ２(２－１)＜a＜２ 时,g(a)＝f( a ２)＝ a２ ４ (６ 分)ƺƺƺƺƺƺƺ ③ 当 ２＋１ ２ a≤１,即 ０＜a≤２(２－１)时,g(a)＝f(１)＝１－a (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 综上,g(a)＝ １－a,a≤２(２－１) a２ ４,２(２－１)＜a＜２ a－１,a≥２ ì î í ï ï ïï (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 显然当a＝２(２－１)时,g(a)取最小值． (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２０ư(１２ 分) (１)直线l１:xy１－yx１＝０． d＝|x１y２－x２y１| x１ ２ ＋y１ ２ ,则 |AB|＝２|AO|＝２ x１ ２ ＋y１ ２ ∴S＝２S△ABC ＝|AB|Űd ＝２ x１ ２ ＋y１ ２ Ű|x１y２－x２y１| x１ ２ ＋y１ ２ ＝２|x１y２－x２y１| (４ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)设l１:y＝K１x,l２:y＝K２x; ∵KCA ŰKCB ＝ y２－y１ x２－x１ Ű y２＋y１ x２＋x１ ＝ y２ ２ －y１ ２ x２ ２ －x１ ２ 又 ∵ x１ ２ a２ ＋y１ ２ ＝ x２ ２ a２ ＋y２ ２ 　∴ y２ ２ －y１ ２ x２ ２ －x１ ２ ＝－１a２ ∴KCA ŰKCB ＝－１a２ ＝－１ ２　∴a２ ＝２　∴ 椭圆方程为x２ ２ ＋y２ ＝１ (６ 分)ƺƺƺƺƺƺ 联立 y＝K１x x２ ２ ＋y２ ＝１{ ⇒x２ ＋２K１ ２x２ ＝２ ∴x１ ２ ＝ ２ １＋２K１ ２ ,同理可得x２ ２ ＝ ２ １＋２K２ ２ (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又 ∵S＝２|x１y２－x２y１|＝２|K２－K１||x１x２|　∴S２ ＝４(K２－K１)２x１ ２x２ ２ ∴S２ ＝４(K２－K１)２ Ű ４ (１＋２K１ ２ )(１＋２K２ ２ ) (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 将 K２＝－ １ ２K１ 代入得S２ ＝４(K１＋ １ ２K１ )２ Ű ４ (１＋２K１ ２ )(１＋ １ ２K１ ２) S２ ＝４Ű(２K１ ２ ＋１)２ ４K１ ２ × ８K１ ２ (１＋２K１ ２ )２ ＝８　∴S＝２ ２ (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２１ư(１２ 分) (１)依题意得 P０＝１,P１＝１ ２,P２＝１ ２＋１ ２×１ ２＝３ ４ (３ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)依题意知,棋子跳到第n 站有两种情况:【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学参考答案(共 ４ 页)第 ３　　　　 页】 第一种,棋子先到n－２ 站,又掷出反面,其概率为１ ２ Pn－２; 第二种,棋子先到n－１ 站,又掷出正面,其概率为１ ２ Pn－１． ∴Pn ＝１ ２ Pn－１＋１ ２ Pn－２(２≤n≤９９) (６ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (没写 ２≤n≤９９,得 ５ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (３)【解法一】由(２)知,Pn －Pn－１＝－１ ２(Pn－１－Pn－２),且 P１－P０＝－１ ２ (８ 分)ƺƺƺƺƺ ∴{Pn －Pn－１}是以 －１ ２ 为首项,－１ ２ 为公比的等比数列． P９９＝P０＋(P１－P０)＋(P２－P１)＋(P３－P２)＋ƺƺ＋(P９９－P９８) ＝１＋(－１ ２)＋(－１ ２)２ ＋ƺƺ＋(－１ ２)９９ ＝ １－(－１ ２)１００ １＋１ ２ ＝２ ３(１－ １ ２ １００) (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又 P９９＋P１００＝１　∴P１００＝１ ３(１＋ １ ２ ９９)或 P１００＝P９８Ű１ ２＝１ ３(１＋ １ ２ ９９) (１２ 分)ƺƺƺƺ ∴ 玩该游戏获胜的概率为１ ３(１＋ １ ２ ９９) 【解法二】 ∵Pn ＝１ ２ Pn－１＋１ ２ Pn－２,２≤n≤９９ ∴Pn ＋１ ２ Pn－１＝Pn－１＋１ ２ Pn－２＝ƺ＝P２＋１ ２ P１＝１ (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ Pn －２ ３＝－１ ２(Pn－１－２ ３) ∴Pn －２ ３＝(P１－２ ３)(－１ ２) n－１ ＝－１ ６(－１ ２) n－１ ＝１ ３(－１ ２) n ∴Pn ＝２ ３＋１ ３(－１ ２) n ,１≤n≤９９　P９９＝２ ３－１ ３＋ １ ２ ９９ ＝２ ３(１－ １ ２ １００) (１０ 分)ƺƺƺƺƺ ∴P１００＝１－P９９＝１ ３(１＋ １ ２ ９９) ∴ 玩该游戏获胜的概率为１ ３(１＋ １ ２ ９９)． (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２２ư(１２ 分) (１)f(x)的定义域为(０,＋∞),f′(x)＝a＋ a x２ －２x ＝ ax２ －２x＋a x２ (１ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺ ∵f(x)在定义域内单调递增,∴f′(x)≥０,即ax２ －２x＋a≥０ 对x＞０ 恒成立． 则a≥ ２x x２ ＋１ 恒成立 ． ∴a≥(２x x２ ＋１ )max　∵ ２x x２ ＋１≤１　∴a≥１ 所以,a 的取值范围是[１,＋∞) (４ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)【解法一】将S 表示为关于x１ 的函数, 由 △＝４－４a２ ＞０ 且a＞３ ５,得３ ５＜a＜１ (５ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设方程f′(x)＝０,即ax２ －２x＋a＝０ 的两根为x１,x２,且 ０＜x１＜x２． 则 m＝f(x１),n＝f(x２),∵x１x２＝１,x１＋x２＝２a【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学参考答案(共 ４ 页)第 ４　　　　 页】 ∴２＜x１＋ １x１ ＝２a ＜１０ ３　∴１ ３＜x１＜１． (７ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ S＝m－n＝ax１－ a x１ －２lnx１－(ax２－ a x２ －２lnx２) ＝ax１－ a x１ －２lnx１－( a x１ －ax１＋２lnx１)＝２(ax１－ a x１ －２lnx１) (６ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺ ∵ax１ ２ －２x１＋a＝０ ∴a＝ ２x１ x１ ２ ＋１ 代入得S＝４( x１ ２ －１x１ ２ ＋１－lnx１)＝４( x１ ２ －１x１ ２ ＋１－１ ２lnx１ ２ ) (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺ 令x１ ２ ＝t,则１ ９＜t＜１,得g(t)＝ t－１t＋１－１ ２lnt,１ ９＜t＜１,则S＝４g(t) g′(t)＝－(t－１)２ ２t(t＋１)２ ＜０　∴g(t)而且(１ ９,１)上递减,从而g(１)＜g(t)＜g(１ ９) 即 ０＜g(t)＜ln３－４ ５　∴０＜S＜４ln３－１６ ５ (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 【解法二】将S 表示为x１ x２ 的函数 S＝m－n＝ax１－ a x１ －２lnx１－(ax２－ a x２ －２lnx２)＝a(x１－x２)－a(１x１ － １x２ )－２ln x１ x２ ∵x１＋x２＝２a ,x１x２＝１　∴S＝４Ű x１－x２ x１＋x２ －２ln x１ x２ ＝４Ű x１ x２ －１ x１ x２ ＋１ －２ln x１ x２ 令x１ x２ ＝t,则S＝４ t－１t＋１－２lnt ∵t＋１t ＝ x１ ２ ＋x２ ２ x１x２ ＝ (x１＋x２)２ －２x１x２ x１x２ ＝４a２ －２,∵３ ５＜a＜１ ∴２＜t＋１t ＜８２ ９　∴１ ９＜t＜１ (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设g(t)＝４ t－１t＋１－２lnt(１ ９＜t＜１),g′(t)＝ ８ (t＋１)２ －２t ＝－２(t－１)２ t(t＋１)２ ＜０ (１０ 分)ƺƺ ∴g(t)在(１ ９,１)上为减函数 　∴g(１)＜g(t)＜g(１ ９) ∴０＜g(t)＜４ln３－１６ ５ 即 ０＜S＜４ln３－１６ ５ ． (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 【解法三】将S 表示为关于a 的函数． ∵x１＝１－ １－a２ a ,x２＝１＋ １－a２ a ,S＝４Ű x１－x２ x１＋x２ －２ln x１ x２ (６ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴S＝－４ １－a２ －２ln１－ １－a２ １＋ １－a２ (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 　 令 １－a２ ＝t　∵３ ５＜a＜１,∴０＜t＜４ ５ ∴S＝－４t－２ln１－t １＋t＝－４t－２[ln(１－t)－ln(１＋t)],０＜t＜４ ５ (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺ ∴S′＝－４－２(１t－１－ １t＋１)＝ ４t２ １－t２ ＞０ ∴S 关于t单调递增,故 ０＜S＜４ln３－１６ ５ (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ