四川省泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题（带答案）.doc

泸州市 2019 届高三第二次教学质量诊断性考试 数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合要求的． 1．已知集合 A＝{﹣3，1}，B＝{x|x2＜9}，则 A∩B＝（　　） A．{1} B．（﹣3，1） C．{﹣3，1} D．（﹣3，3） 2． ＝（　　） A．﹣3﹣i B．3﹣i C．3+i D．﹣3+i 3．已知 tanα＝ ，则 tan2α＝（　　） A．－ B． C．－ D． 4．x＞3 是 lnx＞1 成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　） 6．我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个 全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直 角三角形中一个锐角的正切值为 3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的 概率是（　　） 2 2 ) 1 i i− （ － 1 2 4 3 4 3 3 4 3 4A． B． C． D． 7．在△ABC 中| + |＝| ﹣ |，AB＝3，AC＝4，则 在 方向上的投影是（　　） A．4 B．－4 C．3 D．－3 8．设 a＝ ，b＝ ，c＝ ，则 a，b，c 的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 9．若函数 f（x）＝asinx+cosx（a 为常数，x∈R）的图象关于直线 x＝ 对称，则函数 g （x）＝sinx+acosx 的图象（　　） A．关于直线 x＝－ 对称 B．关于直线 x＝ 对称 C．关于点（ ，0）对称 D．关于点（ ，0）对称 10．三棱锥 S﹣ABC 中，SA⊥底面 ABC，若 SA＝AB＝BC＝AC＝3，则该三棱锥外接球的表面积 为（　　） A．18π B． C．21π D．42π 11．双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 的直线与圆 x2+y2 ＝a2 相切，与 C 的左、右两支分别交于点 A、B，若|AB|＝|BF2|，则 C 的离心率为（　　） A． B．5＋2 C． D． 12．已知函数 f（x）＝（ex﹣a）（x+a2）（a∈R），则满足 f（x）≥0恒成立的 a 的取值个数为 （　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题纸上． 13． 的展开式中 x2 的系数为　 　（用数字作答）． 1 10 1 5 3 10 2 5 2018log 2019 2019log 2018 1 20182019 6 π 3 π 6 π 3 π 5 6 π 21 2 π 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 5 2 3+ 3 3 5 8 2 1( )x x −14．已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 2x﹣y 的最大值为　 　． 15．抛物线 y2＝4x 上的点到（0，2）的距离与到其准线距离之和的最小值是　 　 16．已知锐角△ABC 的外接圆的半径为 1，A＝ ，则△ABC 的面积的取值范围为　 　． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。 17．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 2an＝2+Sn． （Ⅰ）求证：数列{an}是等比数列； （Ⅱ）设 bn＝log2a2n+1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 18．（12 分）为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款 电冰箱进行了相应的抽样调查，得到数据的统计图表如下： 购买意愿 市民年龄 不愿意购买该 款电冰箱 愿意购买该款 电冰箱 总计 40 岁以上 600 800 40 岁以下 400 总计 800 （Ⅰ）根据图中的数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数； （Ⅱ）完善表中数据，并据此判断是否有 99.9%的把握认为“愿意购买该款电冰箱“与“市 民年龄”有关； （Ⅲ）用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取 3 台，记其中使用时间不低于 4 4 π年的电冰箱的台数为 x，求 x 的期望． 附： P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 19．（12 分）如图，三棱锥 D﹣ABC 中，AB＝BC＝CD＝DA， （Ⅰ）求证：BD⊥AC； （Ⅱ）若 AB＝AC，BD＝ AB，求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值． 20．（12 分）已知椭圆 C： ，点 P1（1，1），P2（0， ）， P3（－ ，－ ），P4（ ， ）中恰有三点在椭圆 C 上． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 R（x0，y0）是椭圆 C 上的动点，由原点 O 向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝2 引两条 切线，分别交椭圆于点 P，Q，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，试问△OPQ 的面 积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 21．（12 分）已知函数 f（x）＝lnx﹣ex+a． 6 2 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 2 2 2（Ⅰ）若曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线与 x 轴正半轴有公共点，求 a 的取值范围； （Ⅱ）求证：a＞1﹣ 时，f（x）＜﹣e﹣1． (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（0，﹣1），直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐 标方程为 ρ+ρcos2θ＝8sinθ． （Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A，B，M 是线段 AB 的中点，当|PM|＝ 时， 求 sinα 的值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x+a|+|x﹣1|． （1）若 a＝1，解不等式 f（x）＜4； （2）对任意满足 m+n＝1 的正实数 m，n，若总存在实数 x0，使得 成立，求 实数 a 的取值范围． 40 9