遂 宁 市 高 中 2020 届 零 诊 考 试
数学（文科）试题
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120
分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否
正确。
2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框
内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．复数 是实数，其中 为虚数单位，则实数 等于
A． B．
C． D．
3．
A． B．
C． D．
4．在等差数列 中， ， ，则
A． B．
{ }2,0 −=A { }2,0,1−=B =BA
{ }0 { 1,2}−
{ }2,0− { }2, 1,0,2− −
ai)1( + i a
1− 1
0 2
=− )240cos(
1
2
1
2
−
3
2
− 3
2
{ }na 02 =a 4=d =5a
25 12C． D．
5．函数 的图象大致为
A B
C D
6. 在等比数列 中，公比为 ，且 ， ， 成等差数列，则
A． B．
C． D．
7．若正数 ， ，满足 ，则 的最小值为
A． B．
C． D．
8．宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、
李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之
一。朱世杰是一位平民数学家和数学教育家。朱世杰平生勤力
研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家。
他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收
了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上
16 8
{ }na q 1− 3q 5 =+
+
31
64
4log aa
aa
5
1
4
1
3
1
2
1
m n 2 1m n+ =
nm 2
1
2
1 +
21+ 22
3 +
22 +
2
3进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有
关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。如
图，是源于其思想的一个程序框图。若输入的 ， 分别为 ， ，则输出的
A．2 B．3
C．4 D．5
9．如图所示，函数 的图象过点 ，若将 的图象
上所有点向右平移 个单位长度，然后再向上平移 个单位长度，所得图象对应的函数为
，则
A． B．
C． 或 D．
10 ． 若 函 数 的 定 义 域 为 ， 且 ， 则 满 足
的实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
11．如图，在 中， ，
，若 ，
则 的值为
a b 3 1
1
2
3
=n
( ) sin(2 )( )f x x ϕ π ϕ π= + − < < π ,06
( )f x
6
π
)(xg =)0(g
2
31+
2
31−
2
31+
2
31−
xmxf x
x
tan12
2)( ++
−= [ ]1,1− 0)0( =f
)1()12( +−
( ) lnf x x x= − ( ) ( )g x f x a= + a
[ ]1,1−
)1,2( −=a )2,1(=b =⋅ba
11
12 28
25
4
1
14
13
),( +∞−∞ 0)()( =+− xfxf
( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞ ( )1,1−
( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞
( )f x ( )f x′
( ) 3 (2) lnf x xf x′= + )1(f
ABC△ , , CA B a b c，则角 ▲ ．
16．对于函数 ，若在定义域内存在实数 满足 ，则称函数 为“倒
戈函数”。设 且 是定义在 上的“倒戈函数”，则
实数 的取值范围是
▲ ．
三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）
已知函数 ．
（1）求 的值；
（2）①求函数 的定义域 ；
②若实数 ，且 ，求 的取值范围．
▲
18. （本小题满分 12 分）
已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， 。
（1）求等比数列 的通项公式；
（ 2 ） 若 数 列 为 递 增 数 列 ， 数 列 是 等 差 数 列 ， 且 ， ； 数 列
的前 项和为 ，求 ．
▲
0x )()( 00 xfxf −=− )(xf
123)( −+= mxf x ,( Rm ∈ )0≠m [ ]1,1−
m
)6(log
1
)( 2
2 xx
x
xxf −−+
+
=
)1(f
( )f x M
sin sin 2 sin sina A b B b A c C+ + = C =
)(xf
a M∈ Ma ∈+ )1( a
{ }na n nS 3422 aaa −= 22 22 −= aS
{ }na
{ }na { }nb 22 =b 44 =b
1 2
1
logn nb a+
⋅
n nT nT19．（本小题满分 12 分）
设函数 ，且 ， 。
（1）求函数 的单调递增区间和单调递减区间；
（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围.
▲
20．（本小题满分 12 分）
已知向量 ，向量
， ，函数 ，直线 是函数 图
象的一条对称轴。
（1）求函数 的解析式及单调递增区间；
（ 2 ） 设 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 且 ，
，锐角 满足 ，求 的值.
▲
21．（本小题满分 12 分）
已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个极值点 ， 。且
不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
bxaxxxf +−= 23)( 2)1( −=f 2)2( =f
)(xf
)2)(,1( −≠mmM ( )y f x= m
)sin63,(sin xxa ωω +=
(2cos , 2 sin 1)b x xω ω= − 10 +
06
01
2xx
x
2123
1
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