高三数学参考答案 第 1 页 共 4 页
2019 学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学
高三年级数学学科参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C A B B A B C D D
二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分)
11. 5 , 1
2 12. 3− , 3
4−
13. 1
3 , 9 14. 1
4 , 26
15.
1
ee 16. 3
2 17.7
三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.解:
(Ⅰ)当 0,x 不等式显然成立…………………………………………………………………… 1 分
21 2 0 1 2x x x x − − − 当 时,不等式可化为 , 12x即 …………………………2 分
21 2 0x x x − + 当 时,不等式可化为 恒成立 ……………………………………………2 分
|2xx综上,不等式的解集为 …………………………………………………………2 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, pA令 的解集为 ,即 |2A x x=, qB的解集为 ,由题意知 BA ………2 分
2 (3 1) 3 0 -1 3x m x m m− − − =方程 的两根为 和
1-1 3 , ,3m m B B A= = − = 当 时,即 显然成立 ………………………………………1 分
1-1 3 , | 3 1 ,3m m B x m x B A − = − 当 时,即 显然成立 ………………………1 分
1-1 3 , | 1 3 ,3
123 2, 33
m m B x x m B A
mm
− = −
−
当 时,即 要使 成立
则 即
……………………………2 分
2
3m 综上 ……………………………………………………………………………1 分
19.解:
(Ⅰ) cos 4 cos sin cos 4sin cosa B b A A B B A = =, ……………………… 2 分
11tan tan , cos , tan 4 347B A A A= = =即 又 ………………………………………2 分
tan 3B=…………………………………………………………………………………1 分
tan 0BB为锐角…………………………………………………………………1 分 高三数学参考答案 第 2 页 共 4 页
3B = …………………………………………………………………………………1 分
(Ⅱ) 1 4 3cos , sin ,77ABC A A = =中, 则 …………………………………………………………2 分
53sin sin( ) sin cos cos sin 14C A B A B A B= + = + = ………………………………………2 分
根据正弦定理 5sin sin
cacCA= = ………………………………………………………2 分
1 1 3sin 5 8 10 32 2 2ABCS ac B = = = ……………………………………………………2 分
20.解:
(Ⅰ) 2
1 1 22 2 2 0 12 (2 ) 2
xx
x x xkk= + − − − +原式 ……………………………………2 分
11[ ,2]22xt =令 ,则 2 21k t t − + ,…………………………………………………………2 分
令 2
max( ) 2 1, ( ) [0,1] ( ) ( )g t t t g t k g t k g t= − + , 有解, …………………………………2 分
1k……………………………………………………………………………………1 分
(Ⅱ) 12|2 1| 2 3 0| 2 1| | 2 1|
x
xx
k k− + − + − =−−
原式可化为 …………………………………………2 分
令 | 2 1| ( 0)xtt= − , 122 3 0ktktt+ − + − =原式可化为
2 (3 2) 2 1 0t k t k − + + + = ……………………………3 分
若原方程有三个不同的实数解,等价于方程
2 (3 2) 2 1 0 0,1 1t k t k− + + + = + 的两根分别位于( )和(, )之间
2( ) (3 2) 2 1g t t k t k= − + + +令 …………………………1 分
只需
1(0) 0 ,02(1) 0 0
g k kg k
−
………………………………………………………2 分
21.解:
(Ⅰ)法一(酌情给分),几何法
| ( ) | 1c a b− − − = 的几何意义如图
||c 的最大值为| | 1 2 2 1OB + = + ………………7 分
法二,建系………………………………………………1 分
设 (2,0), (0,2), ( , )a OA b OB c OC x y= = = = = = ,
22| | 1 ( 2) ( 2) 1c a b x y+ + = + + + =则 ………………………………………………………3 分
22|c | (0,0) ( 2, 2)xy= + − −的最大值等价于 到 的距离加半径
max| | 2 2 1c =+所以 …………………………………………………………………………3 分
(Ⅱ)法一,坐标法: ,0), 0, ), ( , )a a b b c x y= = =设 ( ( ………………………………………1 分 高三数学参考答案 第 3 页 共 4 页
依题意得
22
22
22
( ) 9
( ) 1
15
x a y
x y b
xy
− + =
+ − =
+
……………………………………………………………………3 分
221 1 ( ) 9 ( ) 5y b x a − − + − − ………………………………………… ………………2 分
225 ) ( ) 9x a y b − + − ( 22| | ( ) ( ) [ 5,3]c a b x a y b− − = − + − …………………2 分
法二,几何法(酌情给分)
m c a b= − −设
如图 2 2 2221 3 , 1 5c m c+ = + 而
22
10 [5,9]mc= − 则
| | [ 5,3], | | [ 5,3]m c a b − − 即 ………………………………8 分
22.解:
(Ⅰ)解法一:由题知 0a ,且 1'( ) (1 ln )F x xa=+ ,……………………………………1 分
当 10 x e
时, '( ) 0Fx ;当 1x e
时, '( ) 0Fx ,
从而 F(x) 的单调递增区间是 1( , )e + ,递减区间是 10( , )e .…………………………………1 分
(1)当 12 a e ,即 1
2a e , max( ) ( ) lnF x F a a==;…………………………………………………1 分
(2)当 1a e 时, max( ) (2 ) 2ln 2F x F a a==;…………………………………………………1 分
(3)当 11
2 aee时, max( ) max (2 ), ( )F x F a F a= , (2 ) ( )F a F a−=又 2ln4 ln ln4a a a−= ;
若 11
4 a e时, (2 ) ( )F a F a , max()Fx = (2 ) 2ln 2F a a= ;………………………………2 分
若 11
24ae
时, (2 ) ( )F a F a , max( ) ( ) lnF x F a a==所以 ;
综 上 max
1ln 0 4() 12ln 2 4
aa
Fx
aa
=
. …………… ………………………………………1 分
解法二:由题知 0a , 1'( ) (1 ln )F x xa=+ ,当 10 x e
时, '( ) 0Fx ;
当 1x e
时, '( ) 0Fx ,从而 ()Fx的单调递增区间是 1( , )e + ,递减区间是 10( , )e …2 分
从而, max( ) max (2 ), ( )F x F a F a= ,……………………………………2 分
于是 2(2 ) ( ) ln 4 ln ln 4F a F a a a a− = − = ;
当 1
4a 时, (2 ) ( )F a F a ,所以 max( ) (2 ) 2ln 2F x F a a==;……………………………2 分
当 10 4a 时, (2 ) ( )F a F a ,所以 max( ) ( ) lnF x F a a==; 高三数学参考答案 第 4 页 共 4 页
综上所得 max
1ln 0 4() 12ln 2 4
aa
Fx
aa
=
……………………………………………1 分
(Ⅱ)依题知 2G( ) ln ( 1)x a x x b x= + + + ,则
22G'( ) 2 ( 0)a x bx ax x b xxx
++= + + = ,
因为 G( )x 存在极大值,则关于 x 的方程 220x bx a+ + = ,有两个不等的正根,不妨 12xx ,
则 12 2
axx = ,得 0a ,且 10 2
ax ,……………………………………………………2 分
设 2( ) 2p x x bx a= + + 列设表如下:
x 1(0, )x 1x 12( , )xx 2x 2( , )x +
()px + 0 — 0 +
G'( )x + 0 — 0 +
G( )x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
从而 2
1 1 1 1G( ) =G( ) ln ( 1)x x a x x b x= + + +极大 ,又 2
11(2 )bx x a= − + ,
从而 2
1 1 1G( ) =G( ) ln 0x x a x x a b= − − + 极大 ,对 10 2
ax 恒成立……………………2 分
设 2K( ) ln , (0, )2
ax a x x a b x= − − + ,则
22K'( ) 0axx x
−=
所以 K( )x 在 (0, )2
a 上递增,从而 3K( ) ( ) ln 02 2 2
a a ax K a b = − +
所以 3ln 22
aaba − + , 55ln ln2 2 2 2 2
a a a a aa b a+ − + = − + …………………………2 分
设 ,( 0)2
att= 则 ( ) ln 5m t t t t= − + ,又 '( ) 4 lnm t t=− .
若 4(0, )te , '( ) 0mt ;若 4( , )te + , '( ) 0mt ;
从而 44( ) ( )m t m e e=,即 4a b e+ ………………………………………………2 分