黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题（含答案）.doc

哈尔滨市第六中学 2019-2020 学年度上学期期中考试 高二文科数学试题 一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1．命题 ，则 是（ ） A. B. C. D. 2．抛物线 的准线方程是（ ） A． B． C． D． 3．“ ”是“ ”的（ ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 4.已知双曲线的渐近线为 ，实轴长为 ，则该双曲线的方程为（ ） A． B． 或 C． D． 或 5．已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，对于下列四个命题： ① ， ， ， ② ， ③ ， ， ④ ， 其中，真命题的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6．已知 ，则动点 的轨迹是（　） A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支 7．在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（ ） A． B． C． D． : (1, ),2 3xp x∀ ∈ +∞ > p¬ (1, ),2 3xx∀ ∈ +∞  ( ,1],2 3xx∀ ∈ −∞  0 0 (1, ),2 3xx∃ ∈ +∞  0 0 ( ,1],2 3xx∃ ∈ −∞  21 8y x= 2y = − 12y = 1 32x = 1 32y = x y= | | | |x y= 2 2y x= ± 4 2 2 14 2 x y− = 2 2 14 2 x y− = 2 2 14 8 y x− = 2 2 116 8 x y− = 2 2 116 8 x y− = 2 2 116 32 y x− = m n α β m α⊂ n ⊂ α m β n β α β⇒  n m∥ n mα α⊂ ⇒  α β m α⊂ n m nβ⊂ ⇒  m α∥ n m nα⊂ ⇒  0 1 2 3 ( ) ( )3,0 , 3,0 , 6M N PM PN− − = P 1 1 1 1ABCD A B C D− 1A B 1AD 30° 45° 60° 90°8.过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为其右焦点，若 ，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在长方体 中，若 分别是棱 的 中点，则必有（ ） A． B． C．平面 平面 D．平面 平面 10．已知直线 ： 与抛物线 相交于 、 两点，且满足 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 11．如图是某个正方体的平面展开图， ， 是两条侧面对角线，则 在该正方体中， 与 （ ） A．互相平行 B．异面且互相垂直 C．异面且夹角为 D．相交且夹角为 12. 已 知 椭 圆 的 焦 点 为 ， 过 的 直 线 与 交 于 两 点 . 若 , ，则椭圆 的方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共计 20 分） 13．已知点 在抛物线 上，则 ______；点 到抛物线 的焦 点的距离是______. 14.双曲线 上的一点 到它的一个焦点的距离等于 ，那么点 到另一个焦 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F x P 2F 1 2 30F F P∠ =  2 2 1 3 1 2 3 3 1 1 1 1ABCD A B C D− , , ,E F G H 1 1 1 1 1 1A B BB CC C D， ， ， 1BD GH∥ BD EF∥ EFGH ∥ ABCD EFGH ∥ 1 1A BCD l ( )( 1) 0y k x k= + > 2: 4C y x= A B 2AF BF= k 3 3 3 2 23 2 2 1l 2l 1l 2l 3 π 3 π C 1 21,0 ,0F F−( ) ， ( 1 ) 2F C ,A B 2 22AF F B= 1AB BF= C 2 2 14 3 x y+ = 2 2 5 4 1x y+ = 2 2 12 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = (1,2)M 2: 2 ( 0)C y px p= > p = M C 2 24 64 0x y− + = P 1 P点的距离为_______. 15.如图所示， 四棱锥 中， 底面 为平行四边形， 是 上 一点，当点 满足条件：____ ______时， 平面 . 16．给出以下命题， ①命题“若 ，则 或 ”为真命题； ②命题“若 ，则 ”的否命题为真命题； ③若平面 上不共线的三个点到平面 距离相等，则 ④若 ， 是两个不重合的平面，直线 ，命题 ，命题 ，则 是 的 必要不充分条件； ⑤平面 过正方体 的三个顶点 ，且 与底面 的交线为 ， 则 ∥ ； 其中，真命题的序号是 三、解答题（共 70 分） 17．（共 10 分）已知 ：方程 表示椭圆； ：双曲线 的离心率 ． （1）若 是真命题，求 的取值范围； （2）若 是真命题， 是假命题，求 的取值范围． 18．（共 12 分）如图，在三棱锥 中， 分别为 的中点，且 为 等腰直角三角形， . （1）求证： 平面 ； S ABCD− ABCD E SA E SC  EBD 5a b+ ≠ 2a ≠ 3b ≠ 1x = 2 0x x− = α β α β α β l α⊂ :p l β :q α β p q α 1111 DCBAABCD − 1, ,B D A α 1 1 1 1A B C D l l 1 1B D p 2 2 12 6 x y m m − =− − q 2 2 1yx m − = ( )1,2e∈ p q∧ m p q∨ p q∧ m P ABC− G H、 PB PC、 ABC∆ 2B π∠ = GH  ABC（2）求异面直线 与 所成的角． 19．（共 12 分）如图，在正方体 中， 分 别是 的中点．求证： （1）求证： 平面 （2）求异面直线 与 所成角的余弦值. 20．（共 12 分）如图，在三棱柱 中， 、 分别是棱 ， 的中点，求 证： （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 . GH AB 1 1 11ABCD A B C D− , , ,E F G H 1 1 1 1, ,C ,BC CC D A A EG ∥ 1 1BB D D BF 1HB 1 1 1ABC A B C− D P AB 1 1A B 1AC  1B CD 1APC  1B CD21. 已知在平面直角坐标系 中，抛物线 的准线方程是 . （1）求抛物线的方程； （2）设直线 与抛物线相交于 两点， 为坐标原点，证明：以 为直径的圆过原点. 22. 已知在平面直角坐标系 中，动点 与两定点 连线的斜率之积为 ， 记点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）若过点 的直线 与曲线 交于 两点，曲线 上是否存在点 使得四边形 为平行四边形？若存在，求直线 的方程，若不存在，说明理由. xOy ( )2 2 0y px p= > 1 2x = − ( )( )2 0y k x k= − ≠ M N、 O MN xOy P ( 2,0), (2,0)A B− 1 2 − P C C ( 1,0)− l C ,M N C E OMEN l高二文科数学答案 1.C 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.C 8.D 9.D 10.C 11.D 12.D 13. 2 ；2 14. 17 15.E 为中点 16.①④⑤ 17. 方程 表示椭圆；则 ，则 ，得 ，得 或 ，即 p： 或 ； 双曲线 的 离心率 ．则 ， ， ，得 ，则 ， 即 ，则 q： ， 若 是真命题，则 ， 都是真命题，则 ，得 ． 若 是真命题， 是假命题，则 ， 一个为真命题，一个为假命题， 若 真 假，则 ，得 ， 若 假 真，则 ，此时 ， 综上： 或 ． 18．（1）略（2）异面直线 GH 与 AB 所成的角为 。 19.（1）取 BD 的中点 O，连接 EO、D1O，则 OE∥ ，OE＝ ．又 D1G∥DC，D1G＝ DC，∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形 OEGD1 是平行四边形，∴GE∥D1O．又 D1O⊂平 面 BB1D1D，∴EG∥平面 BB1D1D． （2） 20.证明：（1）设 与 的交点为 ，连结 ，∵四边形 为平行四边形，∴ :p 2 2 12 6 x y m m − =− − 2 2 12 6 x y m m + =− − 2 0 { 6 0 2 6 m m m m − > − > − ≠ − 2 { 6 4 m m m > < ≠ 2 4m< < < < 64 m 2 4m< < < < 64 m :q 2 2 1yx m − = ( )1,2e∈ 1a = 2b m= 2 1c m= + ( )2 2 2 1 1,4ce ma = = + ∈ ( )0,3m∈ 0 3m< < 0 3m< < ( )1 p q∧ p q 2 4 4 6 { 0 3 m m m < < < < <