哈尔滨市第六中学 2019-2020 学年度上学期期中考试
高二理科数学试题
一.选择题（每题 5 分，共 60 分）
1.已知双曲线的渐近线为 ，实轴长为 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
2.给出以下几个结论：
(1)垂直于同一直线的两条直线互相垂直；
(2)垂直于同一平面的两个平面互相平行；
(3)若 ， 是两个平面， ， 是两条直线，且 ， ， ， ，则
；
(4)若 ， 是两个平面， ， 是两条直线， ，则
(5)若 ， 是两个平面， ， 是两条直线， ，则
其中错误结论的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4
D. 5
3.已知一个三棱锥的高为 ，其底面用斜二测画法所画出的水平放
置的直观图是一个直角边长为 的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4.长方体 平面 与长方体的各个
面所形成的二面角的大小中不正确的有( )
2
2y x= ± 4
2 2
14 2
x y− =
2 2
14 2
x y− =
2 2
14 8
y x− =
2 2
116 8
x y− =
2 2
116 8
x y− =
2 2
116 32
y x− =
α β m n m α⊂ n β⊂ / /m β / /n α
α β∥
α β m n , ,m m nα β α β⊥ ∩ = ⊥ n β⊥
α β m n , , / / ,n m m nα β α β α⊥ ∩ = ⊥ m β⊥
3
1
2 2 2 1
3 6 2
1, 3,ABCD A B C D BC BB′ ′ ′ ′ ′− = =， AB C D′ ′A． B． C． D．
5.如图，网格纸的小正方形的边长是 ，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何
体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
6.过椭圆 的左焦点 做 轴的垂线交椭圆于点 ， 为其右焦点，若
，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7. 正 三 棱 锥 ， 侧 棱 ， 棱 ， 分 别 是
的中点，则 与 成角为（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在正四棱锥 中， ，则二面角
的平面角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
9.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书
中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为
3
π
4
π
6
π
2
π
1
7π 9π
11π 13π
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F x P 2F
1 2 30F F P∠ =
2
2
1
3
1
2
3
3
A BCD− 2 3AB = 2CD = ,E F
,AB CD EF BC
60 90
30 45
P ABCD− 60APC °∠ = A PB C− −
1
7
1
7
−
1
2
1
2
−直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 平面
，四边形 为正方形， ， ，若鳖臑 的体积为 1，则阳
马 的外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
10.在四面体 中， 底面 , ,
为 的重心, 为线段 的一点，且 平面 ，则线段 的长度是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，在正方体 中， 是棱 上的动点．下列说法正确的是（ ）
A．对任意动点 在平面 内不存在与平面 平行的直线
B．对任意动点 在平面 内存在与平面 垂直的直线
C．当点 从 运动到 的过程中，点 到平面 的距离逐渐变大
D．当点 从 运动到 的过程中，二面角 的大小不变
12. 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 ， 过 的 直 线 与 C 交 于 A ， B 两 点 . 若
， ，则 C 的方程为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（共 20 分）
13.双曲线 上的一点 到它的一个焦点的距离等于 1，那么点 到另一个焦
点的距离为___________________
14. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为
___________
15.已知圆锥的底面半径为 1，高为 ，点 是底面圆周上一点，若一动点从点 出发，绕
圆锥侧面一圈之后回到点 ，则绕行的最短距离为_________________
PA ⊥
ABCE ABCD 2AD = 1ED = P ADE−
P ABCD−
17π 18π 19π 20π
-A BCD AD ⊥ ABC 5, 8, 6AB AC BC AD= = = =
G ABC∆ F AD / /FG BCD FG
3 2 2 5 2 3 4
1 1 1 1ABCD A B C D− F 1 1A D
,F 1 1ADD A CBF
,F ABCD CBF
F 1A 1D D CBF
F 1A 1D F BC A− −
1 21,0 ,0F F−( ) ， ( 1 ) 2F
2 22AF F B=│ │ │ │ 1AB BF=│ ││ │
2 2
14 3
x y+ =
2 2
15 4
x y+ =
2
2 12
x y+ =
2 2
13 2
x y+ =
2 24 64 0x y− + = P P
2 2 P P
P16. 对于四面体 ，给出下列四个命题：
①若 ， ，则 ；
②若 ，则点 在平面 内的射影为 的重心；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ，则 ．
⑤若 ，则点 在平面 内的射影为 的外心
其中真命题的序号是________．
三.解答题（共 70 分）
17.（共 10 分）如图，在正方体 中， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面
18.（共 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，
，侧面 为 正 三 角 形 ， 且 平 面 平 面
．
（1）求证： ．
（2）若 为 中点，试在 上找一点 ，使平面
平面 ．
A BCD−
AB AC= BD CD= BC AD⊥
, ,AB AC AB AD AC AD⊥ ⊥ ⊥ A BCD BCD∆
AB AC⊥ BD CD⊥ BC AD⊥
AB CD⊥ BD AC⊥ BC AD⊥
AB AC AD= = A BCD BCD∆
1 1 1 1ABCD-A B C D O AC
1OC // 1 1AB D
1 1A D C ⊥ 1 1AB D
P ABCD− ABCD
60DAB∠ = ° PAD PAD ⊥
ABCD
AD PB⊥
E BC PC F DEF ⊥
ABCD19. （共 12 分）如图，在正方体 中， 分别是 的中点。
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？请证明你的结
论。
1 1 1 1ABCD A B C D− , ,E F G 1, ,AB CC AD
1B E BG
CD T / /AT 1B EF20.（共 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ，点 为
的中点， 且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 所成二面角的余弦
值;
（3）在第（2）问的前提下，求直线 与平面 所成角的正
弦值.
21.（共 12 分）设抛物线 的焦点为
（1）过 且斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点， ．求 的方程；
（2）若斜率为 的直线 与抛物线 的交点为 ，与 轴的交点为 ．若
，求线段 的长度．
P ABCD− ABCD 60BAD °∠ = O
AD 90APD °∠ = AD PB=
OB ⊥ PAD
AD PB⊥ PBC PAD
AP PBC
2: 4Q y x= F
F ( 0)k k > l Q A B | | 8AB = l
3
2
m 2: 4Q y x= ,C D x P
3CP PD= CD22. （共 12 分）在平面直角坐标系 中，动点 与两定点 连线的斜率之
积为 ，记点 的轨迹为曲线
（1）求曲线 的方程；
（2）若过点 的直线 与曲线 交于 两点，曲线 上是否存在点 使得四边形
为平行四边形？若存在，求直线 的方程，若不存在，说明理由；
（3）过坐标原点的直线交 于 两点，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连结
并延长交 于点 . 证明： 是直角三角形.
xOy P ( 2,0), (2,0)A B−
1
2
− P C
C
( 1,0)− l C ,M N C E
OMEN l
C ,P Q P PE x⊥ E QE
C G PQG高二理科数学答案
一.选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C B B C D A B A B D D
二.填空题
13. 17 14.3 15. 16. ①④⑤
17. (Ⅰ) 令 ,连接 ,
则四边形 是平行四边形，
;又 是 的中点
,则四边形 是平行四边形，
，
所以 平面 ；
(2)证明 平面 , 平面 ，平面 平面
18.（1）证明：取 的中点 ，连接
， ．在底面菱形 中，
， ，则 平面 ，
（2） 为 的中点，连接 交 于点 ．
， ， 为 的中点，
则 ． 平面 平面 ， ， 平面 ，
则 平面 ， 平面 平面 .设正方体棱长为
则 ， ， ， ， ， ，
，
19.（1）设异面直线 与 所成角为 ，
3 3
1 1 1 1 1B D AC O∩ = 1O A
1 1 1 1 1 1 1 1/ / , , / / , ,A A B B A A B B C C B B C C B B= =
1 1 1 1/ / , ,A A C C A A C C∴ = 1 1A ACC
∴ 1 1 1 1/ / ,AC AC AC AC= 1O O点 ， 分别 1 1AC AC，
1 1 1 1/ / ,AO O C AO O C∴ = 1 1O AOC
1 1/ /AO OC∴ 1 1 1 1 1 1,AO AB D OC AB D⊂ ⊄ 平面 平面
1OC // 1 1AB D
1A C ⊥ 1 1AB D 1A C ⊂ 1 1A D C 1 1A D C ⊥ 1 1AB D
AD O , ,PO BO
PA PD= PO AD∴ ⊥ ABCD
60BAD∠ = ° BO AD∴ ⊥ AD ⊥ PBO AD PB∴ ⊥
F PC CO DE G
/ /OD CE OD CE= G∴ OC
/ /FG PO PAD ⊥ ABCD PO AD⊥ PO∴ ⊥ ABCD
FG ⊥ ABCD ∴ DEF ⊥ ABCD 2a
( )2 ,2 ,0B a a ( )1 2 ,2 ,2B a a a ( )2 , ,0E a a ( ),0,0G a ( )0,2 ,0C a ( )0,0,0D
( )0,2 ,F a a ( )2 ,0,0A a
1B E BG θ ( )1 0, , 2B E a a= − −
( ), 2 ,0BG a a= − −，即异面直线 与 所成角的余弦值为：
（2）假设在棱 上存在点 ， ，使得 平面
则 ， ，
设平面 的法向量
，令 ，则 ，
，解得：
棱 上存在点 ，满足 ，使得 平面
20.（1）证明：连结 OP，BD，因为底面 ABCD 为菱形， ，
故 ，又 O 为 AD 的中点，故 ．
在 中， ，O 为 AD 的中点，所以 ．
设 ，则 ， ，
因为 ，
所以 ．（也可通过 来证明 ），
又因为 ， 平面 PAD， 平面 PAD，
所以 平面 PAD；
（2）因为 ， ，
， 平面 POB， 平面 POB，
所以 平面 POB，又 平面 POB，所以 ．
由（1）得 平面 PAD，又 平面 PAD，故有 ，
又由 ，
所以 OA，OB，OP 所在的直线两两互相垂直．
故以 O 为坐标原点，以 OA，OB，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴如图建系．
设 ，则 ， ， ， ．
21
1
2 2cos 55 5
B E BG a
a aB E BG
θ
⋅
∴ = = =
⋅
1B E BG 2
5
CD ( )0, ,0T t [ ]0,2t a∈ / /AT 1B EF
( )1 0, , 2B E a a= − − ( )2 , ,EF a a a= − ( )2 , ,0AT a t= −
1B EF ( ), ,n x y z=
1 2 0
2 0
B E n ay az
EF n ax ay az
⋅ = − − =∴ ⋅ = − + + =
1z = 2y = − 1
2x = − 1 , 2,12n ∴ = − −
2 0AT n a t∴ ⋅ = − =
2
at = 1
4DT DC∴ =
∴ CD T 1
4DT DC= / /AT 1B EF
60BAD °∠ =
AD AB BD= = OB AD⊥
APD△ 90APD °∠ = 1
2PO AD AO= =
2AD PB a= = 3OB a= PO OA a= =
2 2 2 2 2 23 4PO OB a a a PB+ = + = =
OB OP⊥ POB AOB∆ ≅ ∆ OB OP⊥
OP AD O= OP ⊂ AD ⊂
OB ⊥
AD PB⊥ AD OB⊥
OB PB B= PB ⊂ PB ⊂
AD ⊥ PO ⊂ PO AD⊥
OB ⊥ OP ⊂ OP OB⊥
AD OB⊥
2AD = ( )1,0,0A ( )1,0,0D − ( )0, 3,0B ( )0,0,1P所以 ， ， ，
由（1）知 平面 PAD，
故可以取与 平行的向量 作为平面 PAD 的法向量．
设平面 PBC 的法向量为 ，则 ，
令 ，所以 ．
设平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角为 θ，则 ，
（3）所以直线 平面 PBC 所成线面角的正弦值为 ．
21.（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2）．
由 得 ． ， 故
．
所以 ．
由题设知 ，解得 ，k=–1（舍去），k=1．因此 l 的方程为 y=x–1．
（2） ，得 ，则
， ，
则
22. 解：（Ⅰ）设 P（x,y）,有 · =-
( )0, 3, 1PB = − ( )2,0,0BC AD= = − ( )0, 3,0OB =
OB ⊥
OB ( )0,1,0n =
( ), ,m x y z = 2 0
3 0
m BC x
m PB y z
⋅ = − = ⋅ = − =
1y = ( )0,1, 3m =
1cos cos< , | || | 2
m nm n m n
θ ⋅= > = =
AP 6
4
( )
2
1
4
y k x
y x
= −
=
( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + = 216 16 0k∆ = + >
2
1 2 2
2 4kx x k
++ =
( ) ( ) 2
1 2 2
4 41 1 kAB AF BF x x k
+= + = + + + =
2
2
4 4 8k
k
+ = 0k >
2
3
2
4
y x b
y x
= +
=
23 8 8 0y y b− + = 64 96 0b∆ = − > 3
2b∴ <
1 2
8
3y y∴ + = 1 2
8
3
by y = 3AP PB=
1 23y y∴ =− 2
4
3y∴ =− 1 4y =
1 2
16
3y y∴ =− ( )2
1 2 1 2
4 13 64 16 131 4 49 3 9 9AB y y y y= + ⋅ + − = ⋅ =
PAk PBk 1
2得 · =- 整理得 =1（x≠±2）
∴曲线 C 的方程为 =1（x≠±2）
（II）假设存在符合条件的点 E（ ）由题意知直线 l 的斜率不为零
设直线 l 的方程为 x=my-
点 M 坐标为（ ）、点 N 坐标为（ ）
由 得：（ +2） -2 my-3=0,△>0
∴ + 则 + =-
由四边形 OMEN 为平行四边形，得到
∴E（- ）把点 E 坐标代入曲线 C 的方程得： =0，解得
∴此时直线 l 的方程为 ，但 ，所以不存在.
（ 3 ） (3) 设 直 线 的 方 程 为 , 由 题 意 可 知 , 直 线 的 方 程 与 椭 圆 方 程
联立,即 或 ,点 P 在第一象限，
所以 ，因此点 的坐标为
直线 的斜率为 ，可得直线 方程： ，与椭圆方程联立，
， 消 去 得 ， （ * ）， 设 点
，显然 点的横坐标 和 是方程（*）的解
2
y
x + 2
y
x −
1
2
2 2
4 2
x y+
2 2
4 2
x y+
0 0x y，
2
1 1x y， 2 2x y，
2 2
1
2 4
x my
x y
= −
+ =
2m 2y
1y 2 2
2
2
my m
= + 1 2 1(x x m y+ = 2 ) 2y −
2
4
2m +
OE OM ON= +
2 2
4 2
2 2
m
m m
−
+ +， 4 22 0m m+ = 2 0m =
1x = − 2x ≠ ±
PQ y kx= 0k > PQ
2 22 4x y+ =
2
2 2
2
2 ,
, 2 1
2 4. 2 .
2 1
x
y kx k
x y ky
k
== +⇒ + = = +
2
2
2 ,
2 1
2 .
2 1
x
k
ky
k
− = + − = +
2 2 2 2
2 2 2 2( , ), ( , )
2 1 2 1 2 1 2 1
k kP Q
k k k k
− −
+ + + + E 2
2( ,0)
2 1k +
QE
2QE
kk = QE 22 2 1
k ky x
k
= −
+
2
2 2
,2 2 1
2 4.
k ky x
k
x y
= − +
+ =
y
2 2
2 2
22
4 12 8(2 ) 02 12 1
k x kk x kk
++ − − =++
1 1( , )G x y Q 2
2
2 1k
−
+ 1x所以有 ，代入直线 方程中，得
，所以点 的坐标为 ，
直线 的斜率为; ,
因为 所以 ，因此 是直角三角形；
2
22
1 122 2 2
12 8
2 6 42 1
22 1 ( 2) 2 1
k
kkx xkk k k
+−− ++⋅ = ⇒ =++ + +
QE
3
1 2 2
2
( 2) 2 1
ky
k k
=
+ + G
2 3
2 2 2 2
6 4 2( , )
( 2) 2 1 ( 2) 2 1
k k
k k k k
+
+ + + +
PG
3
3 22 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 ( 2) 1( 2) 2 1 2 1
6 4 2 6 4 2( 2)
( 2) 2 1 2 1
PG
k k
k k kk k kk k k k k
k k k
−
− ++ + += = = −+ + − +−
+ + +
1( ) 1,PQ PGk k k k
= ⋅ − = − PQ PG⊥ PQG
微信/支付宝扫码支付