吉林省吉林市2020届高三上学期第一次调研测试数学（理）（有答案）.doc

理科数学试题 第 1 页 （共 4 页） 吉林市普通中学 2019—2020 学年度高中毕业班第一次调研测试 理科数学 本试卷共 22 小题，共 150 分，共 4 页，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡 和试题卷一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。 4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求。 1. 设 ，则 A. B. C. D. 2. 函数 的最小正周期是 A. B. C. D. 3. 已知向量 ，则 A. B. C. D. 4. 已知函数 是奇函数，当 时， ；则当 时， 等于 A. B. C. D. 5. 若数列 满足： 且 ，则 { | 2 3}, { | 0}A x x B x x= − < < = > A B = ( 2,3)− (3, )+∞ ( 2,0)− (0,3) 3sin(4 )3y x π= + 2π 2 π 3 π π (1, 2), ( 2,3)a b= − = − a b = 8− 4 7 1− ( )f x 0x > ( ) (1 )f x x x= − 0x < ( )f x (1 )x x− − (1 )x x− (1 )x x− + (1 )x x+ { }na 1 11n n a a+ = − 1 2a = 2019a =理科数学试题 第 2 页 （共 4 页） A． B． C. D. 6. 若 ，则 A． B． C． D． 7. 将函数 图象上的每个点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不 变; 再将所得图象向左平移 个单位得到函数 的图象，在 图象的所有对 称轴中，离原点最近的对称轴方程为 A. B. C. D. 8. 已知 是不共线的向量， ,若 、 、 三 点共线，则 满足 A. B. C. D. 9. 若函数 且 在 上 为减函数，则函数 的图象 可以是 A. B. C. D. 10. 等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 A. B. C. D. 11. 已 知 向 量 、 满 足 , 点 在 内 ， 且 , 设 1 2 1− 2 1 2 − 3cos( )2 3 πα + = − cos2α = 2 3 − 1 3 − 1 3 2 3 ( ) 2sin(2 )3f x x π= + 12 π ( )g x ( )g x 12x π= 4x π= 5 24x π= 24x π= − ,a b 2 , 2 , ,AB a b AC a b Rλ µ λ µ= − = + ∈    A B C ,λ µ 2λ µ+ = 1λµ = − 4λ µ+ = 4λµ = − ( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ R log (| | 1)ay x= − { }na n nS 1 3 52 2 13( )( *)n nS a a a a n N−= + + + + ∈ 1 2 3 8a a a = 8S = 510 255 127 6540 OA OB 0OA OB =   C AOB∠ 30AOC∠ = ° y x-1 1 y x-1 1 y x-1 1 y x理科数学试题 第 3 页 （共 4 页） （ ），若 ,则 A. B. C. D. 12. 设函数 的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上的 值域为 （ 且 ），则称 为“ 倍函数”，若函数 （ ）为“3 倍函数”，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡中相应位置。 13. 已知函数 ，则 . 14. 已知向量 的夹角为 ， ，则 . 15. 我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气 晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长 度）， 夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连 续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节 气日影子长之和为 尺，这十二节气的所有日影子长之和为 尺，则夏至的日影 子长为 尺. 16. 已知函数 ，若 ，则 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 是底部 不可到达的建筑物, 是建筑物的最高点，为测量建筑物 的高度， 先把高度为 1 米的测角仪放置在 位置，测得仰角为 ，再把测角仪放置在 位置， OC mOA nOB= +   ,m n R∈ | | 1 2| | OA OB =   m n = 3 6 4 2 3 1 4 ( )f x D [ , ]m n D⊆ ( )f x [ , ]m n [ , ]km kn k R∈ 0k > ( )f x k ( ) xf x a= 1a > a 3 (1, )ee 3(1, )e 2 ( , )ee e 3( , )e e 1 ln , 0( ) 2 , 0x x xf x x+ >=  ≤ 1[ ( )]f f e = ,a b 60° | | 1,| | 2a b= = | 2 |a b− = 16.5 84 ( ) sin( ) 2cos( )f x x xπ ϕ π ϕ= + − + (1 ) (1 )f x f x+ = − sin2ϕ = AB B A AB CD 45° EF 45 75 A B C D E F H理科数学试题 第 4 页 （共 4 页） 测得仰角为 ，已知 米， 在同一水平线上， 求建筑物 的高度. 18．（12 分） 已知数列 为等差数列，公差 ，前 项和为 ， ，且 成等 比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，记数列 的前 项和为 ，求证： . 19.（12 分） 在 中，角 的对边分别是 , 已知 . （1）求角 的值； （2）若 ，求 的面积. 20．（12 分） 设函数 的正零点从小到大依次为 ，构成数列 . （1）写出数列 的通项公式 ，并求出数列 的前 项和 ； （2）设 ，求 的值. 21．（12 分） 已知函数 . （1）求函数 的单调区间； （2）当 时，求函数 的最大值与最小值. 75° 2DF = , ,D F B AB { }na 0d ≠ n nS 3 6a = 2 4 8, ,a a a { }na 1 n n b S n = + { }nb n nT 3 4nT < ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin( ) sin 03b C c B π− − = C 4, 2 7a c= = ABC∆ ( ) sin 1f x x= − 1 2, , , ,nx x x  { }nx { }nx nx { }nx n nS 4 n n Sa n π= − sin na 3 2( ) 3 9 1f x x x x= + − + ( )f x [ 4,4]x ∈ − ( )f x理科数学试题 第 5 页 （共 4 页） 22．（12 分） 设函数 （1）当 时，求函数 在点 处的切线方程； （2）当 时， 恒成立，求整数 的最大值. 吉林市普通中学 2019—2020 学年度高中毕业班第一次调研测试 理科数学参考答案与评分标准 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B A D B C D D D B C A 二、填空题： 13. 1 14. 2 15. 1.5（注：填 也正确） 16. 三、解答题： 17．（10 分） 解： 中， （米） --------------------------------5 分 因为 ( ) ( ) ( )xf x m x e m Z= − ∈ 0m = ( )f x (1, (1))f 0x > ( ) 3f x x< + m 3 2 4 5 − ACE∆ sin45 sin(75 45 ) AE CE=° ° − ° 222sin45 2 2 21sin30 2 AE ×°= = =° 1 sin75 1 2 2sin75 1AB AH AE= + = ° + = ° + sin75 sin(30 45 ) sin30 cos45 cos30 sin45° = ° + ° = ° ° + ° °理科数学试题 第 6 页 （共 4 页） 所以 （米） 所以建筑物 的高度为（ ）米 ---------------------------------------------10 分 注： 直接用不扣分 18．（12 分） 解（1）由题意得： ， 由（2）式得： ， 因为 ，所以 ，代入（1）式求得 ----------------------------5 分 所以 -----------------------------------------------------------6 分 （2） --------------------------------9 分 --------------------------------------------------------------------------12 分 19.（12 分） 解：（1）∵ ， 1 2 3 2 2 6 2 2 2 2 4 += × + × = 2 62 2 1 2 34AB += × + = + AB 2 3+ 2 6sin75 4 +° = 3 2 4 2 8 6a a a a = = 1 2 1 1 1 2 6 (1) ( 3 ) ( )( 7 ) (2) a d a d a d a d + = + = + + 2 2 2 2 1 1 1 16 9 8 7a a d d a a d d+ + = + + 2 1d a d= 0d ≠ 1d a= 1 2d a= = 2 2( 1), 2n na n a n= + − = 2 2 1 1 1 1 1, ( )2 2 2n n n S n n b S n n n n n = + = = = −+ + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 1 1 2 2nT n n n n = − + − + − + + − + −− + + 1 1 1 1(1 )2 2 1 2 3 1 1 1( )4 2 1 2 3 4 n n n n = + − −+ + = − ++ + < sin sin 03b C c B π − − =  理科数学试题 第 7 页 （共 4 页） ∴由正弦定理可得， ， 因为 ，∴ ，∴ . -----------------4 分 ∵ ， ∴ . ------------------------ 6 分 （2）∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， --------------------------------------------------------------10 分 ∴ . ---------------------------------------------12 分 20．（12 分） 解：（1） -----------------------------------------------------3 分 -----------------------------------------------------------------------6 分 （2） ------------------------------------------------------------8 分 当 时， -------------10 分 当 时， ------12 分 21．（12 分） 解：（1） ----------------------3 分 当 时， ， 单调递增； 1 3sin sin cos sin sin 02 2B C C C B  − − =    sin 0B ≠ 1 3sin cos 02 2C C+ = sin 03C π + =   ( )0,C π∈ 4( , )3 3 3C π π π∴ + ∈ 2,3 3C C π ππ+ = = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 4 12 0b b+ − = 0b > 2b = 1 1 3sin 2 4 2 32 2 2S ab C= = × × × = 2( 1) + *2nx n n N ππ= − ∈， (2 ) (4 ) [2( 1) ]2 2 2 2nS n π π π ππ π π= + + + + + + − + 2 [1 2 3 ( 1)] 2 nn ππ= + + + + − + ( 1) 2 nn n ππ= − + ( 1)4 4 n n Sa nn π ππ= − = − + 2 1, *n k k N= − ∈ 2sin sin[(2 2) ] sin[2( 1) ] sin4 4 4 2na k k π π ππ π= − + = − + = = 2 , *n k k N= ∈ 3 2sin sin[(2 1) ] sin(2 ) sin( )4 4 4 2na k k π π ππ π π= − + = − + = − = − 2 2( ) 3 6 9 3( 2 3) 3( 3)( 1)f x x x x x x x′ = + − = + − = + − ( , 3)x ∈ −∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x理科数学试题 第 8 页 （共 4 页） 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增；---------------------------------------5 分 所以 的递增区间是 、 ；递减区间是 -----------------6 分 （2）由（1）知， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减 所以 -----------------------------------8 分 又因为 ----------------------------------------------------------10 分 所以 的最大值是 ，最小值是 --------------------------------------------12 分 22．（12 分） 解：（1）当 时， ， ------------------------2 分 所以 ，因为 所以切线方程为 ， 整理得： -----------------------4 分 （2） ，因为 ，所以 （ ）恒成立 设 ，则 ---------6 分 设 则 所以 在 上单调递增，又 所 以 存 在 使 得 ， 时 ， ； 时 ， 所以 在 上单调递减， 上单调递增 所以 ----------------------------------------------------------8 分 又 所以 ----------------------10 分 ( 3,1)x ∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x (1, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ( , 3)−∞ − (1, )+∞ ( 3,1)− ( )f x [ 4, 3],[1,4]− − [ 3,1]− ( ) ( 3) 28, ( ) (1) 4f x f f x f= − = = = −极大 极小 ( 4) 21, (4) 77f f− = = ( )f x 77 4− 0m = ( ) xf x xe= − ( ) ( 1)x x xf x e xe x e′ = − − = − + (1) 2k f e′= = − (1)f e= − 2 ( 1)y e e x+ = − − 2 0ex y e+ − = ( ) 3xm x e x− < + 0xe > 3 x xm xe +< + 0x > 3( ) x xh x x e += + 2 ( 3) 2 ( 2)( ) 1 1 x x x x x x e x e x e xh x e e e − + − − − +′ = + = + = ( ) ( 2),xs x e x= − + ( ) 1xs x e′ = − 0> ( )s x (0, )+∞ 3 3 223 7(1) 3 0, ( ) 3.5 02 2s e s e e= − < = − = − > 0 3(1, )2x ∈ 0( ) 0s x = 0(1, )x x∈ ( ) 0s x < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0s x > ( )h x 0(1, )x 0( , )x +∞ 0 0 min 0 0 3( ) ( ) x xh x h x x e += = + 0 0 0 0 0( ) 0, 2 0, 2x xs x e x e x= − − = = + 0 0 0 min 0 0 0 0 0 0 3 3 1( ) ( ) 12 2x x xh x h x x x xx xe + += = + = + = + ++ +理科数学试题 第 9 页 （共 4 页） 当 时， ，所以 在 上单调递增 所以 ，即 因为 ，所以 ，所以 的最大值为 2 -------------------------------------12 分 0 3(1, )2x ∈ 0( )h x′ 2 0 11 0( 2)x = − >+ 0( )h x 3(1, )2 0 3(1) ( ) ( )2h h x h< < 0 7 39( )3 14h x< < m Z∈ 2m ≤ m