“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市/区）
一中联考
2019-2020 学年第一学期半期考
高二数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题。（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．某校有高一学生 450 人，高二学生 540 人，高三学生 630 人，为了解学生的学习情况，用
分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为 的样本，已知从高一学生中抽取 15 人，则
为 ( )
A． B． C． D．
2．设 、 表示不同的直线， 、 表示不同的平面，且 ， ，则“ ”是
“ 且 ”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．命题“ ， ”的否定为 ( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中任取 2 个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立
的是 ( )
A．恰有一个红球与恰有两个红球 B．至少一个红球与至少一个白球
C．至少一个红球与都是白球 D．至少一个红球与都是红球
5．已知椭圆 ，则以点 为中点的弦所在直线方程为 ( )
A． B． C． D．
6．在正方体 中，点 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余
弦值为 ( )
A． B． C． D．
7．一个包装箱内有 6 件产品，其中正品 4 件，次品 2 件．现随机抽出两件产品，则抽到都是
正品的概率是 ( )
A． B． C． D．
8．甲、乙两个数学兴趣小组各有 5 名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，
n n
45 60 50 54
m n α β m α⊂ n β⊂ / /α β
/ /m β / /n α
0 (0, )x∃ ∈ +∞ 2
0 0 1lnx x −≥
0 (0, )x∃ ∈ +∞ 2
0 0 1lnx x −< 0 ( , 0 ]x∃ ∈ − ∞ 2
0 0 1lnx x> −
(0, )x∀ ∈ +∞ 2 1lnx x< − ( , 0 ]x∀ ∈ − ∞ 2 1lnx x> −
2 2
15 4
x y+ = ( 1,1)M −
4 5 1 0x y+ − = 4 5 9 0x y− + = 5 4 9 0x y− + = 5 4 1 0x y+ − =
1 1 1 1ABCD A B C D− M 1 1C D AM BD
2
2
3
4
2
6
3
6
2
3
2
5
3
5
8
15若甲、乙两个小组的平均成绩分别是 ，标准差分别是 ，则下列说法正确的是 ( )
A． B．
C． D．
9．已知 是抛物线 的焦点， 、 是该抛物线上的两点， ，则线段
的中点到 轴的距离为 ( )
A． B． C． D．
10．双曲线 的左焦点为 ，点 的坐标为 ，点 为
双曲线右支上的动点，且 周长的最小值为 ，则双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
11．在直三棱柱 中， ， ．已知 与 分别为
和 的中点， 与 分别为线段 和 上的动点（不包括端点）．若 ，
则线段 的长度的最小值为 ( )
A． B． C． D．
12．已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ， 为椭圆 的右焦点，圆
上有一动点 ， 不同于 、 两点，直线 与椭圆 交于点 ， 、 分别为直线 、
的斜率，则 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题。（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知向量 ， ，若 ，则实数 ▲ ．
14．与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线方程为 ▲ ．
15．若命题： ，使 为真命题，则实数 的取值范围是 ▲ ．
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中
甲 乙
9 8 8 5 6 8 8
2 1 0 9 3
1 2,x x 1 2,s s
1 2 ,x x> 1 2s s< 1 2 ,x x> 1 2s s>
1 2 ,x x< 1 2s s< 1 2 ,x x< 1 2s s>
F 2x y= A B 3AF BF+ =
AB x
3
2 1 5
4
7
4
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1( 3,0)F − A (0,1) P
1APF∆ 6
2 3 2 5
1 1 1A B C ABC−
2BAC
π∠ = 1 2AB AC AA= = = G E
1 1A B 1CC D F AC AB GD EF⊥
DF
2 2
5 2 2 5
5
2 2
: 14 3
x yC + = A B F C 2 2 4x y+ =
P P A B PA C Q 1k 2k BP
QF 1
2
k
k
3( , )4
−∞ 3( ,0) (0, )4
−∞ ( ,1)−∞ ( ,0) (0,1)−∞
(1,2,1)a = ( ,3,4)b λ= a b⊥ λ =
2 2
13 4
x y− = (3,2)
[0,3]x∃ ∈ 2 2 0x x a− − ≥ a①设 、 为两个定点， 为非零常数， ，则动点 的轨迹为双曲线；
②曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ；
③方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线 与椭圆 有相同的焦点．
其中真命题的序号为 ▲ （写出所有真命题的序号）
三、解答题。（本大题共 6 题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知集合 ， ．
（1）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围；
（2）对任意 ，不等式 都成立，求实数 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上横坐标为 的点 到焦点 的距离
为 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线 交抛物线 于 、 两点，求弦长 ．
19．（本小题满分 12 分）
某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每
件 3 元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据：
单价 （元） 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7
销量 （万件） 80 74 73 70 65 58
数据显示单价 与对应的销量 满足线性相关关系．
（1）求销量 （件）关于单价 （元）的线性回归方程 ；
（2）根据销量 关于单价 的线性回归方程，要使加工后收益 最大，应将单价定为多少元？
A B k PA PB k− = P
114
22
=−+− t
y
t
x y 42
5 2{ | 5 4 0}B x x x−= + ≤
x A∈ x B∈ a
x B∈ 2 4 0x mx− + ≥ m
:C 2 2y px= ( 0)p > F C 3 M F
4
C
C F 1 l C A B AB
x
y
x y
y x ˆˆ ˆy bx a= +
y x P（产品收益 销售收入 成本）
参考公式： ，
20．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形，平面
平 面 ， ， ， ，
．
（1）求证： ⊥平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得 ？若存在求出 的值，若不存在请
说明理由．
21．（本小题满分 12 分）
某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同
学对社团活动的满意程度，随机选取了 100
位同学进行问卷调查，并将问卷中的这 100
人 根 据 其 满 意 度 评 分 值 （ 百 分 制 ） 按 照
， ， ， ，
分成 6 组，制成如图所示频率分布
直方图．
（1）求图中 的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）现从被调查的问卷满意度评分值在 的学生中按分层抽样的方法抽取 5 人进行座
谈了解，再从这 5 人中随机抽取 2 人作主题发言，求抽取的 2 人恰在同一组的概率．
= −
1 1
2 2 2
1 1
( )( )
ˆ
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y n y
b
x x n
x
x x
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆˆa y bx= −
1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C
ABC ⊥ 1 1AAC C 2AB = 1AC = 5BC =
1 2AA =
1AA ABC
1BC D 1AD A B⊥
1
BD
BC
[ )40,50 [ )50,60 [ )60,70
[ ]90,100
x
[ )60,80
0.030
(分数）0 40 50 60 70 80 90 100
频率
组距
0.010
x
0.005
0.02522．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上的点到焦点的最长距离为
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 （不过原点 ）与椭圆 交于两点 、 ， 为线段 的中点．
（ⅰ）证明：直线 与 的斜率乘积为定值；
（ⅱ）求 面积的最大值及此时 的斜率．
参考答案
一、选择题
D A C A B C B A C B D D
二、填空题
13、 14、 15、 16、②③④
三、解答题
17 ． 解 ： （ 1 ） ，
-------------------------1 分
因 为 “ ” 是 “ ” 的 必 要 不 充 分 条 件 ， 所 以 ， 或
-------------------------------------3 分
所 以 ， ， 或 ， 所 以
．---------------------------------------------------------------------------------4 分
所 以 ， 实 数 的 取 值 范 围 是
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2
2
1 2+
C
(0,2)P l O C A B M AB
OM l
OAB∆ l
10−
2 2
16 8
x y− = 3a ≤
{ |1 1 }( 0)A x a x a a= − ≤ ≤ + > 2{ | 4 0} { |1 4}5B x x x x x= + ≤ = ≤ ≤−
x A∈ x B∈ 1 1
1 4
a
a
− ≤
+ >
1 1
1 4
a
a
−
0
3
a
a
>
≥
3a ≥
a．-------------------------------------------------------------------------------5 分
（2）要使任意 ，不等式 都成立，又
由 ， 得 ，
---------------------------------------------------------------------------------7 分
则只要 ，又 ，当且仅当 ，即 时等号成立．-------------------------9
分
实 数 的 取 值 范 围
．-------------------------------------------------------------------------------------10 分
18 ． 解 ： （ 1 ） ， ，
--------------------------------------------------------------------------2 分
． 故 所 求 抛 物 线 方 程 为
．-----------------------------------------------------------------------5 分
（2）由（1）得焦点 ，所以直线 方程为 ，并设 ， ．-----------7
分
联 立 ， 消 去 ， 得
．-----------------------------------------------------------------9 分
所 以
---------------------------------------------------------------------------------------------------10 分
所以
所 以
．---------------------------------------------------------------------------------------------------------12
分
19．解：
（ 1 ） 由 题 意 得 ，
--------------------------------------------------1 分
-------------------------------------------------------------------------2 分
则 ，
---------------------------------------------------------------------------------------------------------4 分
从 而 ，
-----------------------------------------------------------------------5 分
故 所 求 回 归 直 线 方 程 为
.---------------------------------------------------------------------------6 分
（ 2 ） 由 题 意 可 得 ， ，
[3, )+∞
x B∈ 2 4 0x mx− + ≥ 2{ | 4 0} { |1 4}5B x x x x x= + ≤ = ≤ ≤−
2 4 0x mx− + ≥ 4x mx
+ ≥
min
4( )m x x
≤ + 4 4x x
+ ≥ 4x x
= 2x =
m
( ,4]−∞
4MP = 3 42
p+ =
2p∴ =
2 4y x=
(1,0)F l 1y x= − 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2
1
4
y x
y x
= −
= y
2 6 1 0x x− + =
1 2 6x x+ =
1 2 8x x p+ + =
8AB =
1 (6 6.2 6.4 6.6 6.8 7) 6.56x = + + + + + =
1 (80 74 73 70 65 58) 706y = + + + + + =
6
1
( )( ) 5 1.2 0.3 0 1.5 6 14i i
i
x x y y
=
− − = − − − − − − = −∑
6
2
1
( ) 0.25 0.09 0.01 0.01 0.09 0.25 0.7i
i
x x
=
− = + + + + + =∑
14ˆ 200.7b
−= = −
ˆˆ 70 ( 20) 6.5 200a y bx= − = − − × =
ˆ 20 200y x= − +
ˆ( 3) ( 20 200)( 3)P y x x x= − = − + −-----------------------------------------------------8 分
-----------------------------------------------------------------------------------------------10 分
当 时， 取得最大值 245-----------------------------------------------------------------------11 分
故 要 使 收 益 达 到 最 大 ， 应 将 价 格 定 位
元．---------------------------------------------------------------------12 分
20 ． 解 ： (1) 因 为 侧 面 是 矩 形 ， 所 以
．-----------------------------------------------------2 分
因 为 平 面 平 面 ， 且 垂 直 于 这 两 个 平 面 的 交 线 ，
--------------------------------4 分
所 以 平 面
．----------------------------------------------------------------------------------------------5 分
(2)由(1)知 ， ．由题意知 ， ， ，
所以 ．------------------------------------------------------------------6 分
如 图 ， 以 为 坐 标 原 点 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ， ，
， ．------------------------------------------------------------------------7 分
假 设 是 线 段 上 一 点 ， 其 中 ， ，
， 设 ， 即 ＝
．---------------------------------9 分
解得 ， ， ，所以 ．
由 ，即
得 ，解得 ．-------------------------------------------------------11 分
因为 ，所以在线段 上存在一点 ，使得 ．
此时 ．-------------------------------------------------------------12 分
21． 解：（1）由 ，解得 ．---------3
分
（2）中位数设为 ，则 ，解得 ．-------------------6
分
（3）可得满意度评分值在 内有 20 人，抽得样本为 2 人，记为
满意度评分值在 内有 30 人，抽得样本为 3 人，记为 -----------------------8 分
记“5 人中随机抽取 2 人作主题发言，抽出的 2 人恰在同一组”为事件 A
基 本 事 件 有
共 10 个，A 包含的基本事件个数为 4 个，--------------------------------------------------------10 分
利用古典概型概率公式可知 .---------------------------------------12 分
22．解：
220( 6.5) 245P x= − − +
6.5x = P
6.5
1 1AAC C
1AA AC⊥
ABC ⊥ 1 1AAC C 1AA AC
1AA ⊥
ABC
1AA AC⊥ 1AA AB⊥ 2AB = 1AC = 5BC =
AB AC⊥
A A xyz− (0,0,0)A (0,2,0)B
1(0,0, 2)A 1(1,0, 2)C
1 1 1( , , )D x y z 1BC 1 1 1( , 2, )BD x y z= −
1 (1, 2, 2)BC = −
1 (0,2, 2)A B = −
1BD BCλ= ( [0,1])λ ∈ 1 1 1( , 2, )x y z−
(1, 2, 2)λ= −
1x λ= 1 2 2y λ= − 1 2z λ= ( ,2 2 , 2 )AD λ λ λ= −
1 0AD A B =
( ,2 2 , 2 )λ λ λ− (0,2, 2) 0− =
4 6 0λ− = 2
3
λ =
2 [0,1]3
∈ 1BC D 1AD A B⊥
1
2
3
BD
BC
λ= =
0.005 0.010 0.030 0.025 0.010 ) 10 1x+ + + + + × = 02.0=x
m 0.05 0.1 0.2 ( 70) 0.03 0.5a+ + + − × = 75m =
[ )60,70 1 2,a a
[ )70,80 1 2 3, ,b b b
1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b
( ) 4 2
10 5P A = =（1）由题意得 ，解得 …………………………………..2 分
∴ ， ，…………………………………………………3 分
∴椭圆 的方程为 ………………………………………….4 分
（2）（ⅰ）设直线 为： ， ，
由 题 意 得 ，
∴ ，……………………..5 分
∴ ，即
由 韦 达 定 理 得 ：
…………………………….6 分
∴ ， ………………………………………………7 分
∴ ，，∴
∴直线 与 的斜率乘积为定值…………………………………………..8 分
（ ⅱ ） 由 （ ⅰ ） 可 知 ：
，…………………………………………………………………..9 分
又点 到直线 的距离 ，
∴ ，…………
…….10 分
令 ， 则 ，
∴ ，…………………………………11 分
当且仅当 时等号成立，此时 ，且满足 ，
1 2
2
2
a c
c
a
+ = +
=
2
1
a
c
= =
2 2a = 2 2 2 1b a c= − =
C
2
2 12
x y+ =
l 2y kx= + 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )M MA x y B x y M x y
2
2
2
12
y kx
x y
= + + =
2 2(1 2 ) 8 6 0k x kx+ + + =
28(2 3) 0k∆ = − > 2 3
2k >
2 21 2 1 2
8 6,
1 2 1 2
kx x x x
k k
−+ = =
+ +
2
4
1 2M
kx k
= − + 2
22 1 2M My kx k
= + = +
1
2
M
OM
M
yk x k
= = − 1
2OMk k = −
OM l
2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 2
2 2 (1 )(2 3)1 1 ( ) 4 1 2
k kAB k x x k x x x x k
+ −= + − = + + − = +
2
2
1
d
k
=
+
2 2 2
2 22
2 2 (1 )(2 3) 2 2 (2 3)1 1 2
2 2 1 2 1 21OAB
k k kS d AB k kk
∆
+ − −= × × = × × =+ ++
22 3k t− = 0t >
2
2 2 2 2 2 2 2
44 4 2OAB
tS t t t
∆ = = ≤ =+ +
2t = 14
2k = ± 0∆ >∴ 面积的最大值是 ，此时 的斜率为 …………………………….12 分OAB∆ 2
2
l 14
2
±
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