湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期第四次月考试题（11月）数学（理）（Word版附答案）.docx

试卷第 1 页，总 10 页 衡阳市八中 2020 届高三月考试题（四） 数学（理科） 命题人：王美蓉 审题人：刘亮生 赵永益 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试用时 120 分钟． 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．设曲线 在 处的切线方程为 ，则 a＝(　　) A．0 B．1C．2 D．3 3． 的展开式中 的系数为（ ） A． B． C． D． 4．已知在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别是 和 ，则四边 形 的面积为(　　) A. B. C. D. 5．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6.已知函数 ，则函数 的大致图像为（ ） A B C D 7．函数 的最小正周期是 ，则其图象向左平移 个单位长度后得到的函数 的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 2{ | 4 3 0}A x x x= − + < { | 2 3 0}B x x= − > A B∪ = 3(1, )2 (1, )+∞ (1,3) 3( ,3)2 ln( 1)axy e x= − + 0x = 2 1 0x y− + = ( )5( 1) 1 2x x+ + 4x 100 120 140 160 2 2: 4 2 4 0M x y x y+ − + − = (0,0)O AC BD ABCD 6 8 10 12 5log 2a = 0.5log 0.2b = 0.20.5c = , ,a b c a c b< < a b c< < b c a< < c a b< < 5cos sin( ) x x x xf x e −= ( )f x ( ) 4sin ( 0)3f x x πω ω = + >   3π 6 π 4x π= 3x π= 5 6x π= 19 12x π=试卷第 2 页，总 10 页 8．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两(1秤=10 斤,1 斤=10 两),令甲、 乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他 们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.”若银的数量不变,按此法将银依次分给 5 个人,则得银最少的 3 个人一共得银( ) A. 两 B. 两 C. 两D. 两 9 ． 如 图 ， 平 面 四 边 形 中 ， ， ， ，将其沿对角线 BD 折成四面体 ，使平面 ⊥平面 ，若四面体 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A．3π B． C．4π D． 10.已知 为平面直角坐标系的原点， 为双曲线 的右焦点， 为 的中点， 过双曲线左顶点 作两渐近线的平行线分别与 轴交于 两点， 为双曲线的右顶点，若四边形 的内切圆经过点 ，则双曲线的离心率为(　　) A． B. C. D. 11.对于定义域为 的函数 ，若满足① ；② 当 ，且 时，都有 ； ③ 当 ，且 时，都有 ，则称 为“偏对称函数”．现给出四个 函数： ； ； 则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 12．已知函数 ， ，其中 ．若 的图象在点 处的切线与 的图象在点 处的切线重合，则 a 的取值范围为（） A． B． 266 127 889 127 840 31 1111 31 ABCD 1AB AD CD= = = 2BD = BD CD⊥ 'A BCD− 'A BD BCD 'A BCD− 3 2 π 3 4 π O 2F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > E 2OF A y ,C D B ACBD E 2 2 3 2 3 3 R ( )f x ( )0 0f = Rx∈ 0x ≠ ( ) 0xf x′ > 1 20x x< < 1 2x x= ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x ( ) 3 2 1 3 2f x x x= − + ( )2 1xf x e x= − − ( )3 ln( 1), 0, 2 , 0. x xf x x x − + ≤=  > ( )4 1 1 , 0,2 1 2 0, 0. xx xf x x   + ≠  = −   = 21 1( ) ( 0)4 2f x x x a x= + + < ( ) ln ( 0)g x x x= > Ra ∈ ( )f x ( )( )1 1,A x f x g x（ ） ( )( )2 2,B x f x 3 ,4  − +∞   ( 1 ln 2, )− − +∞试卷第 3 页，总 10 页 C． D． 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上) 13． 的值是__________； 14．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在 的汽车中抽取600辆进行分析，得到数据的频率分布 直方图如图所示，则速度在 以下的汽车有________辆； 15．在平行六面体 中， ， ， 则 与 所成角为_________；（用弧度表示） 16．如图，过抛物线 的焦点 作两条互相垂直的弦 、 ，若 与 面积 之和的最小值为32，则抛物线的方程为_________. 三、解答题(本大题共 6 个小题，满分 70 分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分) 箱中装有4个白球和 个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个 球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量 为取出的3个球所得分数之和. （1）若 ，求 的值； （2）当 时，求随机变量 的分布列与数学期望. 18．(本小题满分 12 分) 已知函数 . (1)求 的单调递增区间； ( 1 ln 2, )− + +∞ (ln 2 ln3, )− +∞ ( ) ( )2020 20201 1i i+ − − 50 90km/h− 70km / h 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 60 , 90A AB A AD DAB∠ = ∠ = ° ∠ = ° 1A A AB AD= = 1 1E F A D DC、 分别是棱 和 的中点 EF AC 2 2y px= ( 0)p > F AB CD ACF BDF△ ( )*m m N∈ X 1( 6) 5P X = = m 4m = X π( ) 3 cos(2 ) 2sin cos3f x x x x= − − ( )f x试卷第 4 页，总 10 页 (2)在 中， 且 ，求 面积的最大值． 19．(本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点， 在 上且 . （I）求证： ； （II）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存 在，求出 的长；若不存在，请说明理由. 20．(本小题满分 12 分) 已知椭圆 过点 ，离心率为 ， 为坐标原点． （1）求椭圆 的标准方程； （2）设 为椭圆 上的三点， 与 交于点 ，且 ，当 的中点恰为点 时， 判断 的面积是否为常数，并说明理由． 21．(本小题满分 12 分) 设数列 , ，已知 ， ， （1)求数列 的通项公式； （2)设 为数列 的前 项和,对任意 ,若 恒成立，求实数 的取值范围． 22．(本小题满分 12 分) 设 ， ，其中 ． Ⅰ 求 的极大值； Ⅱ 设 ， ，若 对任意的 ， 恒成立， 求 的最大值； ABC 3AC = 02 Bf  − =   ABC S ABC− SA ABC⊥ 底面 =2AC AB SA= = AC AB⊥ D E AC BC F SE 2SF FE= AF SBC⊥ 平面 DE G G AF E− − o30 DG ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > (2,0)A 2 2 O C , ,P Q R C OQ PR M 3OQ OM=  PR M OPR△ { }na { }nb 1 1 1 44, 6, 2 n n ba b a + += = = 1 4 2 n n ab + += ( )n N ∗∈ { }n nb a− nS { }nb n Nn ∗∈ [ ]( 4 ) 1,3np S n⋅ − ∈ p ( ) lnf x a x bx b= + − ( ) x exg x e = ,a b R∈ ( ) ( )g x ( ) 1b = 0a > ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 1f x f x g x g x − < − 1x [ ]( )2 1 23,4x x x∈ ≠ a试卷第 5 页，总 10 页 Ⅲ 设 ，若对任意给定的 ，在区间 上总存在s， ，使 成立，求b的取值范围． 衡阳市八中 2020 届高三月考试题（四） 数学（理科） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D D A B D C A B C C 二、填空题 13．0; 14．300; 15． ;16． . 三、解答题 17．【答案】（1）由题意得：取出的 个球都是白球时，随机变量 ，即： ，解得： （2）由题意得： 所有可能的取值为： 则 ； ； ； . 的分布列为： 【点睛】本题考查服从超几何分布的随机变量的概率及分布列的求解问题，关键是能够明确随机变量所服 从的分布类型，从而利用对应的公式来进行求解. 18．【答案】(1)解： ( ) 2a = − ( ]0 0,x e∈ ( ]0,e ( )t s t≠ ( ) ( ) ( )0f s f t g x= = 2 π 2 8y x= 3 6X = ( ) 3 4 3 4 16 5mC CP X + ∴ = = = 3 4 20mC + = 2m = X 3,4,5,6 ( ) 3 4 3 8 13 14 CP X C = = = ( ) 2 1 4 4 3 8 34 7 CP C CX = = = ( ) 1 2 4 4 3 8 35 7 CP C CX = = = ( ) 3 4 3 8 16 14C CP X = = = X∴ X 3 4 5 6 P 1 14 3 7 3 7 1 14 1 3 3 1 63( ) 3 4 5 614 7 7 14 14E X = × + × + × + × = π( ) 3 cos(2 ) 2sin cos3f x x x x= − −试卷第 6 页，总 10 页 ＝ . （2） 由题可得，因为 ，所以 ， 又 ，所以 ．在 中，由余弦定理可得 ，即 ．所以 ，当且仅当 时等号成立， 故 面积的最大值为 ． 19．【答案】I.以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB.AS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz.则 A（0，0， 0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0） 由 SF=2FE 得 F( , , ) 平面 平面 SBC Ⅱ.假设满足条件的点 G 存在，并设 DG= .则 G（1，t，0）.所以 设平面 AFG 的法向量为 ，则 取 ，得 即 . （法一）设平面 AFE 的法向量为 则 3 3cos2 sin 2 sin 22 2x x x+ − 1 3sin 2 cos2 sin(2 )2 2 3x x x π= + = + - +2 2 +2k ,2 3 2k x k Z π π ππ π≤ + ≤ ∈由 ， 5- + +k ,12 12k x k Z π ππ π≤ ≤ ∈得 5( ) [- + , +k ],12 12f x k k Z π ππ π ∈所以 的单调递增区间为： π( ) sin(2 )3f x x+= 02 Bf  − =   sin 03B π − + =   0 B π< < 3B π= ABC 2 2 2 219 2 2a c ac a c ac ac= + − ⋅ = + − ≥ 9ac ≤ 1 1 3 9 3sin 92 2 2 4ABCS ac B= ≤ × × =  3a c= = ABC 9 3 4 2 3 2 3 2 3 ( )2 2 2, , , 2, 2,03 3 3AF BC ∴ = = −     ( )2,0, 2SC = − 0, 0AF BC AF SC⋅ = ⋅ =     ,AF BC AF SC∴ ⊥ ⊥    AF∴ ⊥ t 1,1 0 1 0AE AG t= = （ ，）， （， ，） ( )2 2 2 2, ,n x y z= ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, , , , 03 3 3 3 3 3 , , 1, ,0 0 n AF x y z x y z n AG x y z t x ty   ⋅ = ⋅ = + + =     ⋅ = ⋅ = + =   2 1y = 2 2, 1x t z t= − = − ( )2 ,1, 1n t t = − − ( )3 3 3 3, ,n x y z=试卷第 7 页，总 10 页 取 ，得 ，即 （法二） . 所以平面 AFE 的法向量为： ；由得二面角 G-AF-E 的大小为 得 ，化简得 ， 又 ，求得 ，于是满足条件的点 G 存在，且 20．【答案】（1）由已知易得 ， ∴ ，故椭圆 的标准方程为： . （2）①若点 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则 ，∵ ， 在线段 上，∴ ，此时 轴，求得 ，∴ 的面积等于 . ②若点 不是椭圆的左、右顶点，则设直线 的方程为： ， ， ， 由 得 ，则 ， ， ∴ 的 中点 的坐标为 ，∴点 的坐标为 ，将其代入椭圆方程，化简 得 ．∴ ． ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2, , , , 03 3 3 3 3 3 , , 1,1,0 0 n AF x y z x y z n AE x y z x y   ⋅ = ⋅ = + + =     ⋅ = ⋅ = + =   3 1y = 3 31, 0x z= − = ( )3 1,1,0n = − ,AF SBC BC SBC AF BC⊥ ⊂ ∴ ⊥ 平面 平面 , , ,AB AC E BC AE BC AE AF A AE AF AEF BC AEF= ∴ ⊥ ∩ = ⊂ ∴ ⊥又 为 中点， 、 平面 平面 = -BC （1, 1, 0） 30 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 3 1 1 1 1 0 3cos30 22 1 1 n n t t n n t t ⋅ − × − + × + − × = = = ⋅ × − + + −      22 5 2 0t t− + = 0 1t≤ ≤ 1 2t = 1 2DG = 2 4 1 2 , 2 2 2 aa c c a  = =   = = 解得 2 2 2 2b a c= − = C 2 2 2 14 x y+ = Q ( )2,0Q 3OQ OM=  M OQ 2 ,03M      PR x⊥ 8 3PR = OPR 1 8 2 8 2 3 3 9 × × = Q PR ( )0y kx m m= + ≠ ( )1 1,P x y ( )2 2,R x y 2 22 4x y y kx m  + =  = + ( )2 2 22 1 4 2 4 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 4 2 1 kmx x k + = − + 2 1 2 2 2 4 2 1 mx x k −= + PR M 2 2 2 ,2 1 2 1 km m k k  − + +  Q 2 2 6 3,2 1 2 1 km m k k  − + +  2 292 1 2k m+ = ( )22 1 2 1 21 4PR k x x x x= + + − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 16 1 2 1 9 k k m k k m + + − += =+试卷第 8 页，总 10 页 点 到直线 的距离 ，∴ 的面积 ． 综 上可知， 的面积为常数 ． 21．【答案】(1) ，又 ， 是以 2 为首项， 为公比的等比数列， ； （2） ， 又 , ，两式相加即得： ， , ( )当 n 为奇数时 ( )当 n 为偶数时， ， 综上，所以实数 p 的取值范围为 ．  O PR 21 md k = + OPR 2 2 1 1 16 1 8 2 2 9 91OPR mkS PR d m k += ⋅ = ⋅ ⋅ = + OPR 8 9 1 1 4 4 1 ( )2 2 2 2 n n n n n n n n a b a bb a b a+ + + + −− = − = = − − 1 1 2b a− = { }n nb a∴ − 1 2 − 112 2 n n nb a − ∴ − = ⋅ −   1 1 4 4 42 2 2 n n n n n n a b a bb a+ + + + ++ = + = + 1 1 18 ( 8)2n n n na b a b+ +∴ + − = + − 1 1 1 18 2, 8 2 ( )2 n n na b a b −+ − = ∴ + − = × 112 2 n n nb a − − = ⋅ −   1 11 14 ( ) ( )2 2 n n nb − −= + − + 1 11 1 1 2 12 24 4 2 1 11 1 2 3 21 12 2 n n n n nS n n    − − −             ∴ = + + = + − + − −                   − − −       8 4 14 3 3 2 8 14 13 , 2 n n n n S n n n  + − ×  ∴   + −     =       为奇数 为偶数， ( ) [ ]4 1,3np S n− ∈ 4 0nS n− > o 1 ( ) [ ]8 4 1 1 34 = 1,33 3 2 8 4 1 8 4 1 3 3 2 3 3 2 n n n np S n p p   − − × ∈ ∴ ≤ ≤          − × − ×        1 3 1 9 28 4 1 8 4 1 3 3 2 3 3 2 8n np p∴ ≤ ≤ ⇔ ≤ <    − × − ×       此时 o 2 ( ) [ ]8 1 1 34 = 1 1,33 2 8 1 8 11 13 2 3 2 n n n n p S n p p   − × − ∈ ∴ ≤ ≤             −  −              1 3 1 9 28 1 8 11 13 2 8 2 3 n np p∴ ≤ ≤ ⇔ ≤ [ ]3,4 ( )f x [ ]3,4 ( ) ( ) 1 xeh x g x ex = = ( ) ( ) 2 1' 0 xe xh x ex −= > [ ]3,4 ( )h x [ ]3,4 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1f x f x h x h x− < − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1f x h x f x h x− < − ( ) ( ) ( )F x f x h x= − ( )F x [ ]3,4 ( ) ln 1 xeF x a x x ex = + − − ( ) ( ) 2 1' 1 0 xe xaF x x ex −= + − ≤ [ ]3,4 ( )h x [ ]3,4 ( )11 xe xa xe x −≤ ⋅ − ( ) ( )11 xe xG x xe x −= ⋅ − 3 4x≤ ≤ ( ) ( )2 1 2 2 11 1 1' 1 1 1 x xe x x G x ee x x x − ⋅ − +  = ⋅ − = − + −   1 2 21 1 3 3[ ) 1 1 02 4 4 xe ex −  = − + − > − >   ( )G x [ ]3,4 22 33a e≤ − 22 33maxa e= − ( ( ) ( )1 1 1) ' 1x x xg x e xe x e− − −= − = − ( )0,1x∈ ( )' 0g x > ( )g x ( ]1,x e∈ ( )' 0g x < ( )g x ( )0 0g = ( )1 1g = ( ) 2 0eg e e −= > ( )g x ( ]0,e ( ]0,1 ( )f x ( ]0,1 ( ]0,e 1t ( )2 1 2t t t≠ 2a = − ( ) ( )1 2lnf x b x x= − − ( ) 2 2' bxf x b x x −= − = 0b = ( ) 2' 0f x x = − < ( )f x 0b ≠ 2x b = ( )' 0f x = ( )f x ( ]0,e 20 eb < < 20,x b  ∈   2 ,b  +∞   ( ]0,x e∈ 2 2( ) 2 2lnminf x f ab b  = = − −  试卷第 10 页，总 10 页 由题意，只需满足以下三个条件： ， ， 使 ． ，所以 成立 由 ，所以 满足， 所以当b满足 即 时，符合题意，故b的取值范围为 ． 【点睛】 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查不等式恒成立和存在性问题，注意运用参数分离和构 造函数通过导数判断单调性，求出最值，属于难题． 2 2( ) 2 2ln 0minf x f bb b  = = − − ( )2 1 0f fb   ≤ =   ① . ( ) ( )1 2lnf x b x x= − − → +∞② ③ 20 3 1 eb b e  <