江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中考试数学（Word版附答案）.doc

南京市 2019－2020 学年度第一学期期中调研测试 高 二 数 学 2019.11 注意事项： 1．本试卷共 4 页，包括选择题（第 1 题~第 12 题）、填空题(第 13 题～第 16 题)、解答题(第 17 题～第 22 题)三部分。本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 5．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：线性回归方程 y ∧ ＝bx＋a；回归系数 b＝ xiyi－n xi2－n2，a＝－ y －b－ x ； 球的表面积 S＝4πR2，其中 R 为球的半径． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 4 分，共计 48 分．其中第 1 至第 10 题为单选题，第 11、12 题为多选题． 1．若直线 ax＋2y＋1＝0 与直线 x＋2y－2＝0 互相垂直，则实数 a 的值是 A．1 B．－1 C．4 D．－4 2．已知向量 a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)．若向量 a＋b 与向量 c＝(－2，m，－4)平行，则 实数 m 的值是 A．2 B．－2 C．10 D．－10 3．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2－y2 2＝1 的渐近线方程是 A．y＝± 2x B．y＝±2x C．y＝± 3x D．y＝±3x 4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下 统计数据表： 收入 x（万元） 8.3 8.5 10 11. 2 12 支出 y（万元） 6 7.5 8 8.5 10 根据上表可得－ x ＝10，－ y ＝8，线性回归方程 y ∧ ＝0.76x＋a．据此估计，该社区一户年收 入为 20 万元家庭年支出为 A．15.2 万元 B．15.6 万元 C．16 万元 D．16.2 万元 5．如图，已知一个圆柱的底面半径为 3，高为 2，若它的两个底面圆周均在球 O 的球面上， 则球 O 的表面积为 A．32π 3 B．16π C．8π D．4π 6．如图，在四面体 ABCD 中，点 M 是棱 BC 上的点，且 BM＝2MC，点 N 是棱 AD 的中 点．若M N→ ＝x AB→ ＋y AC→ ＋z AD→ ，其中 x，y，z 为实数，则 xyz 的值是 A．－1 9 B．－1 8 C．1 9 D． 1 8 7．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 P(1，2)，且被圆 O：x2＋y2＝9 截得的弦长为 4 2， 则直线 l 的方程为 A．3x－4y＋5＝0 B．3x＋4y－11＝0 C．x＝1 或 3x－4y＋5＝0 D．x＝1 或 3x＋4y－11＝0 8．已知 cos(α＋π 4)＝10，则 sin2α 的值是 A．－ 4 5 B．－ 2 5 C． 2 5 D． 4 5 9．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2 ＝4x 的焦点，交抛物线于 A，B 两点，且线 段 AB 中点的横坐标为 3，则线段 AB 的长为 A．6 B．7 C．8 D．10 10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(4，0)，点 A，B 在双曲线 C： x2 4 －y2 ＝1 上，且 AP→ ＝3PB→ ，则直线 AB 的斜率为 A．±3 2 B．±2 C．±1 D．±2 注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意．全部选对得 4 分，选对但不全的得 2 分，错选或不答的得 0 分． 11．已知两条直线 l，m 及三个平面 α，β，γ，下列条件中能推出 α⊥β 的是 A. l ⊂α，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥m C．α⊥γ，β∥γ D．l ⊂α，m ⊂β，l⊥m （第 5 题图） O （第 6 题图） A B C D M N12．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到两个定点 F 1(－1，0)和 F 2(1，0)的距离之积等于 8， 记点 P 的轨迹为曲线 E，则 A．曲线 E 经过坐标原点 B．曲线 E 关于 x 轴对称 C．曲线 E 关于 y 轴对称 D．若点(x，y)在曲线 E 上，则－3≤x≤3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： x2 3 －y2 ＝1 的焦距为 ▲ ．若双曲线 C 的右 焦点与抛物线 y2＝2px (p＞0)的焦点重合，则实数 p 的值为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系 xOy 中，若椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点和短轴的两个端点 恰为正方形的四个顶点，则椭圆 E 的离心率是 ▲ ． 15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是： 每个大于 2 的偶数可以表示为两个质数的和，如 14＝3＋11．在不超过 15 的质数中，随 机选取 2 个不同的数，其和不等于 16 的概率是 ▲ ． 16．已知四棱柱 ABCD－A 1B1C1D1 的底面 ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为 2， ∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则对角线 AC1 的长为 ▲ ． 三、解答题：本题共 6 小题，共 82 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文 字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 12(acosC＋ccosA)＝13bcosB． （1）求 cosB； （2）若 a＋c＝15，且△ABC 的面积为 5，求 b 的值． 18．（本小题满分 12 分） 某家庭记录了未使用节水龙头 30 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头 30 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： （一）未使用节水龙头 30 天的日用水量频数分布表 日用水量 [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7] 频数 2 3 8 12 5 （二）使用了节水龙头 30 天的日用水量频数分布表 日用水量 [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6]频数 2 5 11 6 6 （1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于 0.4 m3 的概率； （2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数 据所在区间中点的值作代表） 19．（本小题满分 14 分） 如图，已知四棱锥 P－ABCD 的底面是平行四边形，且∠PAB＝∠PDC＝90°． （1）求证：AB⊥平面 PAD； （2）若点 E，F 分别是棱 PD，BC 的中点， 求证：EF∥平面 PAB． 20．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3． （1）点 D 在棱 AA1 上，且 BD⊥A1C，求 AD 的长； （2）求二面角 C－A1B1－B 的大小． 21．（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离 心率 e＝3．过 F 1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且△ABF 2的周长为 12 5． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 A 位于第一象限，且 AF1⊥AF2，求△ABF 2的外接圆的方程． 22．（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－2，0)，过动点 P 作直线 x＝－4 的垂线，垂足为 M， A B CD E F P （第 19 题图） （第 20 题图） A C B D A1 C1 B1且 AM→ · AP→ ＝－4．记动点 P 的轨迹为曲线 E． （1）求曲线 E 的方程； （2）过点 A 的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 B，C． ① 若 B 为线段 AC 的中点，求直线 l 的方程； ② 设 B 关于 x 轴的对称点为 D，求△ACD 面积 S 的取值范围． 南京市 2019－2020 学年度第一学期期中调研测试 高二数学参考答案 2019.11 一、选择题： 1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B 11．ABC 12．BCD 二、填空题： 13．4；4 14．2 15． 13 15 16．2 5 三、解答题： 17．（本小题满分 12 分） 解：（1）因为 12(acosC＋ccosA)＝13bcosB， 由正弦定理 a sinA ＝ b sinB ＝ c sinC 得 12(sinAcosC＋sinCcosA)＝13sinBcosB，……… 2 分 因此 12sin(A＋C)＝13sinBcosB． ……………………………… 4 分 在△ABC 中，A＋B＋C＝π，所以 12sin(π－B)＝13sinBcosB， 于是 12sinB＝13sinBcosB， 因为 B∈(0，π)，所以 sinB＞0，所以 cosB＝12 13． ……………………………… 6 分 （2）由（1）知 cosB＝12 13，sinB＞0，所以 sinB＝ 1－cos2B＝ 5 13． ……………… 8 分 因为△ABC 的面积为 5，即 S△ABC＝1 2acsinB＝5， 所以 5 26ac＝5，即 ac＝26． ………………………………… 10 分 又因为 a＋c＝15， 所以 b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ 24 13ac＝(a＋c)2－ 50 13ac＝152－ 50 13×26＝125， 因此 b＝5 5． ………………………………… 12 分18．（本小题满分 12 分） 解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于 0.4m3 的频数为 2＋5＋11＝18， ………………………… 2 分 所以所求的概率约为 18 30＝0.6， 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.4m3 的概率的估计值为 0.6． ………… 5 分 （2）该家庭未使用节水龙头 30 天日用水量的平均数为 — x1＝ 1 30(2×0.25＋3×0.35＋8×0.45＋12×0.55＋5×0.65)＝0.5； ……………… 8 分 该家庭使用了节水龙头后 30 天日用水量的平均数为 — x2＝ 1 30(2×0.15＋5×0.25＋11×0.35＋6×0.45＋6×0.55)＝0.38； …………… 10 分 — x1－— x2＝0.5－0.38＝0.12． 因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为 0.12 m3． ………… 12 分 19．（本小题满分 14 分） 证明：（1）在四棱锥 P－ABCD 中， 因为∠PAB＝∠PDC＝90°，所以 AB⊥PA，DC⊥PD． …………………… 2 分 又因为四棱锥 P－ABCD 的底面是平行四边形，所以 AB∥DC， 所以 AB⊥PD． …………………………… 4 分 因为 PA∩PD＝P，PA，PD⊂平面 PAD，所以 AB⊥平面 PAD． …………… 6 分 （2）如图，取 AD 的中点 G，连 EG，GF． 在△PAD 中，因为 E 是棱 PD 的中点， 所以 EG∥PA． 又 EG⊄平面 PAB，PA⊂平面 PAB， 所以 EG∥平面 PAB．…………… 8 分 在平行四边形 ABCD 中，G，F 分别是棱 AD，BC 的中点， 所以 AG＝BF＝ 1 2 BC，AG∥BF，所以四边形 ABFG 是平行四边形， 所以 FG∥BA． 又 FG⊄平面 PAB，AB⊂平面 PAB，所以 FG∥平面 PAB． …………… 11 分 因为 EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面 EFG，所以平面 EFG∥平面 PAB． A B CD E F P （第 19 题图） G又 EF⊂平面 EFG，所以 EF∥平面 PAB． ………………… 14 分 20．（本小题满分 14 分） 解：（1）如图，在△ABC 中，过 A 作 AB 的垂线交 BC 于 E． 在直三棱锥 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC， 所以 AA1⊥AB，AA1⊥AE． 分别以 AE，AB，AA1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系 A—xyz． …………………… 2 分 因为 AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3， 所以 C( 3，－1，0)，B(0，2，0)，A1(0，0，3) ……………………… 4 分 因为点 D 在棱 AA1 上，设 D(0，0，a)，则BD→ ＝(0，－2，a)，A1C→ ＝( 3，－1，－3)． 因为 BD⊥A1C，所以 2－3a＝0，解得 a＝2 3． 所以 AD＝2 3． ………………………… 6 分 （2）平面 ABB1A1 的一个法向量为 n1＝(1，0，0)． 又 B1(0，2，3)，所以 CA1→ ＝(－ 3，1，3)，CB1→ ＝(－ 3，3，3)． 设平面 A1B1C 的一个法向量为 n2＝(x，y，z)， 由 n2⊥CA1→ ，n2⊥CB1→ ，得{－x＋y＋3z＝0， －x＋3y＋3z＝0，所以 y＝0． 取 x＝ 3，则 z＝1， 所以平面 A1B1C 的一个法向量为 n2＝( 3，0，1)． ……………… 10 分 | n1|＝1，| n2|＝2，n1·n2＝ 3， 所以 cos＜n1，n2＞＝ n1·n2 | n1|| n2|＝2， …………………… 12 分 又＜n1，n2＞∈[0，π]，从而＜n1，n2＞＝π 6． 根据图形可知，二面角 C－A1B1－B 大小的为π 6． ………………………14 分 21．（本小题满分 14 分） 解：（1）因为椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率 e＝3， 所以 c a＝3． ① 又△ABF 2的周长为 12 5，所以 4a＝12 5． ② x y z （第 20 题图） A C B D A1 C1 B1 E联立①②，解得 a＝3 5，c＝5， 从而 b2＝a2 －c2 ＝20， 因此椭圆 C 的方程为 x2 45＋ y2 20＝1． ……………………………… 4 分 （2）因为点 A 位于第一象限，故设 A(x 1，y 1)，其中 x 1＞0，y 1＞0． 因为 AF1⊥AF2，所以AF1→ · AF2→ ＝0，又点 A 在椭圆 C 上， 所以{＋＝1， x＋y＝25，解得 x12＝9，从而 x 1＝3，y 1＝4． ……………………… 7 分 由（1）知，椭圆 C 的左焦点为 F 1(－5，0)，所以直线 l 的方程为 y＝1 2(x＋5)． 由{y＝(x＋5)， ＋＝1， 得 5x2＋18x－99＝0，解得 x＝3 或－ 33 5 ． 所以 B(－ 33 5 ，－ 4 5)． ……………………………… 11 分 因为∠F 1AF 2＝90°，所以△ABF 2的外接圆就是以 BF 2为直径的圆． 又椭圆 C 的右焦点为 F2(5，0)， 所以线段 BF 2的中点 M 的坐标为(－ 4 5，－ 2 5)，此时 MF 2＝13， 故△ABF 2的外接圆的方程为(x＋ 4 5)2 ＋(y＋ 2 5)2 ＝169 5 ． ………………………… 14 分 22．（本小题满分 16 分） 解：（1）设 P(x，y)，则 M(－4，y)． 因为 A(－2，0)，所以 AM→ ＝(－2，y)， AP→ ＝(x＋2，y)， 因为 AM→ · AP→ ＝－4，所以－2x－4＋y2＝－4，即 y2＝2x． 所以曲线 E 的方程为 y2＝2x． ………………………………… 3 分 （2）① 若直线 l 的斜率不存在，则 l 与曲线 E 无公共点，因此 l 的斜率存在； 若 l 的斜率为 0，则 l 与曲线 E 只有一个公共点，因此 l 的斜率不为 0． 设 l：y＝k(x＋2)，k≠0， 由{y＝k(x＋2)， y2＝2x， 得 y2－ 2 ky＋4＝0，于是∆＝ 4 k2－16＞0，解得－1 2＜k＜1 2且 k≠0． 设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，则 y1＋y2＝ 2 k，y1y2＝4． …………………… 7 分 因为 B 为线段 AC 的中点，所以 y2＝2y1． 又 y1＋y2＝ 2 k，所以 y1＝ 2 3k，y2＝ 4 3k， 因此 y1y2＝ 8 9k2＝4，所以 k＝±3，符合－1 2＜k＜1 2且 k≠0， 于是 k＝±3，此时直线 l 的方程为 y＝±3(x＋2)． …………………… 9 分 ② 因为点 B，D 关于 x 轴对称，所以 D(x1，－y1)， 于是点 D 到直线 l 的距离为 d＝ |kx1＋y1＋2k| ． 因为 y1＝k(x1＋2)，所以 d＝ 2|y1| ． ………………………… 11 分 又 AC＝ 1＋k2|x2＋2|， 所以 S＝1 2 1＋k2|x2＋2|× 2|y1| ＝|(x2＋2)y1|＝|(y22 2 ＋2)y1|． 因为 y1y2＝4，y1＋y2＝ 2 k，所以 S＝|2y2＋2y1|＝ 4 |k|． ……………………… 14 分 又因为－1 2＜k＜1 2且 k≠0，因此 S＞8， 即△ACD 面积 S 的取值范围为(8，＋∞)． ………………………… 16 分