辽宁大连市2019-2020高二数学上学期期中试卷(Word版附答案)
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资料简介
2019~2020 学年第一学期期中考试 高二数学试卷 (时间:120 分钟 总分:100 分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;并将条形码粘贴在指定区域。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 3.第Ⅱ卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内。 第Ⅰ卷 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,其中 1~10 小题为单选题,每小题只有 一个选项符合题意;11~12 为多选题,每小题有两个选项符合题意,选对一个得 3 分,两个 都选对得 5 分,选错或选错一个得 0 分。) 1.直线 的斜率是( ) A. B. C. D. 2.若圆 C 与圆 C′(x+2)2+(y-1)2=1 关于原点对称,则圆 C′的方程是( ) A.(x+1)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=1 3.如图,在三棱锥 中,点 D 是棱 AC 的中点,若 , , ,则 等于( ) A. B. C. D. 4.直线 是( ) A.过点 的一切直线 B.过点 的一切直线 C.过点 且除 x 轴外的一切直线 D.过点 且除直线 外的一切直线 5.如果存在三个不全为 0 的实数 , , ,使得向量 ,则关于 , , 叙述正确的是( ) A. , , 两两相互垂直 B. , , 中只有两个向量互相垂直 C. , , 共面 D. , , 中有两个向量互相平行 6.已知点 在平面 内, 是平面 的一个法向量,则下列点 P 中,在 平面 内的是( ) A. B. C. D. 2 4 3 0x y+ + = 2− 1 2 − 1 2 2 O ABC− OA a=  OB b=  OC c=  BD a b c+ −   1 1 2 2a b c− +   a b c− +   1 1 2 2a b c− + −   ( )( )1y k x k R= − ∈ ( )1,0 ( )1,0− ( )1,0 ( )1,0 1x = x y z 0xa yb zc+ + =  a b c a b c a b c a b c a b c ( )2, 1,2A − α ( )3,1,2n = α α ( )1, 1,1P − 31,3, 2P     31, 3, 2P −   31,3, 2P − −  7.若直线 与直线 平行,则 ( ) A. B. C. 或 2 D. 或 8.设 是椭圆 长轴的两个端点,若 上存在点 满足 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.如图所示,正方体 的棱 , 的中点分别为 , ,则直线 与平面 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 10.已知椭圆的左焦点为 ,有一质点 A 从 处以速度 v 开始沿直线运动,经椭圆内壁反射 (无论经过几次反射速率始终保持不变),若质点第一次回到 时,它所用的最长时间是最短 时间的 7 倍,则椭圆的离心率 e 为( ) A. B. C. D. 11.(多选题)若方程 所表示的曲线为 ,则下面四个命题中错误的是( ) A.若 为椭圆,则 B.若 为双曲线,则 或 C.曲线 可能是圆 D.若 为椭圆,且长轴在 轴上,则 12 .(多 选 题 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 圆 的 方 程 为 . 若 直 线 上存在一点 ,使过 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数 的取值可以是 ( ) A. B. C. D. 2y x= ( )2 1 0a a x y a− − + + = a = 1a = − 2a = 1a = − 1a = 2− ,A B 2 2 : 14 x yC k + = C P 120APB∠ =  k 4(0, ] [12, )3 ∪ +∞ 2(0, ] [6, )3 ∪ +∞ 2(0, ] [12, )3 ∪ +∞ 4(0, ] [6, )3 ∪ +∞ 1 1 1 1ABCD A B C D− AB 1 1A D E F EF 1 1AA D D 5 5 30 6 6 6 2 5 5 1F 1F 1F 2 3 3 4 3 5 5 7 2 2 13 1 x y t t + =− − C C 1 3t< < C 3t > 1t < C C y 1 2t< < xOy C 2 2 4 0x y x+ − = ( )1y k x= + P P k 1 2 3 4第Ⅱ卷 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.在平面直角坐标系 中,双曲线 的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离 为 。 14.已知圆 与圆 相交,则实数 的取值范围为 。 15.已知双曲线: 的左、右焦点分别为 , ,焦距为 2c,直线 与 双 曲 线 的 一 个 交 点 M 满 足 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 。 16.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状,最大拱高 为 6 米(如图所示),路面设计是双向 车道,车道总宽为 米,如果限制通行车辆的高度不超过 4.5 米,那么隧道设计的拱宽 至 少应是 米。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17.(本小题 10 分) (1)求与双曲线 有相同焦点,且经过点 的双曲线的标准方程; (2)已知椭圆 的离心率 ,求 的值。 18.(本小题 12 分) 已知圆 与直线 相交于不同的 两点, 为坐标原 点。 (1)求实数 的取值范围; (2)若 ,求实数 的值。 19.(本小题 12 分) 底面为菱形的直棱柱 中, 分别为棱 的中点。 (1)在图中作一个平面 ,使得 ,且平面 .(不必给出证明过程,只要求 作出 与直棱柱 的截面)。 (2)若 ,求平面 与平面 的距离 。 xOy 2 2 14 xy − = − 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F 3( )y x c= + 1 2 2 12MF F MF F∠ = ∠ h 8 7 d 2 2 116 4 x y− = ( )3 2,2 2 2( 3) ( 0)x m y m m+ + = > 3 2e = m 2 2 1C x y+ =: : 3 0l x y m− + = A B、 O m 3AB = m 1 1 1 1ABCD A B C D− E F、 1 1 1 1A B A D、 α BD α⊂ / /AEF α α 1 1 1 1ABCD A B C D− 0 1 2, 60AB AA BAD= = ∠ = AEF α d20.(本小题 12 分) 如图,设 是圆 上的动点,点 是 在 轴上的射影, 为 上一点,且 。 (Ⅰ)当 在圆上运动时,求点 的轨迹 的方程; (Ⅱ)求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的长度。 21.(本小题 12 分) 如图,在四棱锥 P–ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E 为 PD 的中点,点 F 在 PC 上,且 。 (Ⅰ)求证:CD⊥平面 PAD; (Ⅱ)求二面角 F–AE–P 的余弦值; (Ⅲ)设点 G 在 PB 上,且 .判断直线 AG 是否在平面 AEF 内,说明理由。 1 3 PF PC = 2 3 PG PB =22.(本小题 12 分) 已知椭圆 : ( )的离心率为 , , , , 的面积为 1。 (1)求椭圆 的方程; (2)设 是椭圆 上一点,直线 与 轴交于点 ,直线 与 轴交于点 ,求证: C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 3 2 ( ,0)A a (0, )B b (0,0)O OAB∆ C P C PA y M PB x N | | | |AN BM⋅2019~2020 学年第一学期期中考试 BDBDC BBACD AD AB 第Ⅱ卷(非选择题,共×分) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13、 14、 15、 16.32 三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(1) (2) 【详解】 (1)∵双曲线与双曲线 1 有相同焦点,∴设所求双曲线方程为: 1,(﹣4<λ<16),∵双曲线过点( ,2),∴ 1,∴λ=4 或 λ=﹣14.(舍) ∴所求双曲线方程为 . (2)椭圆方程可化为 1, 因为 m 0,所以 m , 即 a2=m,b2 ,c ,由 e ,得 ,解得 m =1,所以 m=1. 18.(1) ;(2) . 试题解析:(1) 解:由 消去 得 ,由已知得, 得 ,得实数 的取值范围是 ; 2 5 5 e 3 1c a = = + 2 2 112 8 x y− = 1m = 2 2 16 4 x y− = 2 2 16 4 x y λ λ− =− + 3 2 18 4 16 4λ λ+ =− + 2 2 112 8 x y− = 2 2 3 x y mm m + = + ( )2 3 3 m mm m m +− =+ + > 3 m m +> 3 m m = + ( )2 2 2 3 m ma b m += − = + 3 2 = 2 3 3 2 m m + =+ ( 2,2)− 1m = ± 2 2 1{ 3 0 x y x y m + = − + = y 2 24 2 3 1 0x mx m+ + − = 2 2(2 3 ) 16( 1) 0m m− − > 2 4 0m − < m ( 2,2)−(2)因为圆心 到直线 的距离为 , 所以 由已知得 ,解得 . 19.(1)见解析;(2) 试题解析: (1)如图,取 的中点 ,连接 ,则平面 即为所求 平面 . (2)如图,连接 交 于 ,∵在直棱柱 中,底面为菱形, ∴ ,∴分别以 为 轴, 为原点建立如图所示空间直角坐标系, 又∵所有棱长为 2, ,∴ , , , ∴ ,∴ , ,设 是平面 的一个法向量,则 ,即 ,令 (0,0)C : 3 0l x y m− + = 23 1 m md = = + 2 2 2 2=2 2 1 44 mAB r d m− = − = − 24 = 3m− 1m = ± 4 57 19d = 1 1 1 1,B C D C ,M N , ,BM MN ND BMND α ,AC AC BD O 1 1 1 1ABCD A B C D− AC BD⊥ ,DB AC ,x y O 060BAD∠ = ( ) ( ) ( )0, 3,0 , 1,0,0 , 0, 3,0A B C− ( ) ( ) ( )1 11,0,0 , 0, 3,2 , 1,0,2D A B− − ( )1 1,0,2D − 1 3 1 3, ,2 , , ,22 2 2 2E F    − − −          1 3 1 3, ,2 , , ,22 2 2 2AE AF    = = −            ( )1, 3,0AB = ( ), ,n x y z= AEF · 0{ · 0 n AE n AF = =   1 3 2 02 2{ 1 3 2 02 2 x y z x y z + + = − + + = 4 3y =得 , ,∴点 到平面 的距离 ,∴平面 与平面 的距离 20.(1) ; (Ⅱ) . 解:(1)设 的坐标为 , 的坐标为 , 由已知得 ,因为 在圆上, 所以 ,即 的方程为 ; (Ⅱ)过点 且斜率为 的直线方程为 , 设直线与 的交点为 , ,将直线方程 代入 的方程,得: ,整理得 ,所以 , , 所以 . 21.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)见解析. 【详解】 (Ⅰ)由于 PA⊥平面 ABCD,CD 平面 ABCD,则 PA⊥CD,由题意可知 AD⊥CD,且 PA∩AD=A, 由线面垂直的判定定理可得 CD⊥平面 PAD. (Ⅱ)以点 A 为坐标原点,平面 ABCD 内与 AD 垂直的直线为 x 轴,AD,AP 方向为 y 轴,z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系 , ( )0,4 3, 3n = − 57n = B AEF · 12 4 57 1957 AB nh n = = =    AEF α 4 57 19d = 3 3 ⊂ A xyz−易知: ,由 可得点 F 的坐标为 ,由 可得 ,设平面 AEF 的法向量为: ,则 , 据此可得平面 AEF 的一个法向量为: , 很明显平面 AEP 的一个法向量为 , ,二面角 F-AE-P 的平面角为锐角,故二面角 F-AE-P 的 余弦值为 . (Ⅲ)易知 ,由 可得 , 则 ,注意到平面 AEF 的一个法向量为: , 其 且点 A 在平面 AEF 内,故直线 AG 在平面 AEF 内. 22.(1) ;(2)证明见解析. 【详解】 (Ⅰ)由题意得 解得 .所以椭圆 的方程为 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,设 ,则 . 当 时,直线 的方程为 . ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0,0,2 , 2,2,0 , 0,2,0A P C D 1 3PF PC=  2 2 4, ,3 3 3F      1 2PE PD=  ( )0,1,1E ( ), ,m x y z= ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 4, , , , 03 3 3 3 3 3 , , 0,1,1 0 m AF x y z x y z m AE x y z y z     ⋅ = ⋅ = + + =     ⋅ = ⋅ = + = ( )1,1, 1m = − ( )1,0,0n = 1 3cos , 33 1 m nm n m n ⋅< >= = = ××      3 3 ( ) ( )0,0,2 , 2, 1,0P B − 2 3PG PB=  4 2 2, ,3 3 3G −   4 2 2, ,3 3 3AG  = −    ( )1,1, 1m = − 0m AG⋅ =  2 2 14 x y+ =令 ,得 ,从而 . 直线 的方程为 . 令 ,得 ,从而 . 所以 . 当 时, , 所以 . 综上, 为定值.

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