2019~2020 学年第一学期期中考试
高二数学试卷
(时间:120 分钟 总分:100 分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;并将条形码粘贴在指定区域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
3.第Ⅱ卷答案用黑色签字笔填写在试卷指定区域内。
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,其中 1~10 小题为单选题,每小题只有
一个选项符合题意;11~12 为多选题,每小题有两个选项符合题意,选对一个得 3 分,两个
都选对得 5 分,选错或选错一个得 0 分。)
1.直线 的斜率是( )
A. B. C. D.
2.若圆 C 与圆 C′(x+2)2+(y-1)2=1 关于原点对称,则圆 C′的方程是( )
A.(x+1)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=1
3.如图,在三棱锥 中,点 D 是棱 AC 的中点,若 , , ,则
等于( )
A. B.
C. D.
4.直线 是( )
A.过点 的一切直线 B.过点 的一切直线
C.过点 且除 x 轴外的一切直线 D.过点 且除直线 外的一切直线
5.如果存在三个不全为 0 的实数 , , ,使得向量 ,则关于 , ,
叙述正确的是( )
A. , , 两两相互垂直 B. , , 中只有两个向量互相垂直
C. , , 共面 D. , , 中有两个向量互相平行
6.已知点 在平面 内, 是平面 的一个法向量,则下列点 P 中,在
平面 内的是( )
A. B.
C. D.
2 4 3 0x y+ + =
2− 1
2
− 1
2 2
O ABC− OA a= OB b= OC c=
BD
a b c+ − 1 1
2 2a b c− +
a b c− + 1 1
2 2a b c− + −
( )( )1y k x k R= − ∈
( )1,0 ( )1,0−
( )1,0 ( )1,0 1x =
x y z 0xa yb zc+ + = a b c
a b c a b c
a b c a b c
( )2, 1,2A − α ( )3,1,2n = α
α
( )1, 1,1P − 31,3, 2P
31, 3, 2P −
31,3, 2P − − 7.若直线 与直线 平行,则 ( )
A. B.
C. 或 2 D. 或
8.设 是椭圆 长轴的两个端点,若 上存在点 满足 ,则
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.如图所示,正方体 的棱 , 的中点分别为 , ,则直线
与平面 所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
10.已知椭圆的左焦点为 ,有一质点 A 从 处以速度 v 开始沿直线运动,经椭圆内壁反射
(无论经过几次反射速率始终保持不变),若质点第一次回到 时,它所用的最长时间是最短
时间的 7 倍,则椭圆的离心率 e 为( )
A. B. C. D.
11.(多选题)若方程 所表示的曲线为 ,则下面四个命题中错误的是( )
A.若 为椭圆,则
B.若 为双曲线,则 或
C.曲线 可能是圆
D.若 为椭圆,且长轴在 轴上,则
12 .(多 选 题 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 圆 的 方 程 为 . 若 直 线
上存在一点 ,使过 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数 的取值可以是
( )
A. B. C. D.
2y x= ( )2 1 0a a x y a− − + + = a =
1a = − 2a =
1a = − 1a = 2−
,A B
2 2
: 14
x yC k
+ = C P 120APB∠ = k
4(0, ] [12, )3
∪ +∞ 2(0, ] [6, )3
∪ +∞
2(0, ] [12, )3
∪ +∞ 4(0, ] [6, )3
∪ +∞
1 1 1 1ABCD A B C D− AB 1 1A D E F EF
1 1AA D D
5
5
30
6
6
6
2 5
5
1F 1F
1F
2
3
3
4
3
5
5
7
2 2
13 1
x y
t t
+ =− − C
C 1 3t< <
C 3t > 1t <
C
C y 1 2t< <
xOy C 2 2 4 0x y x+ − =
( )1y k x= + P P k
1 2 3 4第Ⅱ卷
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)
13.在平面直角坐标系 中,双曲线 的虚轴的一个端点到一条渐近线的距离
为 。
14.已知圆 与圆 相交,则实数 的取值范围为 。
15.已知双曲线: 的左、右焦点分别为 , ,焦距为 2c,直线
与 双 曲 线 的 一 个 交 点 M 满 足 , 则 双 曲 线 的 离 心 率
为 。
16.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状,最大拱高 为 6 米(如图所示),路面设计是双向
车道,车道总宽为 米,如果限制通行车辆的高度不超过 4.5 米,那么隧道设计的拱宽 至
少应是 米。
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(本小题 10 分)
(1)求与双曲线 有相同焦点,且经过点 的双曲线的标准方程;
(2)已知椭圆 的离心率 ,求 的值。
18.(本小题 12 分)
已知圆 与直线 相交于不同的 两点, 为坐标原
点。
(1)求实数 的取值范围;
(2)若 ,求实数 的值。
19.(本小题 12 分)
底面为菱形的直棱柱 中, 分别为棱 的中点。
(1)在图中作一个平面 ,使得 ,且平面 .(不必给出证明过程,只要求
作出 与直棱柱 的截面)。
(2)若 ,求平面 与平面 的距离 。
xOy
2
2 14
xy − = −
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F
3( )y x c= + 1 2 2 12MF F MF F∠ = ∠
h
8 7 d
2 2
116 4
x y− = ( )3 2,2
2 2( 3) ( 0)x m y m m+ + = > 3
2e = m
2 2 1C x y+ =: : 3 0l x y m− + = A B、 O
m
3AB = m
1 1 1 1ABCD A B C D− E F、 1 1 1 1A B A D、
α BD α⊂ / /AEF α
α 1 1 1 1ABCD A B C D−
0
1 2, 60AB AA BAD= = ∠ = AEF α d20.(本小题 12 分)
如图,设 是圆 上的动点,点 是 在 轴上的射影, 为 上一点,且
。
(Ⅰ)当 在圆上运动时,求点 的轨迹 的方程;
(Ⅱ)求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的长度。
21.(本小题 12 分)
如图,在四棱锥 P–ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E
为 PD 的中点,点 F 在 PC 上,且 。
(Ⅰ)求证:CD⊥平面 PAD;
(Ⅱ)求二面角 F–AE–P 的余弦值;
(Ⅲ)设点 G 在 PB 上,且 .判断直线 AG 是否在平面 AEF 内,说明理由。
1
3
PF
PC
=
2
3
PG
PB
=22.(本小题 12 分)
已知椭圆 : ( )的离心率为 , , , ,
的面积为 1。
(1)求椭圆 的方程;
(2)设 是椭圆 上一点,直线 与 轴交于点 ,直线 与 轴交于点 ,求证:
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 3
2
( ,0)A a (0, )B b (0,0)O
OAB∆
C
P C PA y M PB x N
| | | |AN BM⋅2019~2020 学年第一学期期中考试
BDBDC BBACD AD AB
第Ⅱ卷(非选择题,共×分)
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)
13、 14、 15、 16.32
三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(1) (2)
【详解】
(1)∵双曲线与双曲线 1 有相同焦点,∴设所求双曲线方程为:
1,(﹣4<λ<16),∵双曲线过点( ,2),∴ 1,∴λ=4 或 λ=﹣14.(舍)
∴所求双曲线方程为 .
(2)椭圆方程可化为 1,
因为 m 0,所以 m ,
即 a2=m,b2 ,c ,由 e ,得 ,解得 m
=1,所以 m=1.
18.(1) ;(2) .
试题解析:(1)
解:由 消去 得 ,由已知得,
得 ,得实数 的取值范围是 ;
2 5
5
e 3 1c
a
= = +
2 2
112 8
x y− = 1m =
2 2
16 4
x y− =
2 2
16 4
x y
λ λ− =− +
3 2 18 4
16 4λ λ+ =− +
2 2
112 8
x y− =
2 2
3
x y
mm
m
+ =
+
( )2
3 3
m mm
m m
+− =+ + > 3
m
m +>
3
m
m
= +
( )2 2 2
3
m ma b m
+= − = +
3
2
= 2 3
3 2
m
m
+ =+
( 2,2)− 1m = ±
2 2 1{
3 0
x y
x y m
+ =
− + =
y 2 24 2 3 1 0x mx m+ + − =
2 2(2 3 ) 16( 1) 0m m− − > 2 4 0m − < m ( 2,2)−(2)因为圆心 到直线 的距离为 ,
所以
由已知得 ,解得 .
19.(1)见解析;(2)
试题解析:
(1)如图,取 的中点 ,连接 ,则平面 即为所求
平面 .
(2)如图,连接 交 于 ,∵在直棱柱 中,底面为菱形,
∴ ,∴分别以 为 轴, 为原点建立如图所示空间直角坐标系,
又∵所有棱长为 2, ,∴
, , , ∴
,∴ , ,设
是平面 的一个法向量,则 ,即 ,令
(0,0)C : 3 0l x y m− + =
23 1
m md = =
+
2
2 2 2=2 2 1 44
mAB r d m− = − = −
24 = 3m− 1m = ±
4 57
19d =
1 1 1 1,B C D C ,M N , ,BM MN ND BMND
α
,AC AC BD O 1 1 1 1ABCD A B C D−
AC BD⊥ ,DB AC ,x y O
060BAD∠ = ( ) ( ) ( )0, 3,0 , 1,0,0 , 0, 3,0A B C−
( ) ( ) ( )1 11,0,0 , 0, 3,2 , 1,0,2D A B− − ( )1 1,0,2D −
1 3 1 3, ,2 , , ,22 2 2 2E F
− − −
1 3 1 3, ,2 , , ,22 2 2 2AE AF
= = −
( )1, 3,0AB = ( ), ,n x y z=
AEF · 0{
· 0
n AE
n AF
=
=
1 3 2 02 2{
1 3 2 02 2
x y z
x y z
+ + =
− + + =
4 3y =得 , ,∴点 到平面 的距离
,∴平面 与平面 的距离
20.(1) ; (Ⅱ) .
解:(1)设 的坐标为 , 的坐标为 ,
由已知得 ,因为 在圆上, 所以 ,即 的方程为 ;
(Ⅱ)过点 且斜率为 的直线方程为 ,
设直线与 的交点为 , ,将直线方程 代入 的方程,得:
,整理得 ,所以 , ,
所以 .
21.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)见解析.
【详解】
(Ⅰ)由于 PA⊥平面 ABCD,CD 平面 ABCD,则 PA⊥CD,由题意可知 AD⊥CD,且
PA∩AD=A,
由线面垂直的判定定理可得 CD⊥平面 PAD.
(Ⅱ)以点 A 为坐标原点,平面 ABCD 内与 AD 垂直的直线为 x 轴,AD,AP 方向为 y 轴,z 轴建
立如图所示的空间直角坐标系 ,
( )0,4 3, 3n = − 57n = B AEF · 12 4 57
1957
AB nh n
= = =
AEF α 4 57
19d =
3
3
⊂
A xyz−易知: ,由 可得点 F 的坐标为
,由 可得 ,设平面 AEF 的法向量为: ,则
,
据此可得平面 AEF 的一个法向量为: ,
很明显平面 AEP 的一个法向量为 ,
,二面角 F-AE-P 的平面角为锐角,故二面角 F-AE-P 的
余弦值为 .
(Ⅲ)易知 ,由 可得 ,
则 ,注意到平面 AEF 的一个法向量为: ,
其 且点 A 在平面 AEF 内,故直线 AG 在平面 AEF 内.
22.(1) ;(2)证明见解析.
【详解】
(Ⅰ)由题意得 解得 .所以椭圆 的方程为 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,设 ,则 .
当 时,直线 的方程为 .
( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0,0,2 , 2,2,0 , 0,2,0A P C D 1
3PF PC=
2 2 4, ,3 3 3F
1
2PE PD= ( )0,1,1E ( ), ,m x y z=
( )
( ) ( )
2 2 4 2 2 4, , , , 03 3 3 3 3 3
, , 0,1,1 0
m AF x y z x y z
m AE x y z y z
⋅ = ⋅ = + + =
⋅ = ⋅ = + =
( )1,1, 1m = −
( )1,0,0n =
1 3cos , 33 1
m nm n
m n
⋅< >= = =
××
3
3
( ) ( )0,0,2 , 2, 1,0P B − 2
3PG PB= 4 2 2, ,3 3 3G −
4 2 2, ,3 3 3AG = −
( )1,1, 1m = −
0m AG⋅ =
2
2 14
x y+ =令 ,得 ,从而 .
直线 的方程为 .
令 ,得 ,从而 .
所以
.
当 时, ,
所以 .
综上, 为定值.