高三第三次模拟考试数学文科卷
满分:150 分 时间:120 分钟
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设函数 则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
3．给出命题：若函数 是幂函数，则函数 的图象不过第四象限．在它的
逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．设等比数列 的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则 = （ ）
A．4 B．2 C． D．
5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积
为( )
A. B. C. D.
6. 函数 的最小值和最大值分别为 （ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
7. 下列程序运行结果是 ( )
s=0；
i=1；
j=0；
while s
， ，
， ，
≤ 1
(2)f f
15
16
27
16
− 8
9 18
( )y f x= ( )y f x=
{ }na
2
4
a
S
2
17
2
15
π3 π
3
7 π
3
20 π
( ) cos2 2sinf x x x= +
1− 1 2− 2 2− 3
2 3− 3
2i =i +3；
j=j+1；
end
print(%io(2),j)
A． 4 B．5 C．6 D．7
8．右图是由一个圆，一个三角形和一个长方形组合而成的图形，现用红，蓝两种颜色为其
涂色，则三个图形颜色不全相同的概率为 （ ）
A. B. C. D.
9.已知扇形 的半径为 2，圆心角为 ，点 是弧 的中点， ，则
的值为 （ ）
A．3 B．4 C． D．
10. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：
当 时， ；当 时， 。
则函数 的最大值等于
（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法） ( )
A． B．1 C．6 D．12
11. 数列 （ ）
A． B．— C． 100 D．—100
12．已知抛物线 的焦点为 ，以点 为圆心， 为半径作一圆与抛物线
在 轴上方交于 两点，则 等于 （ ）
A． B．9 C．8 D．7
二、填空题：本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分.
13. ．已知 满足约束条件 则 的最小值为 .
14. 已知数据 的平均数是 3，方差为 4，则数据
的平均数和方差分别是____________。
15．已知数列 的前项 n 和为 ，且满足 ，则 ＝____________。
3
4
3
8
1
4
1
8
OAB 2
3
π
C AB 1
2OD OB= −
CD AB⋅
3− 4−
⊕
a b≥ a b a⊕ = a b< a b b⊕ = 2
[ ]( )f x x x x x( ) ( ) ( )= ⊕ − ⊕ ∈ −1 2 2 2· ，
−1
{ } ( ) ( ) =⊥+=== + 10011 ,,1,,,,1 abanabanaaa nnn 则且的
99
100
99
100
2 2y x= F 9( ,0)2P PF
x ,M N MF NF+
9.5
,x y
5 0,
0,
3,
x y
x y
x
− + ≥
+ ≥
≤
yxz −= 2
54321 ,,,, xxxxx
15,15,15,15,15 54321 −−−−− xxxxx
{ }na nS 32S 2n
n −= +
na16．已知函数 ，( 为常数)，当 时，函数 取得极值，
若函数 只有一个零点，则实数 的取值范围为____________。
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分)
已知函数 。
（Ⅰ）当 时，求 的单调递增区间；
（Ⅱ）当 ，且 时， 的值域是 ，求 的值。
18．(本小题满分 12 分)
如图，已知矩形 ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折起，使 A 移
到 点，且 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在
CD 上．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积．
19．(本小题满分 12 分)
已知函数
（1）若 ， ，求方程 恰有两个不相等的实根
的概率；
（2）若 ， ，求方程 没有实根的概率。
20．(本小题满分 12 分)，
已知函数 。
（1）是否存在实数 ，使得 上为单调减函数,若存在求出 的值,若不存在,
请说明理由.
（ 2 ） 若 函 数 的 图 象 在 处 的 切 线 平 行 于 x 轴 , 对 任 意 的
的取值范围.
3 21( ) 3f x x bx c= − + ,b c 2x = ( )f x
( )f x c
bxxaxf ++= )sin2cos2()( 2
1=a )(xf
0>a [ ]π,0∈x )(xf [ ]4,3 ba,
1A 1A
1BC A D⊥
1A BC ⊥ 1A BD
1C A BD−
2( ) 2f x ax bx a= − + ( , )a b R∈
{ }0,1,2,3a ∈ { }0,1,2,4b∈ ( ) 0f x =
[ ]0,3a ∈ [ ]0,2b∈ ( ) 0f x =
3 2( ) 3f x x ax x b= − + +
a 1( ) ,12f x
在 a
)(xf 1=x
'[1,4], ( ) ( ) (0)x f x f x f∈ >都有 成立, 求
O
A 1
C
BA
D21．(本小题满分 12 分)
已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆，离心率 ，且经过抛物线 的焦
点．若过点 B（2，0）的直线 （斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点 E、F（E 在 B、F 之
间），
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求直线 斜率的取值范围；
（3）若 OBE 与 OBF 面积之比为 ，求 的取值范围．
（请考生在第 22，23，24 题中任选一题做答，若多作，则按所作第 1 题记分，每题 10 分）
22．如图，圆 O 的内接 中，AB=AC，D 是圆 O 上的一点，AD 的延长线交 BC 的延长线
于 P，
（1）求证：AB
（2）若圆 O 的直径为 25，AB=20，AD=10，求 PC 的长
23．以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴。已知点 P 的直角坐标为（1，-5），
点 M 的极坐标为（4， ），若直线 过点 P，且倾斜角为 ，圆 C 以 M 点为圆心，4 为半径
（1）求直线 和圆 C 的极坐标方程；
（2）直线 与 轴 y 轴分别交于 两点， 为圆 C 上一动点，求 面积的最小值。
24．已知关于 x 的不等式 （1）a=1,求此不等式的解集。（2）
若此不等式解集为 R，求实数 a 的取值范围
x 2
2=e yx 42 =
l
l
∆ ∆ λ λ
ABC∆
APAD ⋅=2
2
π
l 4
π
l
l x ,A B Q ABQ∆
)0(,11 >≥−+− aaaxax高三 数学文科卷答案
一、选择题: B A C D B D B A C C D C
二、填空题：13. 14. 14 100 15. 16.
三、解答题:
17．解：（Ⅰ） ，-----2 分
……………………6 分
（Ⅱ）
而 …………8 分
故 --------10 分
………………………12 分
18．（本小题满分 12 分）
证明：（Ⅰ）∵ 在平面 上的射影 在 上，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ∴ ……2 分
又
∴ 平面 ，又 ，∴ …4 分
（Ⅱ）∵ 为矩形 ，∴
由（Ⅰ）知
∴ 平面 ，又 平面
∴ 平面 平面 ……8 分
（Ⅲ）∵ 平面 ，
∴ .…10 分
2
15− ( )
1
5 1
2 ( 2)n
n
n+
=
≥
4( ,0) ( , )3
−∞ ∪ +∞
1)4sin(2sincos1)( +++=+++= bxbxxxf
π
）（，递增区间为 Ζ∈
+−∴ κπκππκπ
424
32
baxabaxxaxf +++=+++= )4sin(2)cos(sin)(
π
[ ]
−∈+∴
∈+∈ 1,2
2)4sin(,4
5,44,,0
πππππ xxx 则
=++−
=++
,3)2
2(2
42
baa
baa
=
−=∴
.3
12
b
a
1A BCD O CD
1AO BCD BC ⊂ BCD 1BC AO⊥
,, 1 OCOOACOBC =⊥
BC ⊥ 1ACD 1 1A D ACD⊂ 平面 1BC A D⊥
ABCD 1 1A D A B⊥
BBCBABCDA =⊥ 11 ,
1A D ⊥ 1A BC 1A D ⊂ 1A BD
1A BC ⊥ 1A BD
1A D ⊥ 1A BC
1 1A D AC⊥
O
A1
C
BA
D∵ ，
∴ ，
∴ . …12 分
19．（1）若 ， ，共有如下 16 种情况：（0，0），（0，1），
(0,2）,(0,4),(1,0),(1,1),(1,2),(1,4),(2,0)(2,1),(2,2),(2,4),(3,0),(3,1),
(3,2),(3,4) ------2 分
方程 恰有两个不相等的实根， ， ，可得 且
满足的有（1，2），（1，4），（2，4），（3，4）共 4 种， ------4 分
所以方程 恰有两个不相等的实根的概率 ------6 分
（2）若 ， ，方程 没有实根 ， ，符合几何概型
所以方程 没有实根的概率 ------12 分
20．（1）使得 上为单调减函数,
则 上恒成立
可得 ， --------2 分
函数 在(0,1)递减，所以当 时 最大值等于 ，所以 ----5 分
（2）函数 的图象在 处的切线平行于 x 轴，
所以 ， 。 --------6 分
因为 所以 ，
即 设 ，
，（1，3）单调递增，
（- ，1），（3，+ ）单调递减；
1 6, 10A D CD= =
1 8AC =
1 1
1 1( 6 8) 6 483 2C A BD D A BCV V− −= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
{ }0,1,2,3a ∈ { }0,1,2,4b∈
( ) 0f x = 0a ≠ 0∆ > 0a ≠ b a>
( ) 0f x = 4 1
16 4P = =
[ ]0,3a ∈ [ ]0,2b∈ ( ) 0f x = 0∆ < b a<
( ) 0f x =
12 3 2 2 22
2 3 3P
× − × ×
= =×
1( ) ,12f x
在
2( ) 3 2 3 0f x x ax′ = − + ≤ 1 ,12
在
23 3 3 1( )2 2
xa xx x
+≥ = +
1x x
+ 1
2x = 1x x
+ 5
2
15
4a ≥
)(xf 1=x
(1) 0 3 2 3f a′ = = − + 3a =
'( ) ( )f x f x> 3 2 23 3 3 6 3x x x b x x− + + > − +
3 26 9 3b x x x> − + − + 3 2( ) 6 9 3g x x x x= − + − + [ ]1,4x ∈
2( ) 3 12 9 3( 1)( 3) 0g x x x x x′ = − + − = − − − =
∞ ∞所以 在 上的最大值为 ，
所以 ， ---------12 分
21、解：（I）设椭圆的方程为 ，则 ①，
∵抛物线 的焦点为（0， 1）， ….2 分 ∴ ②
由①②解得 . ∴椭圆的标准方程为 . ……2 分
(II)如图，由题意知 的斜率存在且不为零，
设 方程为 ①，
将①代入 ，整理，得
， 由 得
---- 6 分
（3）设 、 ，则 ②令 ， 则 ，
由此可得 ， ，且 -------8 分
， .
∴ , 即 ∵ ，
∴ ，解得 又∵ ，
∴ ，∴ OBE 与 OBF 面积之比的取值范围是（ ， 1）.
3 2( ) 6 9 3g x x x x= − + − + [ ]1,4x ∈ (3) 3g =
3b > (0) 3f b= >
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
2
2==
a
ce
yx 42 = 110
2
2
2
2
=+
ba
1,2 22 == ba 12
2
2
=+ yx
l
l )0)(2( ≠−= kxky
12
2
2
=+ yx
0)28(8)12( 2222 =−+⋅−+ kxkxk 0>∆
.2
10 2
微信/支付宝扫码支付