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2017 级高三上学期期中模拟考试
数学试题 2019.11
一、单项选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.若实数 x>y,则( )
A. B. C. D.
3.设 x∈R,则“|x+1|<2”是“lgx<0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知 是不重合的平面, 是不重合的直线,则 的一个充分条件是( )
A. , B. ,
C. , , D. , ,
5. 已知正实数 满足 ,则( )
A. B. C. D.
6.如图 Rt△ABC 中,∠ABC= ,AC=2AB,∠BAC 平分线交△ABC 的外接圆于点 D,设
,则向量 ( )
A. B. C. D.
7.设函数 f(x)= +a,若 f(x)为奇函数,则不等式 f(x)>1
的解集为( )
A.(0,ln3)B.(﹣∞,1n3) C.(0,1) D.(0,2)
=BA
)1,1(−
yx 5.05.0 loglog > x y> xyx >2 yx 22 >数学试题第 2 页 共 13 页
8.已知 的等比中项为 2,则 的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.4
9.已知函数 的图象如图所示,令
,则下列关于函数 的说法中正确的是( )
A. 函数 的最大值为 2
B.函数 图象的对称轴方程为
C. 函数 的图象上存在点 ,使得在 点处的切线与
直线 平行
D. 若函数 的两个不同零点分别为 ,则 的最小值为
10.已知函数 ,若方程 有四个不相等的实根,则实
数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分。在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求的,全部选对的得 4 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分。
11.在给出的下列命题中,正确的是( )
A. 设 是同一平面上的四个点,若 ,
则点 必共线
B.若向量 是平面 上的两个向量,则平面 上的任一向量 都可以表示为
,且表示方法是唯一的
0, 0, ,a b a b> > 1 1a bb a
+ + +
2
)2,0,0)(sin()( πϕωϕω >+= AxAxf
O A B C、 、 、 (1 ) ( R)OA m OB m OC m= ⋅ + − ⋅ ∈
A B C、 、
a b 和 α α c
( R)c a bλ µ µ λ= + ∈ 、数学试题第 3 页 共 13 页
C.已知平面向量 满足 则
为等腰三角形
D.已知平面向量 满足 ,且 ,
则 是等边三角形
12、已知函数 f (x) 的定义域为[ −1,5 ],部分对应值如下表:
x −1 0 4 5
f (x) 1 2 2 1
f (x) 的导函数y =f ′(x)的图象如图所示,关于 f(x)的命题正确
的是( )
A.函数 f(x)是周期函数
B.函数 f(x)在[0,2]上是减函数
C.函数 y =f (x) −a 的零点个数可能为 0,1,2,3,4
D.当 1 | =| 0OA OB OC+ + =
ABC∆数学试题第 4 页 共 13 页
15.已知向量 , ,若 与 的夹角是锐角,则实数 的取值范围为
______.
16 . 已 知 数 列 中 , , 若 对 于 任 意 的
,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为
17 . 在 中 , 角 的 对 边 分 别 为 , 且 面 积 为
,则角 B= , 面积 的最大值为_____.
四. 解答题(本大题共 6 小题,第 18 题 10 分,第 19-21 题 14 分,第 22-23 题 15 分,共 82 分)
18. (10 分)已知数列 中, ,且 成等比数列,
(I)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)若数列 满足 ,求数列 的前 2n 项和为 .
19.(14 分)设函数 ,其中 .已知
.
(1)求 和 的周期.
(2)将函数 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变),再将得
到的图象向左平移 个单位,得到函数 的图象,求 在 上的最值.
( )4,2a = ( ),1b λ= λ
{ }na
[ ] *2,2 ,a n N∈ − ∈ 21 2 11
na t atn
+ < + −+ t
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2b = ABC∆
( )2 2 23
12S b a c= − − ABC△ S
π π( ) sin( ) cos( )3 2f x x xω ω= − + − 0 3ω< <
π( ) 03f =
ω ( )y f x=
( )y f x= 1
4
π
4
( )y g x= ( )g x π π[ , ]3 6
−
a b
1)1(,2 11 ++== + nn annaa
nab n
nn
1)1( +−+= nT2数学试题第 5 页 共 13 页
20.(14 分)如图,某公园有三条观光大道 AB,BC,AC 围成直角三角形,其中直角边 BC
=200 m,斜边 AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB,BC,AC 大道上嬉
戏,
(1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走,乙比甲迟 2 分钟
出发,当乙出发 1 分钟后到达 E,甲到达 D,求此时甲、乙两人之间的距离;
(2) 甲、乙、丙所在位置分别记为点 D,E,F.设∠CEF=θ,乙、丙之间的距离是甲、乙
之间距离的 2 倍,且∠DEF=π
3
,请将甲、乙之间的距离 y 表示为 θ 的函数,并求甲、乙
之间的最小距离.
21.(14 分)如图,在四棱锥 中, 为矩形, 是以 为直角的
等腰直角三角形,平面 ⊥平面 .
(1)证明:平面 ⊥平面 ;
(2) 为直线 的中点,且 ,求二面角 的余弦值.
P ABCD− ABCD APB∆ P∠
PAB ABCD
PAD PBC
M PC 2AP AD= = A MD B− −数学试题第 6 页 共 13 页
22. (15 分) 已知函数 。
(Ⅰ)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直,求 的值;
(Ⅱ)求函数 的单调区间;
(Ⅲ)当 时且 时,证明: 。
23.(15 分)设函数 f(x)=mx-ex+3(m∈R)
(1)讨论函数 f(x)的极值;
(2)若 a 为整数,m=0,且 ,不等式(x-a)[f(x)-2]<x+2 成立,求整
数 a 的最大值。
)(1ln)( Raxxaxf ∈−=
)(xfy = ))1(,1( f 02 =+ yx a
)(xf
1=a 2≥x 52)1( −≤− xxf
(0,x∀ ∈ +∞)数学试题第 7 页 共 13 页
2017 级高三上学期期中模拟考试
数学试题答案 2019.11
一、 单项选择题: 1-5. DDBCA 6-10. CACDD
二、多项选择题: 11.ACD 12.BC 13.ABC
三.填空题
14. 9 15. 16. 17. ,
16.【详解】
即
由累加法可得:
即
对于任意的 ,不等式 恒成立
即
令
可得 且
即
可得 或
( ] [ ), 2 2,−∞ − ∪ +∞ 4 2 3−
( )1 1 1 1
1 1 1
n na a
n n n n n n
+ − = = −+ + +
1 1 1 2 1
11 1 1 2 1
n n n n na a a a a a a an n n n n
+ + − = − + − + + − + + + −
1 1 1 1 1 1 11 2 3 31 1 1 2 1
na
n n n n n n
+ = − + − + + − + = −