2019~2020 学年度第一学期期中七校联考
高三数学参考答案
一、选择题:共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.
1—5 C D C A C 6—9 D B B D
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
10. 012 =+− yx 11.31 12. ( 8, 6]−−
13.
160 5
3
14.3 15. 54,63
三、解答题:本大题共 5 个小题,共 75 分.
16.(本小题满分 14 分)
解:(Ⅰ)由已知,有 f(x)=cos x·( 1
2sin x+ 3
2 cos x)- 3cos2x+ 3
4
=1
2sin x·cos x- 3
2 cos2x+ 3
4 =1
4sin 2x- 3
4 (1+cos 2x)+ 3
4 =1
4sin 2x- 3
4 cos 2x
=1
2sin(2x-π
3). ……………………………………………4 分[来
最小正周期为 =T ,对称中心为 )0,62
+k( Zk …………………7 分[
(Ⅱ) )62sin(2
1)( += xxg …… ……………………8 分[
)(xg 在区间 ]6,6[ − 上单调递增,在区间 ]3,6[ 上单调递减 .………10 分[
2
1)6()( max == gxg ………………………11 分
4
1)6( −=− g < 4
1)3( =g …………………………13 分
4
1)( min −=xg …………………………14 分[
17.(本小题满分 14 分)
解:(Ⅰ)在 ABD 中, ,sinsin,30 ADB
AB
ABD
ADABD == ;
2
2
2
1
2
6
AB= ;3= AB ………………………………………4 分
在 ABC 中, ;cos2222 ABCBCABBCABAC −+=
223 3 2 2 3 2cos ,ABC = + − .6
3cos −= ABC ……………………7 分
(Ⅱ)由⑴知 ),,2(,6
3cos −=
6
33cos1sin 2 =−= ………………………8 分
6
52cos,6
112sin −=−= ………………………11 分
.12
1135
3sin2cos3cos2sin)32sin( −=−=− ……………………14 分
18.(本小题满分 15 分)
解:(Ⅰ)在线段 PD 上取一点 N ,使得 =DP
PN ,
PC
PM
P
PN == D DCMN // 且 DCMN
1=
=AB
AE ABAE
1= , DCAB // 且 DCAB =
MNAE // 且 MNAE = 四边形 AEMN 为平行四边形
ANME //
又 AN 平面 PFD , ME 平面 PFD //ME 平面 ………4 分
(Ⅱ)以 A 为坐标原点,分别以 APABAF ,, 为 zyx ,, 轴建立空间直角坐标系
)0,0,0(A , )1,0,0(P , )0,2,0(B , )0,2,1(−C , )0,0,1(−D
2
1= )0,1,0(E ,
)0,0,1(F
设平面 PEA 的一个法向量为 ),,( zyxn = )1,1,0( −=PE , )1,0,0(=AP
==
=−=
0
0
zAPn
zyPEn ,令 1=z , 1=y )1,1,0(=m
设平面 PEF 的一个法向量为 ),,( zyxm =
, )1,0,1( −=PF
=−=
=−=
0
0
zxPFm
zyPEm ,
令 , 1,1 == yx )1,1,1(=m
3
3
32
11
||||
,cos =
+=
=
nm
nmnm ,
3
6,cos1,sin 2 =−= nmnm
二面角 A PE F−−的正弦值为
3
6 .………………………10 分
(III)令 )0,,0( hE , 20 h , )1,,0( −= hPE
设平面 PEA 的一个法向量为 ),,(1 zyxn =
)1,2,0( −=PB , )0,0,1(−=BC
=−=
=−=
0
02
1
1
xPBn
zyPBn ,令 1=y ,
1=z )2,1,0(1 =n
由题意可得:
5
5
51
|2|
||||
|||,cos| 2
1
1
1 =
+
−=
=
h
h
nPE
nPEnPE
4
3=h
4
3=AE , 3
8
AE
AB == ………………………15 分
19.(本小题满分 16 分)
解:(Ⅰ)设数列{}na 的公比为 q ,数列{}nb 的公差为 d ,由题意, 0q ,
由已知有
2
4
2 3 2
3 10
qd
qd
−= −=
,消去 d 整理得: 422 8 0qq− − = .
∵ 0q ,解得 2q = ,∴ 2d = ,
∴数列 的通项公式为 12n
na −= , *nN ;
数列{}nb 的通项公式为 21nbn=−, *nN .……………………4 分 (Ⅱ)∵
2
1
n n
n
c bn
=
为奇数
为偶数 ,
∴ 1 1 2 2a c a c++… nnca 22+ =( )() 224121231 nnn bababaaaa ++++++ −
令 =nA 1231 −++ naaa = 2220 222 −+++ n = =−
−
41
41 n
3
14 −n
令 nnn bababaB 22412 +++= )4)1243412
1 2 nn −+++= ((
令 =nT nn 4)124341 2 −+++ (
=nT4 13 4)12(4)32(41 +−+−++ nn nn
∴ =− nT3 132 4)12()444(24 +−−++++ nn n
1
2
4)12(41
44424 +−−−
−+= n
n
n
143
)56(
3
20 +−−−= nn
∴ =nT 149
)56(
9
20 +−+ nn
∴ … = n
nnnn
nTABA 49
)712(
9
7
2
1 −+=+=+ ……10
分
(III)对任意正整数 n,不等式 32 +na ≤ )11)(11(
21 bb ++ … )11(
nb+ 成立
即 a≤ )11)(11(
32
1
21 bbn
++
+
… 对任意正整数 n 成立
记 )11)(11(
32
1)(
21 bbn
nf ++
+
= …
则 1
15164
16164
32
42
52
32)11(
52
32
)(
)1(
2
2
1
++
++=+
+
+
+=+
+
+=+
+ nn
nn
n
n
n
n
bn
n
nf
nf
n
∴ )()1( nfnf + ,即 f (n)递增
故 15
54)1()]([ min == fnf ,∴0<a≤ 15
54 . ………………………16 分 20.(本小题满分 16 分)
解:(Ⅰ) .
又 ,因此 ,而 ,
所以 ,故 在 单调递增. ………………………4 分
(Ⅱ)由题意知,
,设 ,则 ,
由于 ,故 ,
时, 单调递增,又 , ,
因此 在 存在唯一零点 ,使 ,即 ,
且当 , , , 单调递减;
, , , 单调递增;
故 ,
故 ,
设
,又设
故 在 上单调递增,因此 ,即 , 在 单
调递增,
,又 ,所以 ,
故所求 的最小值为 . ………………………10 分
(III)由(I)可知 1=a 时, 0)1()( = GxG ,即:
xx 1ln)1sin( −
设 2)1(
11 kx +=− ,则 22 )1(
)2(
)1(
11 k
kk
kx +
+=+−= 因此
1
2ln1ln)2(
)1(ln)1(
1sin
2
2 +
+−+=+
++ k
k
k
k
kk
k
k
即 222 )1
1sin3
1sin2
1sin ++++ n( 1
2ln1ln4
3ln3
2ln2
3ln1
2ln +
+−+++−+− n
n
n
n
2ln1
2ln2ln +
+−= n
n ………………………16 分