长泰一中 2019/2020 学年第一学期期中考试
高三理科数学试题
(考试时间：120分钟 总分：150分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
1. 已知集合 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
2.设 ，则“ ”是“ ”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数 的零点之和为（ ）
4.下列说法中不正确的个数是( )
①“ ”是“ ”的必要不充分条件；
②命题“ ”的否定是“ ”；
③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5.设 ，则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为
难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：
有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的
一半，走了 6 天后到达目的地，问此人前三天共走了（ ）
A.48 里 B.189 里 C.288 里 D.336 里
7.母线长为 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ，则该圆锥的体积为 ( )
A． B． C． D．
8.已知 ，点 为斜边 的中点， ， ， ，则 等
于( )
A. B. C. D.
9.函数 的图象可能是（ ）
{ | lg(2 )}A x y x= = − 2{ | 3 0}B x x x= − ≤ A B =
{ | 0 2}x x< < { | 0 2}x x≤ <
{ | 2 3}x x< < { | 2 3}x x< ≤
,a b R∈ ( ) 2 0a b a− < a b<
≤+
>−=
0,6log
0,23)(
3 xx
xxf
x
.A 2 .B 1 .C 2− .D 1−
1x = 2 3 2 0x x− + =
,cos 1x R x∀ ∈ ≤ 0 0,cos 1x R x∃ ∈ ≥
0.1
3 23 , log 2, log 3a b c= = = , ,a b c
a b c< < a c b< < b c a< < c b a< <
5 8
5
π
16π 8π 16
3
π 8
3
π
Rt ABC∆ D BC 6 3AB = 6AC = 1
2AE ED= AE EB⋅
14− 9− 9 14
3 sin 2xy x=
A. B. C. D.
10. 已知曲线 过定点 ，若 且 ，则
的最小值为（ ）
A. 9 B. C. 5 D.
11．已知三棱锥 的底面是边长为 3 的正三角形， 底面 ，且 ，则
该三棱锥的外接球的体积是( )
A． B． C． D．
12.将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若函数
在区间 和 上均为单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知 ， ，则 .
14．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则
15.设函数 ，则不等式 的解集为
16. 如图，在长方体 中，
以下命题中，正确的序号是___________.
① ；
② ；
③三棱锥 体积为定值 ；
1 1( 0 1)xy a a a−= + > ≠且 ),bk（ bnm =+ 0,0 >> nm
4 1
m n
+
2
9
2
5
P ABC− PA ⊥ ABC 2PA =
48π 32
3
π 18 3π 8 3π
( ) 2cos2f x x=
6
π ( )g x ( )g x
0, 3
a
72 , 6a
π
a
,3 2
π π
,6 2
π π
,6 3
π π
3,4 8
π π
,2
πα π ∈
3sin 5
α = tan( )4
πα + =
{ }na n nS 1
1 23 3n
na a a n−+ +…+ = 4S =
]1,1[,cos2)( 2 −∈+= xxxxf )2()1( xfxf >−
1 1 1 1ABCD ABC D− ,,2 1 OBDACBBBCAB ===
则（含端点）上一动点，是 CBE 1
DCAOE 11// 平面
°4511 所成角最小为与平面 BBCCOE
BDEA −1④ 。
三．解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）
17.（本小题满分 12 分）
已知数列 中，点 在直线 上，且首项 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）数列 的前 项和为 ，等比数列 中， ， ，
数列 的前 项和为 ，请写出适合条件 的所有 的值.
18. （本小题满分 12 分）
设锐角 中，角 的对边分别为 ，且 是 与
的等差中项.
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 面积的最大值.
19．（本小题满分 12 分）
如图，函数 的图
象与 轴相交于点 ，且该函数的最小正周期为 ．
（Ⅰ）求 和 的值；
（ Ⅱ ） 已 知 点 ， 点 是 该 函 数 图 象 上 一 点 ， 点
是 的中点，当 ， 时，求 的值．
20. （本小题满分 12 分）
如图，空间几何体 中， 、 、 均是边长为 的等边三角
形，平面 平面 ，且平面 ⊥平面
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
21.（本小题满分 12 分）
设函数 。
{ }na ),( 1+nn aa 2+= xy
}{ na
}{ na n nS }{ nb 11 ab = 22 ab =
}{ nb n nT nn ST ≤ n
ABC∆
π2cos( )( 0 0 )2y x x >ω θ ω θ= + ∈R， ，≤ ≤
y (0 3)， π
θ ω
π 02A
， P
0 0( )Q x y， PA 0
3
2y = 0
π π2x ∈ ， 0x
°9011 所成的最大角为与 CAOE
1 1a =
ABC∆ A B C、 、 a b c、 、
2
b 2 sin cosa A C sin2c A
A
2a =
ABCDE ABC△ ACD△ EBC△ 2
⊥ACD ABC EBC ABC ., 中点为ABH
BCEDH 平面//
BACE −−
( ) ( 1) ( )xf x ax e a R−= + ∈
y
x
3
O
P
A（Ⅰ）当 a
> 0 时，求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）对任意 x
∈ [0, +
∞)，
≤x
+ 1 恒成立，求实数 a
的取值范围。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的
第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑。
22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .
（1）若 ，求直线 以及曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 、 两点，且 ，求直线 的斜率．
23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 时， 恒成立，求 的取值范围.
高三理科数学试题参考答案
(考试时间：120分钟 总分：150分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
1. 已知集合 ， ，则 ( B )
（A） （B）
（C） （D）
2.设 ，则“ ”是“ ”的 ( A )
( )f x
( )f x
xOy l cos
sin
x t
y t
α
α
=
=
t O
x C 2 2cos 2 sin 1ρ θ ρ θ− =
3
π=α l C
l C M N 6MN = l
( ) | | | 2 |f x x a x= + + −
1a > ( ) 2f x ≥
]2,1[∈x ( ) 4f x x+ ≤ a
{ | lg(2 )}A x y x= = − 2{ | 3 0}B x x x= − ≤ A B =
{ | 0 2}x x< < { | 0 2}x x≤ <
{ | 2 3}x x< < { | 2 3}x x< ≤
,a b R∈ ( ) 2 0a b a− < a b−=
0,6log
0,23)(
3 xx
xxf
x
.A 2 .B 1 .C 2− .D 1−
0.1
3 23 , log 2, log 3a b c= = = , ,a b c
a b c< < a c b< < b c a< < c b a< <
1x = 2 3 2 0x x− + =
,cos 1x R x∀ ∈ ≤ 0 0,cos 1x R x∃ ∈ ≥
5 8
5
π
16π 8π 16
3
π 8
3
π
Rt ABC∆ D BC 6 3AB = 6AC = 1
2AE ED=
AE EB⋅
14− 9− 9 14
3 sin 2xy x=
1 1( 0 1)xy a a a−= + > ≠且 ),bk（ bnm =+ 0,0 >> nm
4 1
m n
+
2
9
2
511．已知三棱锥 的底面是边长为 3 的正三角形， 底面 ，且 ，则
该三棱锥的外接球的体积是( C )
A． B． C． D．
12.将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若函数
在区间 和 上均为单调递增，则实数 的取值范围是( A )
A. B. C. D.
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13 已知 ， ，则 1/7 .
14．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 40/27
14． 【解析】解： ，可得 时， ，
时， ，又 ，
两式相减可得 ，即 ，上式对 也成立，
可得数列 是首项为 1，公比为 的等比数列，可得 ．
15.设函数 ，则不等式 的解集为
16. 如图，在长方体 中，
①
②
③三棱锥 体积为定值
④ 上述命题中，正确的序号是__①③④_________.
16.【解析】①由平面 ，且 ，可证.②取 中点 ,易
P ABC− PA ⊥ ABC 2PA =
48π 18 3π 32
3
π 8 3π
( ) 2cos2f x x=
6
π ( )g x ( )g x
0, 3
a
72 , 6a
π
a
,3 2
π π
,6 2
π π
,6 3
π π
3,4 8
π π
,2
πα π ∈
3sin 5
α = tan( )4
πα + =
{ }na n nS 1
1 23 3n
na a a n−+ +…+ = 4S =
40
27
1
1 23 3n
na a a n−+ + + = 1n = 1 1a =
2n ≥ 2
1 2 13 3 1n
na a a n−
−+ +…+ = − 1
1 23 3n
na a a n−+ +…+ =
13 1n
na− = 11
3
n
na
− =
1n =
{ }na 1
3
4
4
11 40
1 271
3
3
S
−
= =
−
]1,1[,cos2)( 2 −∈+= xxxxf )2()1( xfxf >− )3
1,0[
1 1 1 1ABCD ABC D− ,,2 1 OBDACBBBCAB ===
则（含端点）上一动点，是 CBE 1
DCAOE 11// 平面
°4511 所成角最小为与平面 BBCCOE
BDEA −1
°9011 所成的最大角为与 CAOE
DCACAB 111 // 平面 CABOE 1平面⊂ BC 1O知 为所找的线面角， 为定长，则当 最长时，线面角最小，当 与 重合时
线面角最小，小于 .③三棱锥顶点换为 ，底面大小确定，又因为 ，所
以点 到底面的距离不变，命题正确.④因为 ,所以异面直线所成角与 相等
或互补（取锐角或直角），当 与 重合时，此时 命题正确.
四．解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）
17.（本小题满分 12 分）
已知数列 中，点 在直线 上，且首项 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）数列 的前 项和为 ，等比数列 中， ， ，
数列 的前 项和为 ，请写出适合条件 的所有 的值.
17. 解:（I）根据已知 ， 即 ， ……2 分
所以数列 是一个等差数列， ………4 分
（II）数列 的前 项和 ……………6 分
等比数列 中， ， ，所以 ， ……8 分
数列 的前 项和 ……10 分
即 ，又 ，所以 或 2 …12 分
18. （本小题满分 12 分）
设锐角 中，角 的对边分别为 ，且 是 与
的等差中项.（Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）若 ，求 面积的最大值.
， .
{ }na ),( 1+nn aa 2+= xy
}{ na
}{ na n nS }{ nb 11 ab = 22 ab =
}{ nb n nT nn ST ≤ n
11 =a 21 +=+ nn aa daa nn ==−+ 21
}{ na 12)1(1 −=−+= ndnaan
}{ na n 2nSn =
}{ nb 111 == ab 322 == ab 3=q 13 −= n
nb
}{ nb n
2
13
31
31 −=−
−=
nn
nT
nn ST ≤ 2
2
13 n
n
≤− *Nn ∈ 1=n
ABC∆
1OEO∠ 1OO EO1 E 1B
°45 E BDACB 11 // 平面
E 11// CAAC EOC∠
E 1B °=∠ 901OCB
1 1a =
ABC∆ A B C、 、 a b c、 、
2
b 2 sin cosa A C sin 2c A
A 2a =
( )0,B π∈ sin 0B ≠∴.又 为锐角， .
（Ⅱ） ，
，当且仅当 时，取等号.
的面积 .
即 面积的最大值为 （当且仅当 时，等号成立）.
20．（本小题满分 12 分）
如图，函数 的图象与 轴相交于点 ，
且该函数的最小正周期为 ．（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）已知点 ，点 是该函数图象上一点，点 是 的中
点，
当 ， 时，求 的值．
解：（1）将 ， 代入函数 得 ，
因 为 ， 所 以 ． 又 因 为 该 函 数 的 最 小 正 周 期 为 ， 所 以 ， 因 此
．
（ 2 ） 因 为 点 ， 是 的 中 点 ， ， 所 以 点 的 坐 标 为
．
又因为点 在 的图象上，所以 ．
因为 ，所以 ，
从而得 或 ．即 或 ．
21. （本小题满分 12 分）
如图，空间几何体 中， 、 、 均是边长为
的 等 边 三 角 形 ， 平 面 平 面 ， 且 平 面 ⊥ 平 面
6 2b c= = +
π2cos( )( 0 0 )2y x x >ω θ ω θ= + ∈R， ，≤ ≤ y (0 3)，
π θ ω
π 02A
， P 0 0( )Q x y， PA
0
3
2y = 0
π π2x ∈ ， 0x
0x = 3y = 2cos( )y xω θ= + 3cos 2
θ =
0 2
θ π≤ ≤
6
θ π= π 2ω =
2cos 2 6y x
π = +
02A
π
， 0 0( )Q x y， PA 0
3
2y = P
02 32x
π − ，
P 2cos 2 6y x
π = + 0
5 3cos 4 6 2x
π − =
02 x
π π≤ ≤ 0
7 5 1946 6 6x
π π π−≤ ≤
0
5 114 6 6x
π π− = 0
5 134 6 6x
π π− = 0
2
3x
π= 0
3
4x
π=
1sin 2A =∴ A 6A
π=∴
2 2 2 2 22 cos 3 2 3a b c b A b c bc bc bc= + − = + − ≥ −
( )4 4 2 3
2 3
b c ≤ = +
−∴ 6 2b c= = +
ABC∆∴ ( )1 1 1sin 4 2 3 2 32 2 2S bc A= ≤ × + × = +
ABC∆ 2 3+
ABCDE ABC△ ACD△ EBC△
2 ⊥ACD ABC EBC ABC
., 中点为ABH
y
x
3
O
P
A（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
20.【解析】（1）
法 1：分别取 中点 ，连接 , ……1 分
由面 面 且交于 ， 平面 ， 有 面
由面 面 且交于 ， 平面 ， 有 面
所以 ,……2 分
，所以 ， ……3 分
由 有 ， ……4 分
，所以 ， ……5 分
,所以面 面 ……6 分 所以
法 2：由 ,可得 为平行四边形，所以 .
（2）法 1：以点 为原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立如图所示空间
直角坐标系 ……7 分
由 面 ，所以面 的法向量可取 ……8 分
点 ,点 ,点 ，
, ，……9 分
设面 的法向量 ，所以 ，取 ……10 分
设二面角 的平面角为 ，据判断其为锐角. ……12 分
法 2：过 点作 垂线，垂足为 ，连接 .……7 分
BCEDH 平面//
BACE −−
BCAC, QP, PQEQDP ,, DHPH,
⊥ACD ABC AC ⊂DP ACD ACDP ⊥ ⊥DP ABC
⊥BCE ABC BC ⊂EQ BCE BCEQ ⊥ ⊥EQ ABC
DPEQ //
/ /DP EQ
EQ EBC
DP EBC
⊂
⊄
面
面
/ /DP EBC面
HBAHPCAP == , BCPH //
/ /PH BC
BC EBC
PH EBC
⊂
⊄
面
面
/ /PH EBC面
/ /
/ /
DP EBC
PH EBC
DP PH P
=
面
面 //BCE DPH BCEDH 平面//
HBPQDE //// EDHB EBDH //
P PA x PB y PD z
⊥EQ ABC ABC (0,0,1)=n
)0,0,1(A )0,0,1(−C )3,2
3,2
1(−E
)0,0,2(−=AC )3,2
3,2
3(−=AE
EAC ( , , )x y z=m
=++−
=−
032
3
2
3
02
zyx
x (0,2, 1)= −m
BACE −− θ 1 5cos | | | || || | 51 5
θ ⋅ −= = =
×
m n
m n
Q AC F EF由（1）问可知 又因为 ，所以 ，则有 .9 分
所以 为二面角 的平面角.……10 分
由 题 可 知 ， 所 以 , 则 … …11 分 所 以 ，
……12 分
21.（本小题满分 12 分）
设函数
（Ⅰ）当 a > 0 时，求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）对任意 x∈ [0, +
∞)，
≤x + 1 恒成立，求
实数 a 的取值范围．
21．【解析】：（1）
由 ，令 得： ，
所以当 时，单调递增区间是 ；...........................4 分
（2）令 ，则 成立等价于 ，
①若 ，当 ，则 ，
而 ，即 恒成立；...............................6 分
②若 时，则 ，
当 ，由 是减函数， ，
,ACEQ⊥ ACQP⊥ EFQAC 平面⊥ EFAC ⊥
EFQ∠ BACE −−
BPQF 2
1// 2
3=QF 2
15=EF
5
5
2
15
2
3
cos ===∠
EF
QFEFQ
( ) ( 1) ( )xf x ax e a R−= + ∈
( )f x
( )f x
1( ) ( 1) ( )..........................................2x x af x ae ax e xa
− − −′ = − + − 分
0, 0xe a− > > ( ) 0f x′ > 1 ................................................................3ax a
−< 分
0a > 1, a
a
− −∞
( ) ( )1 1xh x ax e x−= + − − ( ) 1f x x≤ + ( ) 0h x ≤
0a ≤ 0x ≥ ( )1 1,0 1 1xax e f x−+ ≤ < ≤ ⇒ ≤
1 1x + ≥ ( ) 1f x x≤ +
0 2a< ≤ ( ) ( )1 1xh x e a ax−′ = − − −
0x ≥ ( ) 1t x a ax= − − ( )
max
1 1t x a = − ≤ 又 ，所以 在 上是减函数，
此时当 ，
③若 时， ， ，
所以 在 有零点................................9 分
在区间 ，设 ，
所以 在 上是减函数.............................10 分
即 在 有唯一零点 ，且在 上， ，
在 为增函数，即 在 上 ，所以 ，不合题意，11 分
综上可得，符合题意的 的取值范围是
22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为
极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
（1）若 ，求直线 以及曲线 的直角坐标方程：
（2）若直线 与曲线 交于 、 两点，且 ，求直线 的斜率．
23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知函数 .（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 时， 恒成立，求 的取值范围.
22．解：（1）由题意，直线 ，可得直线 是过原点的直线，
故直线 的直角坐标方程为 ， ……………………2 分
又 ，由 ……………………3 分
故曲线 的直角坐标方程为 ； ……………………5 分
（2）由题意，直线 l 的极坐标为 ， ……………………6 分
设 、 对应的极径分别为 ， 将 代入曲线 的极坐标可得：
，故 ， ，
所以 ， ……………………8 分
1xe− ≤ ( ) ( )0,h x h x′ < [ )0,+∞
0x ≥ ( ) ( )0 0..........................................................................8h x h≤ = 分
2a > ( ) ( )00 1 ·0 1 2 0h e a a a−′ = − − − = − > ( ) ( )1 11 1 1 1 0h e a a e− −= − −′ − =− − <
( ) 0h x′ = ( )0,1
( )0,1x∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 0x xg x h x g x e ax a e a− −′= ⇒ = + − < −
( )00, x ( )h x ( )00, x ( ) ( )0 0h x h> = ( ) 1f x x> +
a ( ],2...................................................................12−∞ 分
xOy l cos
sin
x t
y t
α
α
=
=
t O
x C 2 2cos 2 sin 1ρ θ ρ θ− =
π
3
α = l C
l C M N 6MN = l
( ) | | | 2 |f x x a x= + + − 1a > ( ) 2f x ≥
[1,2]x∈ ( ) 4f x x+ ≤ a
1
2:
3
2
x t
l
y t
=
=
l
l 3y x=
2 2cos 2 sin 1ρ θ ρ θ− = θρθρ sin,cos == yx
C 2 2 1x y= +
( )Rθ α ρ= ∈
M N 1
ρ 2
ρ ( )Rθ α ρ= ∈ C
2 2cos 2 sin 1ρ ρα α− =
1 2 2
2sin
cos
αρ ρ α+ = 1 2 2
1
cos
ρ ρ α= −
1 2MN ρ ρ= − = ( )2
1 2 1 2 2
24 cos
ρ ρ ρ ρ α+ − =故 ，则 ，即 ， ，
所以 故直线 的斜率是 ． ……………………10 分
法二：由题意，直线 方程为 ，设 、 对应的点坐标为 …6 分
联立直线 与曲线 的方程 ，消去 得 . …………7 分
…………8 分
……………9 分
所以 ，故直线 的斜率是 . …………10 分
23．解：（1） 即 ＋ ,
因为 ＋ ,
所以 …………2 分
又 ，所以 ………3 分
所以不等式 的解集为 . ……5 分
（2）因为 ，所以 …………6 分
则 恒成立等价于 恒成立， ……7 分
即 恒成立 ………………8 分
由 可得 ， ………9 分
所以 ……………10 分
2
2 6cos α = 2 1cos 3
α = 2 2 2sin 1 cos 3
α α= − =
2
2
2
sintan 2cos
αα α= =
tan 2k α= = ± l 2±
l kxy = M N ),(),( 2211 yxyx 、
l C
+=
=
122 yx
kxy y 0122 =−− kxx
1,2 2121 −==+ xxkxx
6)1(24)(11 2
21
2
21
2
21
2 =+=−+⋅+=−+= kxxxxkxxkMN
2±=k l 2±
( ) 2f x ≥ x a+ 2x − 2≥
x a+ 2x − ≥ ( )2x a x+ − − = 2a +
( )f x x a= + + 2x − ≥ 2a +
1a > 2 3a + >
( ) 2f x ≥ R
[ ]1,2x ∈ ( ) 2f x x a x= + + −
( ) 4f x x+ ≤ 2x a+ ≤
2 2x a x− − ≤ ≤ −
[ ]1,2x ∈ [ ]2 4, 3x− − ∈ − − [ ]2 0,1x− ∈
3 0a− ≤ ≤
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