长泰一中高三上文科数学期中考试卷
（考试时间：120 分钟 总分 150 分）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每题仅有一个选项是正确的.
1.设全集 则图
中阴影部分表示的集合为 （ ）
A. B. C. D.
2.设数列 的前 n 项和 ，则 的值为（ ）
A． 15 B． 16 C ．49 D．64
3. 向量 ， ， ， ，，且 ，则实数 x 的值等于
（ ）
A． B． C． D．
4.“ ”是“ ”的 ( )
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 在 中，角 所对的边分别为 ， ，则
的值是 （ ）
A． B． C． D．
6. 定义运算 ，则函数 的图像大致为 （ ）
A． B． C． D．
7.若函数 的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为
π
2 ，直线
x＝
π
3 是其图象的一条对称轴，则它的一个解析式是 ( )
A．y＝4sin(4x＋
π
6 ) B．y＝2sin(2x＋
π
3 )＋2
{ }na 2
nS n= 8a
>
≤=⊗
)(
)(
bab
baaba xxf 21)( ⊗=
{ } { }, | ( 3) 0 , | 1 ,U R A x x x B x x= = + < = < −
( 1,0)− ( 3, 1)− − [ 1,0)− ( , 1)−∞ −
(1 2)a
→
= ， ( 1)b x
→
= ， 2c a b
→ → →
= + 2d a b
→ → →
= − //c d
→ →
2
1−
6
1−
6
1
2
1
2
3
πθ = tan 2cos 2
πθ θ = +
ABC∆ CBA ，， cba ，， CaAcAb coscoscos3 +=
Atan
22− 2− 22 2
sin( )y A x mω ϕ= + +C．y＝2sin(4x＋
π
3 )＋2 D．y＝2sin(4x＋
π
6 )＋2
8.若 x，y∈R＋，且 2x＋8y－xy＝0，则 x＋y 的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
9.已知函数 ,若实数 是方程 的解,且 ,则 的
值为( )
A.不小于 0 B.恒为正值 C.恒为负值 D.不大于 0
10. 下列图象中，有一个是函数 的导函数
的图象，则 ( )
A. B. C. D. 或
11. 已知 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下面命题中正确的是( )
A. ∥ ， ∥ ∥ B. ∥ ， ∥
C. ∥ D. ∥ ，
12. 设 的定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 时， 则
时， 的解析式为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，
把答案填在答题卷的相应位置.
13. 一简单组合体的三视图及尺寸如右图示（单位：
cm）， 则该组合体的体积为 。
)0(1)1(3
1)( 223 ≠∈+−++= aRaxaaxxxf ，
( )f x′ =− )1(f
3
1
3
7
3
1−
3
1−
3
5
3
1( ) ( ) log5
xf x x= − 0x ( ) 0f x = 1 00 x x< < 1( )f x
xo
y
xo
y
xo
y
xo
y
m n α β
mnm ,, αα ⊂⊂ β n β α⇒ β α β βα ⊂⊂ nm , m⇒ n
nmm ⊥⊥ ,α n⇒ α m n ⊥n α m⇒ α⊥
)(xf ]3,2[∈x xxf =)( ]0,2[−∈x
)(xf
|1|2)( ++= xxf xxf −= 2)( |1|3)( +−= xxf 4)( += xxf
cm 314. 设 、 满足约束条件 的
最大值为___ __．
15. 数列 中， ，
则其通项公式为 = ．
16. 已知以下四个命题：
①如果 是一元二次方程 的两个实根，且 ，那么不等式
的解集为 ；
②“若 ，则 的解集是实数集 ”的逆否命题；
③“ ”是“ ”的充要条件；
④直线 与曲线 有四个交点，则 的取值范围是
其中为真命题的是 （填上你认为正确的序号）．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本题满分 12 分）已知在等比数列 中， ，且 是 和 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 .
18．（本题满分 12 分）如图，在棱长为 的正方体 中， 、 分别为 、
的中点。
（1）求证： //平面
（2）求证： ⊥
x y ,
0
1
≥
≤
≤+
y
xy
yx
1 2,x x 2 0ax bx c+ + = 1 2x x<
2 0ax bx c+ + < { }1 2x x x x< <
2m > 2 2 0x x m− + > R
1 02
x
x
− ≤− ( 1)( 2) 0x x− − ≤
1y = 2y x x a= − + a
yxZ 53 −=
{ }na )2(112,1,2
11
21
≥+===
−+
naaaaa
nnn
na
)4
5,1(
}{ na 11 =a 2a 1a 13 −a
}{ na
}{ nb )(12 *Nnanb nn ∈+−= }{ nb n nS
2 1 1 1 1ABCD A B C D− E F 1DD
BD
EF 1 1ABC D
EF 1B C
F
B1
A
CD
A1
C1
D1
B
E19．（本题满分 12 分）已知向量， ， 且满足
。
（1）求函数 的解析式；并求函数 的最小正周期和最值及其对应的
值;
（2）锐角 中，若 ，且 ， ，求 的长．
20．（本题满分 12 分）已知二次函数 满足 ，且在R上的
最小值为
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的极值..
21.（本题满分 12 分）已知函数
（1）当 时，若关于 的不等 恒成立，求实数 的取值范围。
（2）当 时，讨论 的单调性.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线 的方程为 ，以极点为原点，极轴所在直
( ,1), (sin ,cos )a m b x x= = ( )f x a b= ⋅
( ) 12f
π =
( )y f x= ( )y f x= x
ABC∆ ( ) 2 sin12f A
π = 2AB = 3AC = BC
2( )f x ax bx= + ( 1) ( 1)f x f x− = − −
( )f x 0x =
[ ]2,1x∈ − ( ) ( ) xg x xf x e= ⋅
1( ) ln 3( )af x x ax a Rx
+= + + + ∈
1a = x 2( ) 5f x m m≥ − m
1
2a ≥ − ( )f x
C ( )2cos sin 0a aρ θ θ= >线为 轴建立直角坐标，直线 的参数方程为 （ 为参数）， 与 交于
， 两点．
（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（2）设点 ；若 、 、 成等比数列，求 的值
23. (10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
2020 长泰一中高三上文科数学期中考试卷答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D A C A D D B C D C
二、填空题
13. 64 14. 3 15. 16. ○2 ○4
三、解答题：
17．（本题满分 12 分）已知在等比数列 中， ，且 是 和 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 .
解：（I）设等比数列 的公比为
是 和 的等差中项
……………………………………….2 分
x l
22 2
21 2
x t
y t
= −
= − +
t l C
M N
C l
( )2, 1P − PM MN PN a
( ) | | | |2f x x a x a= +− −
1=a ( ) 2>xf
Rx∈ ( ) 332 −−≥ aaxf a
2
n
}{ na 11 =a 2a 1a 13 −a
}{ na
}{ nb )(12 *Nnanb nn ∈+−= }{ nb n nS
}{ na q
2a 1a 13 −a
3312 )1(2 aaaa =−+=∴ ………………………………………4 分
…………………………………6 分
（II）
. ………8 分
………9 分
……….11 分
……12 分
18．（本题满分 12 分）如图，在棱长为 的正方体 中， 、 分别为 、
的中点。
（1）求证： //平面 （2）求证： ⊥
证明;（Ⅰ）连结 BD1，在△DD1B 中，E、F 分别为 D1D，
DB 的中点，则 EF//D1B。
（Ⅱ）∵B1C⊥AB，B1C⊥BC1，
AB 平面 ABC1D1，BC1 平面 ABC1D1，
AB∩BC1=B，
∴B1C⊥平面 ABC1D1。
又∵BD1 平面 ABC1D1，
∴B1C⊥BD1，
而 EF//BD1，∴EF⊥B1C。
19．（本题满分 12 分）已知向量， ， 且满足
。
（1）求函数 的解析式；并求函数 的最小正周期和最值及其对应的 值;
（2）锐角 中，若 ，且 ， ，求 的长．
解：（1） 且
2
2
3 ==∴
a
aq
)(2 *11
1 Nnqaa nn
n ∈==∴ −−
nn anb +−= 12
)212()25()23()11( 12 −+−+++++++=∴ n
n nS
)2221()]12(531[ 12 −+++++−+++= nn
21
21
2
)12(1
−
−+⋅−+=
n
nn
122 −+= nn
2 1 1 1 1ABCD A B C D− E F 1DD
BD
EF 1 1ABC D EF 1B C
.11
11
111
//
,
,
DABCEF
DABCEF
DABCBD
平面
平面
平面又
∴
⊄
⊂
⊂ ⊂
⊂
( ,1), (sin ,cos )a m b x x= = ( )f x a b= ⋅
( ) 12f
π =
( )y f x= ( )y f x= x
ABC∆ ( ) 2 sin12f A
π = 2AB = 3AC = BC
( ,1), (sin ,cos )a m b x x= = ( )f x a b= ⋅
F
B1
A
CD
A1
C1
D1
B
E∴ ,又
………….2 分
…………….4 分
函数的最小正周期 …………….5 分
当 时， 的最大值为 ，
当 时， 最小值为 …………….7 分
（2）因为 即
∴ ……….8 分
∵ 是锐角 的内角， ∴ ……….9 分
∵ ，AC=3
由余弦定理得： ……….10 分
∴ ……….12 分
20．（本题满分 12 分）已知二次函数 满足 ，且在R上的
最小值为
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的极值..
解：解析:解（1）依题意得：二次函数 且 ，.................3 分
解得 ..............................................4 分
故 =2x+2 切点（0,0），k = = 2........5 分
所求切线方程为：y = 2x....................................6 分
（2） .................7 分
.................8 分
( ) sin cosf x m x x= + ( ) 12f
π =
sin cos 12 2m
π π∴ + = 1m∴ =
( ) sin cos 2 sin( )4f x x x x
π∴ = + = +
∴ 2T π=
2 ( )4x k k Z
π π= + ∈ ( )f x 2
5 2 ( )4x k k Z
π π= + ∈ ( )f x 2−
( ) 2 sin12f A
π = ( ) 2 sin 2 sin12 3f A
π π= =
sin sin 3A
π=
A ABC∆
3A
π=
2AB =
2 2 2 2 cos 7BC AC AB AB AC A= + − ⋅ ⋅ =
7BC =
2( )f x ax bx= + ( 1) ( 1)f x f x− = − −
( )f x 0x =
[ ]2,1x∈ − ( ) ( ) xg x xf x e= ⋅
( )x,f ( )x,f令 得 （舍去）......................9 分
在[-2,-1]为增函数，[-1,0]为减函数，[0,1]为减函数......10 分
.......................12 分
21.（本题满分 12 分）已知函数
（1）当 时，若关于 的不等 恒成立，求实数 的取值范围。
（2）当 时，讨论 的单调性.
解：（1）当 时，
……1 分
令 得： 解得：
（舍） ……2 分
当 时， 此时函数 单调递减
当 时， 此时函数 单调递增
因此函数 在 处取得极小值，又因为函数 在 只有唯一的极小值点
故函数 在 处取得最小值 ……4 分
恒成立 即： 解得：
故所求 的取值范围是 ……5 分
（2）
令
当 时，
此时：当 时， 函数 单调递减
当 时， 函数 单调递增 ……7 分
当 时，由 ，即 解得：
1a =
2
2 2
' 1 2 2( ) 1 , (0, )x xf x xx x x
+ −∴ = + − = ∈ +∞
' ( ) 0f x = 2 2 0x x+ − = 1 2x = − 2 1x =
(0,1)x∈ '( ) 0f x < ( )f x
(1, )x∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x
( )f x 1x = ( )f x (0, )+∞
( )f x 1x = min( ) (1) 6f x f= =
2( ) 5f x m m≥ − 2
min( ) 5f x m m⇔ ≥ − 2 5 6m m− ≤ 1 6m− ≤ ≤
m 1 6m− ≤ ≤
2
'
2 2
1 1 ( 1)( ) , (0, )a ax x af x a xx x x
+ + − += + − = ∈ +∞
2( ) ( 1), (0, )g x ax x a x= + − + ∈ +∞
0a = ( ) 1, (0, )g x x x= − ∈ +∞
(0,1)x∈ ( ) 0g x < ', ( ) 0f x < ( )f x
(1, )x∈ +∞ ( ) 0g x > ', ( ) 0f x > ( )f x
0a ≠ ' ( ) 0f x = 2 ( 1) 0ax x a+ − + = 1 1,x = 2
1 1x a
= − −
1( ) ln 3( )af x x ax a Rx
+= + + + ∈
1a = x 2( ) 5f x m m≥ − m
1
2a ≥ − ( )f x①当 时， 恒成立，此时： 函数 在 递
减 ……8 分
②当 时，
此时：当 时， 函数 单调递减
当 时， 函数 单调递增
当 时， 函数 单调递减 ……10 分
③当 时，
此时：当 时， 函数 单调递减
当 时， 函数 单调递增 ……11 分
综上所述：
当 时，函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增
当 时，函数 在 单调递减
当 时，函数 在 和 上单调递减
函数 在 上单调递增 … …12 分
1
2a = − 1 2x x= , ( ) 0g x ≤ ' ( ) 0,f x ≤ ( )f x (0, )+∞
1 02 a− < < 1 1 1 0a
− − > >
(0,1)x∈ ( ) 0g x < ', ( ) 0f x < ( )f x
1(1, 1)x a
∈ − − ( ) 0g x > ', ( ) 0f x > ( )f x
1( 1, )x a
∈ − − +∞ ( ) 0g x < ', ( ) 0f x < ( )f x
0a > 1 1 0a
− − <
(0,1)x∈ ( ) 0g x < ', ( ) 0f x < ( )f x
(1, )x∈ +∞ ( ) 0g x > ', ( ) 0f x > ( )f x
0a ≥ ( )f x (0,1) ( )f x (1, )+∞
1
2a = − ( )f x (0, )+∞
1 02 a− < < ( )f x (0,1) 1( 1, )a
− − +∞
( )f x 1(1, 1)a
− −
微信/支付宝扫码支付