2019 届高三年级数学模拟考试
(满分 160 分，考试时间 120 分钟)
一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．
1. 已知集合 M＝{－2，－1，0}，N＝{x|(1
2 ) x
> 2}，则 M∩N＝________．
2. 已知 i 是虚数单位，且复数 z 满足(1＋i)z＝2，则|z |＝________．
3. 底面半径为 1，母线长为 3 的圆锥的体积是________．
Read x
If x≥0 Then
y←sin x
Else
y←x2－1
End If
Print y 4. 某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有 50 名、40 名、40
名．现用分层抽样的方法在这 130 名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了 8 名，则
在高一年级学生中应抽取的人数为________．
5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值 y 为 3，则输入值 x 为________．
6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字 1、2、3，乙的卡片分别标有数字 0、1、
3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为 a，乙抽出的卡片上的数字记为 b，则 a 与
b 的积为奇数的概率为________．
7. 若直线 l1：x－2y＋4＝0 与 l 2：mx－4y＋3＝0 平行，则两平行直线 l 1，l2 间的距离为
________．
8. 已知等比数列{an }的前 n 项和为 Sn，若 S3＝7，S6＝63，则 a1＝________．
9. 已知双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 x－2y＝0，则该双曲线的离心率
为________．
10. 已知直线 l：y＝－x＋4 与圆 C：(x－2) 2＋(y－1) 2＝1 相交于 P，Q 两点，则 CP→
·CQ→
＝
________.
11. 已知正实数 x，y 满足 x＋4y－xy＝0，若 x＋y≥m 恒成立，则实数 m 的取值范围为
________．12. 设 a，b 是非零实数，且满足
asin
π
7 ＋bcos
π
7
acos
π
7 －bsin
π
7
＝tan
10π
21 ，则
b
a＝________．
13.已知函数 f(x)＝a＋3＋
4
x－|x＋a |有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则
实数 a 的值为________．
14. 若存在正实数 x，y，z 满足 3y 2＋3z2≤10yz，且 ln x－ln z＝
ey
z ，则
x
y的最小值为
________．
二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
15. (本小题满分 14 分)
已知函数 f(x)＝cos2x＋2 3sin x cos x－sin2x，x∈R.
(1) 求函数 f(x)的单调增区间；
(2) 求方程 f(x)＝0 在(0，π]上的所有解．
16. (本小题满分 14 分)
如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，四边形 AA1B1B 为矩形，平面 AA1B1B⊥平面 ABC，E，F 分别是侧
面 AA1B1B，BB1C1C 对角线的交点．求证：
(1) EF∥平面 ABC；
(2) BB1⊥AC. 17. (本小题满分 14 分)
为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四
边形 ABCD，其中 AB＝3 百米，AD＝ 5百米，且△BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修
建两条小路 AC，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD＝θ，θ∈(π
2 ，π).
(1) 当 cos θ＝－
5
5 时，求小路 AC 的长度；
(2) 当草坪 ABCD 的面积最大时，求此时小路 BD 的长度．
18. (本小题满分 16 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 M：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为
1
2，左、右顶点分别为
A、B，线段 AB 的长为 4.点 P 在椭圆 M 上且位于第一象限，过点 A，B 分别作 l1⊥PA，l2⊥PB，直
线 l1，l2 交于点 C.
(1) 若点 C 的横坐标为－1，求点 P 的坐标；
(2) 直线 l1 与椭圆 M 的另一交点为 Q，且AC→
＝λAQ→
，求 λ 的取值范围．19. (本小题满分 16 分)
已知函数 f(x)＝(3－x)ex，g(x)＝x＋a(a∈R)(e 是自然对数的底数，e≈2.718…)．
(1) 求函数 f(x)的极值；
(2) 若函数 y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数 a 的取值范围；
(3) 若函数 h(x)＝
f（x）＋g（x）
x 在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数
h(x)的极大值小于整数 b，求 b 的最小值．
20. (本小题满分 16 分)
记无穷数列{an }的前 n 项中最大值为 Mn，最小值为 mn，令 bn＝
Mn＋mn
2 ，数列{an }的
前 n 项和为 An，数列{bn }的前 n 项和为 Bn.
(1) 若数列{an }是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求 Bn；
(2) 若数列{bn }是等差数列，试问数列{an }是否也一定是等差数列？若是，请证明；若
不是，请举例说明；
(3) 若 bn＝2n－100n，求 An.
2019 届高三年级第一次模拟考试(八)
数学附加题(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟)
21. A. [选修 42：矩阵与变换](本小题满分 10 分)
已知矩阵 A＝[a
b Error!，满足 A[1
3 ]＝[6
8 ]，求矩阵 A 的特征值．
B. [选修 44：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为{x＝2t，
y＝－2－t(t 为参数)．在极坐标系中(与直角
坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，极轴与 x 轴的非负半轴重合)，圆 C 的极坐标
方程为 ρ＝4 2cos(θ＋
π
4 )，求直线 l 被圆 C 截得的弦长．22. (本小题满分 10 分)
如图，将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使得平面 ABD⊥平面 CBD，又 AE⊥平
面 ABD.
(1) 若 AE＝ 2，求直线 DE 与直线 BC 所成的角；
(2) 若二面角 ABED 的大小为
π
3 ，求 AE 的长度．
23. (本小题满分 10 分)
已知直线 x＝－2 上有一动点 Q，过点 Q 作直线 l 1 垂直于 y 轴，动点 P 在 l1 上，且满足
OP→
·OQ→
＝0(O 为坐标原点)，记点 P 的轨迹为曲线 C.
(1) 求曲线 C 的方程；
(2) 已知定点 M(－
1
2，0)，N(1
2，0 )，A 为曲线 C 上一点，直线 AM 交曲线 C 于另一点 B，且点
A 在线段 MB 上，直线 AN 交曲线 C 于另一点 D，求△MBD 的内切圆半径 r 的取值范围．数学参考答案
1. {－2} 2. 2 3.
2 2π
3 4. 10 5. －2 6.
4
9
7.
5
2 8. 1 9.
5
2 10. 0 11. (－∞，9] 12. 3
13.
11
6 或－1－
3 3
2 14. e2
15. f(x)＝cos2x＋2 3sin xcos x－sin2x＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋
π
6 ). (4 分)
(1) 由－
π
2 ＋2kπ≤2x＋
π
6 ≤
π
2 ＋2kπ，k∈Z ，
解得－
π
3 ＋kπ≤x≤
π
6 ＋kπ，k∈Z，
所以函数 f(x)的单调增区间为[－
π
3 ＋kπ，
π
6 ＋kπ]，k∈Z.(8 分)
(2) 由 f(x)＝0 得 2sin(2x＋
π
6 )＝0，
解得 2x＋
π
6 ＝kπ，即 x＝－
π
12＋
kπ
2 ，k∈Z.
因为 x∈(0，π]，
所以 x＝
5π
12 或 x＝
11π
12 .(14 分)
16. (1) 因为三棱柱 ABCA1B1C1，
所以四边形 AA1B1B，四边形 BB1C1C 均为平行四边形．
因为 E，F 分别是侧面 AA1B1B，BB1C1C 对角线的交点，
所以 E，F 分别是 AB1，CB1 的中点 ，
所以 EF∥AC.(4 分)
因为 EF⊄平面 ABC，AC⊂平面 ABC，
所以 EF∥平面 ABC.(8 分)
(2) 因为四边形 AA1B1B 为矩形，
所以 BB1⊥AB.
因为平面 AA1B1B⊥平面 ABC，BB1⊂平面 ABB1A1，平面 ABB1A1∩平面 ABC＝AB，
所以 BB1⊥平面 ABC.(12 分)
因为 AC⊂平面 ABC，
所以 BB1⊥AC.(14 分)
17. (1) 在△ABD 中，由 BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos θ，得 BD2＝14－6 5cos θ，又 cos θ＝－
5
5 ，
所以 BD＝2 5.(2 分)
因为 θ∈(π
2 ，π)，
所以 sin θ＝ 1－cos 2θ＝ 1－(－
5
5 ) 2
＝
2
5.
由
BD
sin ∠BAD＝
AB
sin ∠ADB，
得
2 5
2
5
＝
3
sin ∠ADB，
解得 sin ∠ADB＝
3
5.
因为△BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，
所以∠CDB＝
π
2 且 CD＝BD＝2 5，
所以 cos ∠ADC＝cos(∠ADB＋
π
2 )＝
－sin ∠ADB＝－
3
5.(5 分)
在△ACD 中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC＝( 5)2＋(2 5)2－2× 5×2 5×(－
3
5 )＝
37,
所以 AC＝ 37.(7 分)
(2) 由(1)得 BD2＝14－6 5cos θ，
SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝
1
2×3× 5×sin θ＋
1
2×BD2
＝7＋
3 5
2 sin θ－3 5cos θ
＝7＋
3 5
2 (sin θ－2cos θ)＝7＋
15
2 sin (θ－φ)，
此时 sin φ＝
2
5，cos φ＝
1
5且 φ∈(0，
π
2 )，(10 分)
当 θ－φ＝
π
2 时 ，四边形 ABCD 的面积最大，即 θ＝φ＋
π
2 ，此时 sin θ＝
1
5，cos θ＝－
2
5，
所以 BD2＝14－6 5cos θ＝14－6 5×(－
2
5)＝26，即 BD＝ 26，(13 分)
所以当草坪 ABCD 的面积最大时，小路 BD 的长度为 26百米. (14 分)18. (1) 设直线 AP 的斜率为 k，P(x0，y0)，
由题意得 2a＝4，
c
a＝
1
2，
所以 a＝2，c＝1，b＝ 3，
所以椭圆 M 的方程为
x2
4 ＋
y2
3 ＝1.
因为点 P 在椭圆 M 上，且位于第一象限，
所以 0
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