江苏省南京师大苏州实验学校2020届高三上学期第一次模拟考试数学试卷（Word版有答案）.doc

数学(满分 160 分，考试时间 120 分钟) 参考公式：柱体的体积 V＝Sh，锥体的体积 V＝1 3Sh 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 1. 函数 f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________． 2. 已知集合 A＝{4，a2}，B＝{－1，16}，若 A∩B≠∅，则实数 a＝________． 3. 复数 z 满足 zi＝4＋3i(i 是虚数单位)，则|z|＝________． 4. 函数 y＝ 1－x2的定义域是________． 5. 从 1，2，3，4，5 这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为 6 的概率为 ________． 6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 T 的值是________． 7. 已知数列{an}满足 log2an＋1－log2an＝1，则a5＋a3 a3＋a1＝________． 8. 若 抛 物 线 y2 ＝ 2px(p>0) 的 准 线 与 双 曲 线 x2 － y2 ＝ 1 的 一 条 准 线 重 合 ， 则 p ＝ ________． 9. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，M 为棱 AA1 的中点，记三棱锥 A1MBC 的体积为 V1，四棱锥 A1BB1C1C 的体积为 V2，则V1 V2的值是________． 10. 已知函数 f(x)＝2x4＋4x2，若 f(a＋3)>f(a－1)，则实数 a 的取值范围为________． 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，过圆 C1：(x－k)2＋(y＋k－4)2＝1 上任一点 P 作圆 C2：x2 ＋y2＝1 的一条切线，切点为 Q，则当线段 PQ 的长最小时，k＝________． 12. 已知 P 为平行四边形 ABCD 所在平面上任一点，且满足PA → ＋PB → ＋2PD → ＝0，λPA → ＋μPB → ＋PC → ＝0，则 λμ＝________． 13. 已知函数 f(x)＝{x3－3x＋2a，x ≥ a， x3＋3x－4a，x < a， 若存在 x0＜0，使得 f(x0)＝0，则实数 a 的取值 范围是________． 14. 在△ABC 中，已知 sin Asin Bsin(C－θ)＝λsin2C，其中 tan θ＝1 2(0 < θ < π 2)，若 1 tan A＋ 1 tan B＋ 2 tan C为定值，则实数 λ＝________． 二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算 步骤． 15. (本小题满分 14 分)已知向量 a＝(sin x，1)，b＝(1 2，cos x)，其中 x∈(0，π)． (1) 若 a∥b，求 x 的值； (2) 若 tan x＝－2，求|a＋b|的值． 16. (本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，O 为对角线 BD 的中点，E，F 分别为棱 PC，PD 的中点，已知 PA⊥AB，PA⊥AD.求证： (1) 直线 PB∥平面 OEF； (2) 平面 OEF⊥平面 ABCD.17. (本小题满分 14 分) 如图，三个小区分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，Q 是弧 AB 的中点，现欲在线段 OQ 上找一处开挖工作坑 P(不与点 O，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线 PO，PA，PB，已 知 OA＝2 千米，∠AOB＝π 3，记∠APQ＝θ rad，地下电缆管线的总长度为 y 千米． (1) 将 y 表示成 θ 的函数，并写出 θ 的范围； (2) 请确定工作坑 P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．18. (本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左顶点为 A，B 是椭圆 C 上异于左、右顶点的任意一点，P 是 AB 的中点，过点 B 且与 AB 垂直的直线与直线 OP 交于 点 Q，已知椭圆 C 的离心率为1 2，点 A 到右准线的距离为 6. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 设点 Q 的横坐标为 x0，求 x0 的取值范围．19. (本小题满分 16 分) 设 A，B 为函数 y＝f(x)图象上相异两点，且点 A，B 的横坐标互为倒数，过点 A，B 分别 作函数 y＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数 f(x)的“优点”． (1) 若函数 f(x)＝{ln x，0 < x < 1， ax2， x > 1 不存在“优点”，求实数 a 的值； (2) 求函数 f(x)＝x2 的“优点”的横坐标的取值范围； (3) 求证：函数 f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．20. (本小题满分 16 分) 已知首项不为 0 的数列{an}的前 n 项和为 Sn，2a1＋a2＝a3，且对任意的 n∈N，n≥2 都有 2nSn＋1－(2n＋5)Sn＋Sn－1＝ra1. (1) 若 a2＝3a1，求 r 的值； (2) 数列{an}能否是等比数列？说明理由； (3) 当 r＝1 时，求证：数列{an}是等差数列．2019 届高三年级第一次模拟考试(七) 数学附加题 (本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按 作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修 42：矩阵与变换](本小题满分 10 分) B. [选修 44：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为{x＝1 2－t， y＝1 2＋t (t 为参数)，曲线 C 的参数 方程为{x＝－1＋2cos θ， y＝2sin θ (θ 为参数)．若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的 长． C. [选修 45：不等式选讲](本小题满分 10 分) 设正数 a，b，c 满足 3a＋2b＋c＝1，求1 a＋ 1 a＋b＋ 1 b＋c的最小值． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． 22. (本小题满分 10 分) 如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA1＝3，AB＝1. (1) 求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值； (2) 求平面 A1BC 与平面 AC1D 所成二面角的正弦值． 23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设 fn(x)＝fn－1(f1(x))，其中 f1(x)＝f(x)，方程 fn(x)＝0 和方程 fn(x)＝1 根的个数分别为 gn(0)，gn(1)． (1) 求 g2(1)的值； (2) 证明：gn(0)＝gn(1)＋1.数学参考答案 1. π　2. ±4　3. 5　4. [－1，1]　5. 1 5　6. 8 7. 4　8. 2　9. 1 4　10. (－1，＋∞)　11. 2 12. －3 4　13. [－1，0)　14. 5 10 15. (1) 因为 a∥b， 所以 sin xcos x＝1 2，即 sin 2x＝1. 因为 x∈(0，π)，所以 x＝π 4. (2) 因为 tan x＝sin x cos x＝－2， 所以 sin x＝－2cos x. 因为 a＋b＝(sin x＋1 2，1＋cos x)， 所以|a＋b|＝ (sin x＋1 2)2 ＋（1＋cos x）2＝ 9 4＋sin x＋2cos x＝3 2. 16. (1) O 为 BD 的中点，F 为 PD 的中点， 所以 PB∥FO. 因为 PB⊄平面 OEF，FO⊂平面 OEF， 所以 PB∥平面 OEF. (2) 连结 AC，因为四边形 ABCD 为平行四边形， 所以 AC 与 BD 交于点 O，O 为 AC 的中点． 因为 E 为 PC 的中点， 所以 PA∥OE. 因为 PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面 ABCD， 所以 PA⊥平面 ABCD， 所以 OE⊥平面 ABCD. 因为 OE⊂平面 OEF， 所以平面 OEF⊥平面 ABCD.17. (1) 因为 Q 为弧 AB 的中点，由对称性，知 PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝π 6， 又∠APO＝π－θ，∠OAP＝θ－π 6， 由正弦定理，得 PA sin π 6 ＝ OA sin（π－θ）＝ OP sin(θ－π 6 ) ，又 OA＝2， 所以 PA＝ 1 sin θ，OP＝ 2sin(θ－π 6 ) sin θ ， 所以 y＝PA＋PB＋OP＝2PA＋OP＝ 2＋2sin(θ－π 6 ) sin θ ＝ 3sin θ－cos θ＋2 sin θ ， 因为∠APQ＞∠AOP， 所以 θ>π 6，∠OAQ＝∠OQA＝1 2(π－π 6)＝5π 12， 所以 θ∈(π 6，5π 12). (2) 令 f(θ)＝ 3sin θ－cos θ＋2 sin θ ，θ∈(π 6，5π 12)， f′(θ)＝1－2cos θ sin2θ ＝0，得 θ＝π 3， f(θ)在区间(π 6，π 3 )上单调递减，在区间(π 3，5π 12)上单调递增， 所以当 θ＝π 3，即 OP＝2 3 3 千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则 f(θ)min＝2 3. 答：当工作坑 P 与 O 的距离为2 3 3 千米时，地下电缆管线的总长度最小． 18. (1) 依题意，得{c a＝1 2， a＋a2 c ＝6， 解得{a＝2， c＝1， 所以 b＝ a2－c2＝ 3， 所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2) 由(1)知，A(－2，0)，设 AB：x＝my－2，m≠0， 联立{x＝my－2， 3x2＋4y2＝12， 解得{x＝6m2－8 3m2＋4， y＝ 12m 3m2＋4 或{x＝－2， y＝0，即 B(6m2－8 3m2＋4， 12m 3m2＋4)，则 P( －8 3m2＋4， 6m 3m2＋4)， 所以 kOP＝－3m 4 ，OP：y＝－3m 4 x. 因为 AB⊥BQ，所以 kBQ＝－m，所以直线 BQ 的方程为 BQ：y＝－mx＋6m3＋4m 3m2＋4 ， 联立{y＝－3m 4 x， y＝－mx＋6m3＋4m 3m2＋4 ， 得 x0＝8（3m2＋2） 3m2＋4 ＝8－ 16 3m2＋4∈(4，8)． 19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′(1 x )对 x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立， 不妨取 x∈(0，1)，则 f′(x)＝1 x＝2a x ＝f′(1 x )恒成立，即 a＝1 2， 经验证，a＝1 2符合题意． (2) 设 A(t，t2)，B(1 t，1 t2 )(t≠0 且 t≠±1)， 因为 f′(x)＝2x， 所以 A，B 两点处的切线方程分别为 y＝2tx－t2，y＝2 tx－1 t2， 令 2tx－t2＝2 tx－1 t2，解得 x＝1 2(t＋1 t )∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (3) 设 A(t，ln t)，b(1 t，－ln t)，t∈(0，1)， 因为 f′(x)＝1 x， 所以 A，B 两点处的切线方程分别为 y＝1 tx＋ln t－1，y＝tx－ln t－1， 令 1 tx＋ln t－1＝tx－ln t－1， 解得 x＝2ln t t－1 t >0， 所以 y＝1 t·2ln t t－1 t ＋ln t－1＝t2＋1 t2－1(ln t－t2－1 t2＋1)， 设 h(m)＝ln m－m2－1 m2＋1，m∈(0，1)， 则 h′(m)＝ （m2－1）2 m（m2＋1）2>0，所以 h(m)单调递增， 所以 h(m)