数 学(理）
本试卷共 4 页，全卷满分 150 分 ，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 笔把答题卡上对应的题目的答案的标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡
上，写在本试卷上无效，
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题 5 分，总 60 分）
1、已知集合 A＝{x｜x＜1}，B＝{x｜ ＜1}，则 A∩B＝（ ）
A．{x｜x＜0} B．{x｜x＞0} C．{x｜x＞1} D．{x｜x＜1}
2、已知 i 为虚数单位,复数 z 满足：z(1+i)=2-i，则在复平面上复数 z 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、命题 p： ，命题 q：指数函数 f（x）＝ax（a＞0 且 a≠1）
为减函数，则 P 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4、函数 的图象大致为
A． B．
( )
x3
0122 >+−∈∀ axaxRx ，
xxxf sin)( 2=C． D．
5、已知 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 m，n 没有公共点，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6、已知非零向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
7、已知正项等比数列 满足 ，若 ，则 n
为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
8、将函数 y=sin2x 的图象上各点沿 x 轴向右平移 个单位长度，所得函数图象的
一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
9、 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10 、 已 知 的 三 个 内 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 满 足
，且 ，则 的形状
为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
a b ， 60° 1 2 1b a b= − = ， a =
1
2 2
βα,
nm // βα ⊂⊂ nm , βα // nm //
nmm //,α⊂ α//n αα //nm ，⊥ nm ⊥
}{ na 2,8 4321 =−=− aaaa 1...321 =naaaa
12
π
)0,12
7(
π
)0,6(
π
)0,8
5(
π
)3,3
2( −π
4
7)2cos( −=+ πθ θ2cos
8
1
16
7
8
1±
16
13
ABC△ CBA 、、 cba 、、
CACBA sinsin1coscoscos 222 +=+− 1sinsin =+ CA ABC△C．顶角为 的等腰三角形 D．顶角为 的等腰三角形
11、设函数 f（x）＝xlnx 的图象与直线 y＝2x+m 相切，则实数 m 的值为（ ）
A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e
12、已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 的值为（ ）
A．6 B．7 C ．8 D．9
二、填空题（每题 5 分，总 20 分）
13、命题： ”的否定是________．
14、已知函数 一个周期的图象（如下图），则这个函数
的解析式为__________．
15、已知点 ， ，若点 在线段 上，则 的最大值为____．
16、侧棱长为 a 的正三棱锥 P-ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则
该球的表面积为________．
三、解答题（17 题 10 分，其他每题 12 分，总 70 分）
17、已知函数 .
（1）求函数 的值域和单调减区间；
（2）已知 为 的三个内角，且 ，求 的值.
150 120
( )2,0A ( )0,1B ( ),P x y AB xy
)(xf )(xf ′ xfxxf ln)2()( 2 ′+= )2(f ′
xeRx x ≤∈∀ ,
)2||0(),sin()(
πφωφω += ，xxf
)1(cos2)62sin()( 2 −++== xxxfy
π
)(xfy =
CBA 、、 ABC△
2
1)2(,3
1cos == CfB Asin18、在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 周长的最大值．
19、已知数列 是公差不为零的等差数列， ，成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求：数列 的前 n 项和 .
20、已知数列 为递增的等比数列， ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 .
21 、 如 图 ， 四 棱 锥 底 面 为 菱 形 ， 平 面 平 面
, , , , 为 的中点.
, ,a b c sin 3 cosa B b A=
A
4a =
{ }na 1 4 8a a⋅ = 2 3 6a a+ =
{ }na
2 1logn n nb a a += + { }nb n nT
P ABCD− ABCD PAD ⊥
ABCD 5PA PD= = 6AD = 60DAB∠ = E AB
ABC△ CBA 、、
ABC△
}{ na 7425 5 aaaa ，，，且=
}{ na
n
n
n
ab 3
= }{ nb nT(1)证明： ；
（2）二面角 的余弦值.
22、已知函数 在 与 处都取得极值
（1）求 的值；
（2）若对任意恒成立， ,求实数 的取值范围.
AC PE⊥
D PA B− −
xx
baxxf ln2)( +−= 1=x 2
1=x
ba、
cxfx
1
2 23 aπ
3 3( ) sin 2 cos2 1 3sin 2 12 2 3f x x x x
π = + − = + −
sin 2 [ 1,1]3x
π + ∈ −
( ) [ 3 1, 3 1]f x ∈ − − −
32 2 2 ,2 3 2k x k k Z
π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈
7, ,12 12k k k Z
π ππ π + + ∈
, ,A B C ABC∆
1cos 3B = 2 2 2sin 1 cos 3B B= − =
13sin 2 12 2 3 2
C Cf
π = × + − =
3sin 3 2C
π + =
4,3 3 3C
π π π + ∈ 3C
π=
2 2 1 1 3 2 2 3sin sin( ) sin cos cos sin 3 2 3 2 6A B C B C B C
+= + = + = × + × =
2 2 3sin 6A
+=
sin sin
a b
A B
=
sin 3 cosa B b A=
sin sin 3sin cosA B B A=
)62sin()(
π+= xxf又因为在 中， ，所以有 ，
即 ， ∴ ．
（2）因为 的周长 ，
所以当 最大时， 的周长最大．
因为 ， 即 ，
即 （当且仅当 时等号成立） 所以 周长的最大值为 12.
19、解：（1）数列 是公差为 则据题得
解得 . 数列 的通项公式为
（2）由（1）知
所以
20、解：（Ⅰ）由 及
得 或 （舍） 所以 ，
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以
21、解：（1）取 的中点 ，连接 为菱形， ，
分别为 的中点， .
为 的中点， ，
又 面 面 ，
ABC sin 0B > sin 3 cosA A=
tan 3A = 0 A π< ′ (2 1)( 1) 0x x∴− − − > (2 1)( 1 ) 0x x− − max
1 7( ) ( ) ln 44 6f x f∴ = = −
∴ 1 ,14x ∈ ( )f x c< 7 ln 46c > −
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