数 学(文)
本试卷共 4 页,全卷满分 150 分 ,考试时间 120 分钟.
注意事项:
1、答卷前,考生务必将自己的姓名准考证号写在答题卡上。
2、回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 笔把答题卡上对应的题目的答案的标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡
上,写在本试卷上无效,
3、考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题 5 分,总 60 分)
1、已知集合 A={x|x<1},B={x| <1},则 A∩B=( )
A.{x|x<0} B.{x|x>0} C.{x|x>1} D.{x|x<1}
2、已知 i 为虚数单位,复数 z 满足:z(1+i)=2-i,则在复平面上复数 z 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、命题 p: ,命题 q:指数函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)
为减函数,则 P 是 q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4、函数 的图象大致为
A. B.
C. D.
5、已知 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
( )
x3
0122 >+−∈∀ axaxRx ,
xxxf sin)( 2=
βα,A.若 m,n 没有公共点,则 B.若 , ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
6、已知非零向量 的夹角为 ,且 ,则 ( )
A. B.1 C. D.2
7、已知正项等比数列 满足 ,若 ,则 n 为( )
A.5 B.6 C.9 D.10
8、将函数 y=sin2x 的图象上各点沿 x 轴向右平移 个单位长度,所得函数图象的一个对称
中心为( )
A. B. C. D.
9、 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
10 、 已 知 的 三 个 内 角 所 对 的 边 分 别 为 , 满 足
,且 ,则 的形状
为( )
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.顶角为 的等腰三角形 D.顶角为 的等腰三角形
11、设函数 f(x)=xlnx 的图象与直线 y=2x+m 相切,则实数 m 的值为( )
A.e B.﹣e C.﹣2e D.2e
12、已知函数 的导函数为 ,且满足 ,则 的值为( )
A.6 B.7 C .8 D.9
二、填空题(每题 5 分,总 20 分)
13、命题: ”的否定是________.
a b , 60° 1 2 1b a b= − = , a =
1
2 2
nm // βα ⊂⊂ nm , βα // nm //
nmm //,α⊂ α//n αα //nm ,⊥ nm ⊥
}{ na 2,8 4321 =−=− aaaa 1...321 =naaaa
12
π
)0,12
7(
π
)0,6(
π
)0,8
5(
π
)3,3
2( −π
4
7)2cos( −=+ πθ θ2cos
8
1
16
7
8
1±
16
13
ABC△ CBA 、、 cba 、、
CACBA sinsin1coscoscos 222 +=+− 1sinsin =+ CA ABC△
150 120
)(xf )(xf ′ xfxxf ln)2()( 2 ′+= )2(f ′
xeRx x ≤∈∀ ,14、已知函数 一个周期的图象(如下图),则这个函数
的解析式为__________.
15、已知点 , ,若点 在线段 上,则 的最大值为____.
16、侧棱长为 a 的正三棱锥 P-ABC 的侧面都是直角三角形,且四个顶点都在一个球面上,则
该球的表面积为________.
三、解答题(17 题 10 分,其他每题 12 分,总 70 分)
17、已知函数 .
(1)求函数 的值域和单调减区间;
(2)已知 为 的三个内角,且 ,求 的值.
18、在 中,角 所对的边分别为 ,且满足 .
(1)求角 的大小;
(2)若 ,求 周长的最大值.
19、已知数列 是公差不为零的等差数列, ,成等比数列.
( )2,0A ( )0,1B ( ),P x y AB xy
, ,a b c sin 3 cosa B b A=
A
4a =
)2||0(),sin()(
πφωφω += ,xxf
)1(cos2)62sin()( 2 −++== xxxfy
π
)(xfy =
CBA 、、 ABC△
2
1)2(,3
1cos == CfB Asin
ABC△ CBA 、、
ABC△
}{ na 7425 5 aaaa ,,,且=(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ,求:数列 的前 n 项和 .
20、已知数列 为递增的等比数列, , .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)记 ,求数列 的前 项和 .
21、如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,且△ABC 为正三角形,AA1=AB=6,
D 为 AC 的中点.
(1)求证:直线 AB1∥平面 BC1D;
(2)求证:平面 BC1D⊥平面 ACC1A; (3)求三棱锥 C﹣BC1D 的体积.
22、已知函数 在 与 处都取得极值
(1)求 的值;
(2)若对任意恒成立, ,求实数 的取值范围.
{ }na 1 4 8a a⋅ = 2 3 6a a+ =
{ }na
2 1logn n nb a a += + { }nb n nT
}{ na
n
n
n
ab 3
= }{ nb nT
xx
baxxf ln2)( +−= 1=x 2
1=x
ba、
cxfx
1
2 23 aπ
3 3( ) sin 2 cos2 1 3sin 2 12 2 3f x x x x
π = + − = + −
sin 2 [ 1,1]3x
π + ∈ −
( ) [ 3 1, 3 1]f x ∈ − − −
32 2 2 ,2 3 2k x k k Z
π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈
7, ,12 12k k k Z
π ππ π + + ∈
, ,A B C ABC∆
1cos 3B = 2 2 2sin 1 cos 3B B= − =
13sin 2 12 2 3 2
C Cf
π = × + − =
3sin 3 2C
π + =
4,3 3 3C
π π π + ∈ 3C
π=
2 2 1 1 3 2 2 3sin sin( ) sin cos cos sin 3 2 3 2 6A B C B C B C
+= + = + = × + × =
2 2 3sin 6A
+=
sin sin
a b
A B
=
sin 3 cosa B b A=
sin sin 3sin cosA B B A=
)62sin()(
π+= xxf又因为在 中, ,所以有 ,
即 , ∴ .
(2)因为 的周长 ,
所以当 最大时, 的周长最大.
因为 , 即 ,
即 (当且仅当 时等号成立) 所以 周长的最大值为 12.
19、解:(1)数列 是公差为 则据题得
解得 . 数列 的通项公式为
(2)由(1)知
所以
20、解:(Ⅰ)由 及
得 或 (舍) 所以 ,
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
所以
21、(1)证明:连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 OD,则点 O 为 B1C 的中点.
∵D 为 AC 中点,得 DO 为△AB1C 中位线,
∴A1B∥OD.
∵OD?平面 AB1C,A1B?平面 BC1D,
∴直线 AB1∥平面 BC1D;
ABC sin 0B > sin 3 cosA A=
tan 3A = 0 A π< ′ (2 1)( 1) 0x x∴− − − > (2 1)( 1 ) 0x x− − max
1 7( ) ( ) ln 44 6f x f∴ = = −
∴ 1 ,14x ∈ ( )f x c< 7 ln 46c > −