北京市朝阳区2020届高三数学上学期期中试题(Word版带答案)
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资料简介
北京市朝阳区 2019~2020 学年度第一学期高三年级期中 数学试卷 2019.11 (考试时间 120 分钟满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并 交回. 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)已知集合 , ,则 (A) (B) (C) (D) (2)已知 ,且 ,则 (A) (B) (C) (D) (3)下列函数中,既是奇函数又在区间 上单调递增的是 (A) (B) (C) (D) (4)关于函数 有下述三个结论: ①函数 的最小正周期为 ; ②函数 的最大值为 ; ③函数 在区间 上单调递减. 其中,所有正确结论的序号是 (A)①② (B)①③(C)②③ (D)①②③ (5)已知 , 是两个不同的平面,直线 ,下列命题中正确的是 (A)若 ,则 (B)若 ,则 (C)若 ,则 (D)若 ,则 (6)已知函数 恰有两个零点,则实数 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) (7)已知 为等比数列,则“ ”是“ 为递减数列”的 2{ 4}A x x= ∈ { }na(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8) 设 , 为 椭 圆 : 的 两 个 焦 点 , 为 上 一 点 且 在 第 二 象 限.若 为等腰三角形,则点 的横坐标为 (A) (B) (C) (D) (9)在 中, , ,点 在 边上,且 ,则 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) (10)已知集合 , 满足:(ⅰ) , ; (ⅱ) ,若 且 ,则 ; (ⅲ) ,若 且 ,则 . 给出以下命题: ① 若集合 中没有最大数,则集合 中有最小数; ② 若集合 中没有最大数,则集合 中可能没有最小数; ③ 若集合 中有最大数,则集合 中没有最小数; ④ 若集合 中有最大数,则集合 中可能有最小数. 其中,所有正确结论的序号是 (A)①③ (B)②③ (C)③④ (D)①④ 第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (11)已知向量 , ,且 ,则 ________. (12)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为________,最长棱的长度为 ________. 1F 2F C 2 2 19 5 x y+ = M C 1 2△MF F M 3 2 15 2 15 2 − 3 2 − △ABC 90BAC∠ =  2BC = P BC ( ) 1AP AB AC⋅ + =   AP 1( , 1]2 1[ ,1]2 2( ,1]2 2[ ,1]2 A B A B = Q A B = ∅ 1x A∀ ∈ 2x ∈Q 2 1x x< 2x A∈ 1y B∀ ∈ 2y ∈Q 2 1y y> 2y B∈ A B A B A B A B (1, 1)= −a (3, )m=b //a b =m (第 12 题图) 1 1 1 俯视图 侧(左)视图正(主)视图(13)已知直线 与圆 相交于 , 两点( 为坐标原点),且 为等腰直角三角形,则实数 的值为________. (14)已知 , 是实数,给出下列四个论断:① ;② ;③ ;④ . 以其中两个论断作为条件,余下的论断中选择一个作为结论,写出一个正确的命题: ________. (15)已知函数 ( 为常数).若 ,则 ________;若函数 存在最大值,则 的取值范围是________. (16) 年 月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得 到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明 史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规 律.已知样本中碳 的质量 随时间 (单位:年)的衰变规律满足 ( 表示碳 原有的质量),则经过 年后,碳 的质量变为原来的________; 经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳 的质量是原来的 至 ,据此推测良渚古城 存在的时期距今约在________年到 年之间.(参考数据: ) 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (17)(本小题 13 分) 在 中, ,点 在 边上,且 , . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 ,求 的值. (18)(本小题 13 分) 已知 是各项均为正数的等比数列, , . (Ⅰ)求 的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和 ,并求 的最大值. (19)(本小题 14 分) 如图,在四棱锥 中,侧面 是等边三角形,且 平 面 平 面 , 为 的 中 点 , , 2 0x y a− + = 2 2: 2O x y+ = A B O AOB△ a a b a b> 1 1 a b < 0a > 0b > 2 1 , , ( ) ,e ≥x a x x a f x x x a−  > 2(1, )2P ( 2,0)Q − C F l C A B l FP E F AB FE⋅ ln( ) xf x x a = + ( 0)a > ( )y f x= (1, (1))f 1=a 1( ) 2 ≤ xf x − )(xf { }na { }nb { }nc n ∗∀ ∈ N 1 | | | |n n na b c+ = − 1 | | | |n n nb c a+ = − 1 | | | |n n nc a b+ = − max{| |,| |,| |}n n n nd a b c= { }max , ,x y z 3 x y z 1 1a = 2 2b = 3 3c = 1b 1c 1 1a = 1 2b = 2 3d d= 1c 1a 1b 1c 1| |a 1| |b 1| |c k { }na { }nb { }nc k 0北京市朝阳区 2019~2020 学年度第一学期高三年级期中质量检测 数学参考答案 2019.11 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项) (1)C(2)C (3)D (4)B (5)D (6)B (7)B(8)D (9)A(10)B 第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (11) (12) , (13) (14)若 , ,则 .(答案不唯一) (15) ; (16) ; 三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) (17)(本小题 13 分) 解:(Ⅰ)因为 ,所以 . 在 中, , , , 由余弦定理 ,得 . 所 以 . ………6 分 (Ⅱ)在 中, , , , 由余弦定理 ,得 . 由正弦定理 ,得 , 所以 .………13 分 (18)(本小题 13 分) 解:(Ⅰ)设 的公比为 ,因为 , 2 7AB = 3− 1 6 3 5± a b> 0b > 1 1 a b < 1 2 ( ,0]−∞ 1 2 4011 60APC∠ =  120APB∠ =  ABP△ 120APB∠ =  2=BP 2 2 2 2 cosAB AP BP AP BP APB= + − ⋅ ∠ 2 2 24 0AP AP+ − = 4AP = △APC 4AP = 1PC = 60APC∠ =  2 2 2 2 cosAC AP PC AP PC APC= + − ⋅ ∠ 13AC = sin sin AP AC ACP APC =∠ ∠ 4 13 sin sin 60ACP =∠  2 39sin 13ACP∠ = { }na q 1 3 216,2 3 32a a a+ ==所以 . 解得 (舍去)或 . 因此 的通项公式为 .………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 , 当 时, , 故 是首项为 ,公差为 的单调递减等差数列. 则 . 又 ,所以数列 的前 项为正数, 所 以 当 或 时 , 取 得 最 大 值 , 且 最 大 值 为 .……………13 分 (19)(本小题 14 分) 解:(Ⅰ)如图,取 中点 ,连结 . 因为 为 中点, , 所以 , . 又因为 , , 所以 , , 所以四边形 为平行四边形. 所以 . 又因为 平面 , 平面 , 所以 平面 .………4 分 (Ⅱ)取 中点 ,连结 , .因为 为等边 三角形,所以 . 又因为平面 平面 ,平面 平面 , 所以 平面 . 因为 , , 所以四边形 为平行四边形. 因为 ,所以 . 如图建立空间直角坐标系 , 则 . 所以 . 设平面 的一个法向量为 , 22 2 03q q − =+ 2q = − 1 2q = { }na 1 5116 ( ) 22 n n na − −= × = 23(5 )log 2 15 3nb n n= − = − 2≥n 1 3n nb b −− = − { }nb 1 12b = 3− 21 312 ( 1)( 3) ( 9 )2 2nS n n n n n= + − − = − − 5 0b = { }nb 4 4n = 5 nS 4 5 30S S= = PA F ,EF BF E PD 4AD = //EF AD 1 22EF AD= = //BC AD 2BC = //EF BC =EF BC EFBC //CE BF CE ⊄ PAB BF ⊂ PAB //CE PAB AD O OP OB △PAD PO OD⊥ PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD = AD PO ⊥ ABCD / /OD BC 2OD BC= = BCDO CD AD⊥ OB OD⊥ O xyz− (0, 2,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,1, 3), (0,0,2 3)A B C E P− (2,4,0), (0,3, 3)AC AE= =  ACE 1 ( , , )x y z=n F P A B D E C P E D y C x B A则 即 令 ,则 . 显然,平面 的一个法向量为 , 所以 . 由题知,二面角 为锐角, 所以二面角 的余弦值为 .………10 分 (Ⅲ)直线 上存在点 ,使得 平面 .理由如下: 设 .因为 , , 所以 , . 因为 平面 ,所以 平面 当且仅当 . 即 ,解得 . 所以直线 上存在点 ,使得 平面 ,此时 .…………14 分 (20)(本小题 13 分) 解:(Ⅰ)因为椭圆 过点 , , 所以 得 故椭圆 的标准方程为 .………4 分 (Ⅱ)由题易知直线 的斜率不为 0,设 : , 由 得 ,显然 . 设 , 则 . 又 . 1 1 0, 0, AC AE  ⋅ = ⋅ =   n n 2 4 0, 3 3 0. x y y z + = + = 2x = − 1 ( 2,1, 3)= − −n ACD 2 (0,0,1)=n 1 2 1 2 1 2 3 6cos , 42 2 ⋅ −< >= = = −n nn n n n E AC D− − E AC D− − 6 4 AB Q //PQ ACE AQ ABλ=  (2,2,0)AB = (0, 2, 2 3)PA = − − (2 ,2 ,0)AQ ABλ λ λ= =  (2 ,2 2, 2 3)PQ PA AQ λ λ= + = − −   PQ ⊄ ACE //PQ ACE 1 0PQ ⋅ = n (2 ,2 2, 2 3) ( 2,1, 3) 0λ λ − − ⋅ − − = 2λ = AB Q //PQ ACE 2AQ AB = :C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2(1, )2P ( 2,0)Q − 2 2 2, 1 1 1,2 a a b  = + = 2, 1, a b  = = C 2 2 12 x y+ = l l 1x ty= + 2 2 1, 1,2 x ty x y = + + = 2 2( 2) 2 1 0t y ty+ + − = 0∆ > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 22 2 2 1,2 2 ty y y yt t − −+ = =+ + 2 1 21AB t y y= + −以 为直径的圆的圆心坐标为 ,半径为 , 故圆心到直线 的距离为 . 所以 . 所以 , 因为 ,所以 ,即 . 所以 . 当 时,直线与椭圆有交点,满足题意,且 , 所以 的最大值为 .…………13 分 (21)(本小题 14 分) 解:函数 的定义域为 , . (Ⅰ)因为 , , 所以曲线 在点 处的切线方程为 , 即 .………4 分 (Ⅱ)当 时, . FP 2(1, )4 2 4r = l 2 2 2 21 14 4 1 1 t t d t t − − = = + + 2 2 2 2 2 1 1 2 12 2 8 8 1 2 1 tFE r d t t = − = − ⋅ =+ + 1 2 2 2AB FE y y⋅ = − 2 1 2 1 2 2 ( ) 42 y y y y= + − 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 8 8 2 ( 2) 2 2 ( 2) t t t t t += + =+ + + 2 2 2 2 2 1 12 2 1( 2) ( 1) 21 t t t t += =+ + + ++ 2 1 1≥t + 2 2 1( 1) 21 ≥t t + + + 2 2 1 1 1 4( 1) 21 ≤ t t + + ++ 12 14 ≤AB FE⋅ = 0t = 1AB FE⋅ = AB FE⋅ 1 ( )f x )0( ∞+, 2 ln 1 ( ) ( ) ax xf x x a − + + ′ = + (1) 0f = 1(1) 1f a ′ = + ( )y f x= (1, (1))f 10 ( 1)1y xa − = −+ ( 1) 1 0x a y− + − = 1=a ln( ) 1 xf x x = +欲证 , 即证 , 即证 . 令 , 则 . 当 变化时, 变化情况如下表: ↗ 极大值 ↘ 所以函数 的最大值为 ,故 . 所以 .………9 分 (Ⅲ)函数 在定义域内不是单调函数.理由如下: 令 , 因为 , 所以 在 上单调递减. 注意到 . 且 . 所以存在 ,使得 . 当 时, ,从而 ,所以函数 在 上单调递 增; 当 时, ,从而 ,所以函数 在 上单 1( ) 2 ≤ xf x − ln 1 1 2 ≤x x x − + 22ln 1 0≤x x− + 2( ) 2ln 1h x x x= − + 2 2( 1)( 1)( ) 2 x xh x xx x − − +′ = − = x ( ), ( )h x h x′ x (0,1) 1 (1, )+∞ )(xh′ + 0 − )(xh )(xh (1) 0h = ( ) 0≤h x 1( ) 2 ≤ xf x − )(xf ( ) ln 1ag x x x = − + + 2 2 1( ) 0a x ag x x x x +′ = − − = − < )(xg (0, )+∞ (1) +1 0g a= > 1 1 1 1 1(e ) ln e 1 ( 1) 0e e a a a a ag a+ + + += − + + = − < 1(1,e )am +∈ ( ) 0g m = (0, )x m∈ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )m ( , )x m∈ +∞ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x ( , )m +∞调递减. 故函数 在定义域内不是单调函数.………14 分 (22)(本小题 13 分) 解:(Ⅰ)由 ,得 ,所以 ; 由 ,得 ,所以 , 又 ,故 , , . 所以 , 的所有可能值为 , ; , ; , ; , .………3 分 (Ⅱ)若 , ,记 则 , , , , 当 时 , , , 由 , 得 ,不符合; 当 时 , , 由 ,得 ,符合; 当 时, , 由 ,得 ,符合; 综 上 , 的 所 有 取 值 是 . ………8 分 (Ⅲ)先证明“存在正整数 ,使 中至少有一个为 0”. 假设对任意正整数 , 都不为 0, 由 是非零整数,且 互不相等,得 , . 若对任意 , 都不为 0,则 , 即对任意 , . 当 时, , )(xf 2 1 1| | | |b c a= − 1| | 1 2c − = 1 3c = ± 3 2 2| | | |c a b= − 2| | 2 3a − = 2 5a = ± 2 1 1 1| | | | | | 3 3≥a b c b= − = − − 2 5a = 1| | 8b = 1 8b = ± 1b 1c 1 8b = 1 3c = 1 8b = 1 3c = − 1 8b = − 1 3c = 1 8b = − 1 3c = − 1 1a = 1 2b = 1 ,c x= 2 2 22 | |, | | 1, 1a x b x c= − = − = − 2 2 | |,0 | | 1, 1, 1 | | 2, | | 1,| | 2, ≤ ≤ ≥ x x d x x x −

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