北京市朝阳区 2019~2020 学年度第一学期高三年级期中 数学试卷
2019.11
(考试时间 120 分钟满分 150 分)
本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并
交回.
第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项。
(1)已知集合 , ,则
(A) (B)
(C) (D)
(2)已知 ,且 ,则
(A) (B)
(C) (D)
(3)下列函数中,既是奇函数又在区间 上单调递增的是
(A) (B)
(C) (D)
(4)关于函数 有下述三个结论:
①函数 的最小正周期为 ;
②函数 的最大值为 ;
③函数 在区间 上单调递减.
其中,所有正确结论的序号是
(A)①② (B)①③(C)②③ (D)①②③
(5)已知 , 是两个不同的平面,直线 ,下列命题中正确的是
(A)若 ,则 (B)若 ,则
(C)若 ,则 (D)若 ,则
(6)已知函数 恰有两个零点,则实数 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
(7)已知 为等比数列,则“ ”是“ 为递减数列”的
2{ 4}A x x= ∈ { }na(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(8) 设 , 为 椭 圆 : 的 两 个 焦 点 , 为 上 一 点 且 在 第 二 象 限.若
为等腰三角形,则点 的横坐标为
(A) (B) (C) (D)
(9)在 中, , ,点 在 边上,且 ,则
的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
(10)已知集合 , 满足:(ⅰ) , ;
(ⅱ) ,若 且 ,则 ;
(ⅲ) ,若 且 ,则 .
给出以下命题:
① 若集合 中没有最大数,则集合 中有最小数;
② 若集合 中没有最大数,则集合 中可能没有最小数;
③ 若集合 中有最大数,则集合 中没有最小数;
④ 若集合 中有最大数,则集合 中可能有最小数.
其中,所有正确结论的序号是
(A)①③ (B)②③ (C)③④ (D)①④
第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
(11)已知向量 , ,且 ,则 ________.
(12)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为________,最长棱的长度为
________.
1F 2F C
2 2
19 5
x y+ = M C
1 2△MF F M
3
2
15
2
15
2
− 3
2
−
△ABC 90BAC∠ = 2BC = P BC ( ) 1AP AB AC⋅ + = AP
1( , 1]2
1[ ,1]2
2( ,1]2
2[ ,1]2
A B A B = Q A B = ∅
1x A∀ ∈ 2x ∈Q 2 1x x< 2x A∈
1y B∀ ∈ 2y ∈Q 2 1y y> 2y B∈
A B
A B
A B
A B
(1, 1)= −a (3, )m=b //a b =m
(第 12 题图)
1
1
1
俯视图
侧(左)视图正(主)视图(13)已知直线 与圆 相交于 , 两点( 为坐标原点),且
为等腰直角三角形,则实数 的值为________.
(14)已知 , 是实数,给出下列四个论断:① ;② ;③ ;④ .
以其中两个论断作为条件,余下的论断中选择一个作为结论,写出一个正确的命题:
________.
(15)已知函数 ( 为常数).若 ,则 ________;若函数
存在最大值,则 的取值范围是________.
(16) 年 月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得
到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明
史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规
律.已知样本中碳 的质量 随时间 (单位:年)的衰变规律满足
( 表示碳 原有的质量),则经过 年后,碳 的质量变为原来的________;
经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳 的质量是原来的 至 ,据此推测良渚古城
存在的时期距今约在________年到 年之间.(参考数据: )
三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(17)(本小题 13 分)
在 中, ,点 在 边上,且 , .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ,求 的值.
(18)(本小题 13 分)
已知 是各项均为正数的等比数列, , .
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和 ,并求 的最大值.
(19)(本小题 14 分)
如图,在四棱锥 中,侧面 是等边三角形,且
平 面 平 面 , 为 的 中 点 , ,
2 0x y a− + = 2 2: 2O x y+ = A B O
AOB△ a
a b a b> 1 1
a b
< 0a > 0b >
2
1
, ,
( )
,e
≥x
a x x a
f x x x a−
> 2(1, )2P ( 2,0)Q −
C
F l C A B l FP
E F AB FE⋅
ln( ) xf x x a
= + ( 0)a >
( )y f x= (1, (1))f
1=a 1( ) 2
≤ xf x
−
)(xf
{ }na { }nb { }nc n ∗∀ ∈ N 1 | | | |n n na b c+ = − 1 | | | |n n nb c a+ = −
1 | | | |n n nc a b+ = − max{| |,| |,| |}n n n nd a b c= { }max , ,x y z 3 x y z
1 1a = 2 2b = 3 3c = 1b 1c
1 1a = 1 2b = 2 3d d= 1c
1a 1b 1c 1| |a 1| |b 1| |c k
{ }na { }nb { }nc k 0北京市朝阳区 2019~2020 学年度第一学期高三年级期中质量检测
数学参考答案 2019.11
第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题
目要求的一项)
(1)C(2)C (3)D (4)B (5)D
(6)B (7)B(8)D (9)A(10)B
第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
(11) (12) , (13)
(14)若 , ,则 .(答案不唯一)
(15) ; (16) ;
三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
(17)(本小题 13 分)
解:(Ⅰ)因为 ,所以 .
在 中, , , ,
由余弦定理 ,得
.
所 以
. ………6 分
(Ⅱ)在 中, , , ,
由余弦定理 ,得 .
由正弦定理 ,得
,
所以 .………13 分
(18)(本小题 13 分)
解:(Ⅰ)设 的公比为 ,因为 ,
2 7AB =
3− 1
6 3 5±
a b> 0b > 1 1
a b
<
1
2 ( ,0]−∞ 1
2 4011
60APC∠ = 120APB∠ =
ABP△ 120APB∠ = 2=BP
2 2 2 2 cosAB AP BP AP BP APB= + − ⋅ ∠
2 2 24 0AP AP+ − =
4AP =
△APC 4AP = 1PC = 60APC∠ =
2 2 2 2 cosAC AP PC AP PC APC= + − ⋅ ∠ 13AC =
sin sin
AP AC
ACP APC
=∠ ∠
4 13
sin sin 60ACP
=∠
2 39sin 13ACP∠ =
{ }na q 1 3 216,2 3 32a a a+ ==所以 .
解得 (舍去)或 .
因此 的通项公式为 .………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,
当 时, ,
故 是首项为 ,公差为 的单调递减等差数列.
则 .
又 ,所以数列 的前 项为正数,
所 以 当 或 时 , 取 得 最 大 值 , 且 最 大 值 为
.……………13 分
(19)(本小题 14 分)
解:(Ⅰ)如图,取 中点 ,连结 .
因为 为 中点, ,
所以 , .
又因为 , ,
所以 , ,
所以四边形 为平行四边形.
所以 .
又因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 .………4 分
(Ⅱ)取 中点 ,连结 , .因为 为等边
三角形,所以 .
又因为平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 .
因为 , ,
所以四边形 为平行四边形.
因为 ,所以 .
如图建立空间直角坐标系 ,
则 .
所以 .
设平面 的一个法向量为 ,
22 2 03q q − =+
2q = − 1
2q =
{ }na 1 5116 ( ) 22
n n
na − −= × =
23(5 )log 2 15 3nb n n= − = −
2≥n 1 3n nb b −− = −
{ }nb 1 12b = 3−
21 312 ( 1)( 3) ( 9 )2 2nS n n n n n= + − − = − −
5 0b = { }nb 4
4n = 5 nS
4 5 30S S= =
PA F ,EF BF
E PD 4AD =
//EF AD 1 22EF AD= =
//BC AD 2BC =
//EF BC =EF BC
EFBC
//CE BF
CE ⊄ PAB BF ⊂ PAB
//CE PAB
AD O OP OB △PAD
PO OD⊥
PAD ⊥ ABCD PAD ABCD = AD
PO ⊥ ABCD
/ /OD BC 2OD BC= =
BCDO
CD AD⊥ OB OD⊥
O xyz−
(0, 2,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,1, 3), (0,0,2 3)A B C E P−
(2,4,0), (0,3, 3)AC AE= =
ACE 1 ( , , )x y z=n
F
P
A
B
D
E
C
P
E
D y
C
x
B
A则 即
令 ,则 .
显然,平面 的一个法向量为 ,
所以 .
由题知,二面角 为锐角,
所以二面角 的余弦值为 .………10 分
(Ⅲ)直线 上存在点 ,使得 平面 .理由如下:
设 .因为 , ,
所以 , .
因为 平面 ,所以 平面 当且仅当 .
即 ,解得 .
所以直线 上存在点 ,使得 平面 ,此时 .…………14
分
(20)(本小题 13 分)
解:(Ⅰ)因为椭圆 过点 , ,
所以 得
故椭圆 的标准方程为 .………4 分
(Ⅱ)由题易知直线 的斜率不为 0,设 : ,
由 得 ,显然 .
设 ,
则 .
又 .
1
1
0,
0,
AC
AE
⋅ = ⋅ =
n
n
2 4 0,
3 3 0.
x y
y z
+ = + =
2x = − 1 ( 2,1, 3)= − −n
ACD 2 (0,0,1)=n
1 2
1 2
1 2
3 6cos , 42 2
⋅ −< >= = = −n nn n n n
E AC D− −
E AC D− − 6
4
AB Q //PQ ACE
AQ ABλ= (2,2,0)AB = (0, 2, 2 3)PA = − −
(2 ,2 ,0)AQ ABλ λ λ= = (2 ,2 2, 2 3)PQ PA AQ λ λ= + = − −
PQ ⊄ ACE //PQ ACE 1 0PQ ⋅ = n
(2 ,2 2, 2 3) ( 2,1, 3) 0λ λ − − ⋅ − − = 2λ =
AB Q //PQ ACE 2AQ
AB
=
:C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2(1, )2P ( 2,0)Q −
2 2
2,
1 1 1,2
a
a b
= + =
2,
1,
a
b
= =
C
2
2 12
x y+ =
l l 1x ty= +
2
2
1,
1,2
x ty
x y
= + + =
2 2( 2) 2 1 0t y ty+ + − = 0∆ >
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
1 2 1 22 2
2 1,2 2
ty y y yt t
− −+ = =+ +
2
1 21AB t y y= + −以 为直径的圆的圆心坐标为 ,半径为 ,
故圆心到直线 的距离为 .
所以 .
所以
,
因为 ,所以 ,即 .
所以 .
当 时,直线与椭圆有交点,满足题意,且 ,
所以 的最大值为 .…………13 分
(21)(本小题 14 分)
解:函数 的定义域为 , .
(Ⅰ)因为 , ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,
即 .………4 分
(Ⅱ)当 时, .
FP 2(1, )4
2
4r =
l 2 2
2 21 14 4
1 1
t t
d
t t
− −
= =
+ +
2
2 2
2 2
1 1 2 12 2 8 8 1 2 1
tFE r d t t
= − = − ⋅ =+ +
1 2
2
2AB FE y y⋅ = − 2
1 2 1 2
2 ( ) 42 y y y y= + −
2 2
2 2 2 2 2
2 4 4 2 8 8
2 ( 2) 2 2 ( 2)
t t
t t t
+= + =+ + +
2
2 2
2
2
1 12 2 1( 2) ( 1) 21
t
t t t
+= =+ + + ++
2 1 1≥t + 2
2
1( 1) 21
≥t t
+ + + 2
2
1 1
1 4( 1) 21
≤
t t
+ + ++
12 14
≤AB FE⋅ =
0t = 1AB FE⋅ =
AB FE⋅ 1
( )f x )0( ∞+, 2
ln 1
( ) ( )
ax xf x x a
− + +
′ = +
(1) 0f = 1(1) 1f a
′ = +
( )y f x= (1, (1))f 10 ( 1)1y xa
− = −+
( 1) 1 0x a y− + − =
1=a ln( ) 1
xf x x
= +欲证 ,
即证 ,
即证 .
令 ,
则 .
当 变化时, 变化情况如下表:
↗ 极大值 ↘
所以函数 的最大值为 ,故 .
所以 .………9 分
(Ⅲ)函数 在定义域内不是单调函数.理由如下:
令 ,
因为 ,
所以 在 上单调递减.
注意到 .
且 .
所以存在 ,使得 .
当 时, ,从而 ,所以函数 在 上单调递
增;
当 时, ,从而 ,所以函数 在 上单
1( ) 2
≤ xf x
−
ln 1
1 2
≤x x
x
−
+
22ln 1 0≤x x− +
2( ) 2ln 1h x x x= − +
2 2( 1)( 1)( ) 2 x xh x xx x
− − +′ = − =
x ( ), ( )h x h x′
x (0,1) 1 (1, )+∞
)(xh′ + 0 −
)(xh
)(xh (1) 0h = ( ) 0≤h x
1( ) 2
≤ xf x
−
)(xf
( ) ln 1ag x x x
= − + +
2 2
1( ) 0a x ag x x x x
+′ = − − = − <
)(xg (0, )+∞
(1) +1 0g a= >
1 1
1 1
1(e ) ln e 1 ( 1) 0e e
a a
a a
ag a+ +
+ += − + + = − <
1(1,e )am +∈ ( ) 0g m =
(0, )x m∈ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )m
( , )x m∈ +∞ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x ( , )m +∞调递减.
故函数 在定义域内不是单调函数.………14 分
(22)(本小题 13 分)
解:(Ⅰ)由 ,得 ,所以 ;
由 ,得 ,所以 ,
又 ,故 , , .
所以 , 的所有可能值为
, ;
, ;
, ;
, .………3 分
(Ⅱ)若 , ,记
则 ,
, , ,
当 时 , , , 由 , 得
,不符合;
当 时 , ,
由 ,得 ,符合;
当 时, ,
由 ,得 ,符合;
综 上 , 的 所 有 取 值 是
. ………8 分
(Ⅲ)先证明“存在正整数 ,使 中至少有一个为 0”.
假设对任意正整数 , 都不为 0,
由 是非零整数,且 互不相等,得 , .
若对任意 , 都不为 0,则 ,
即对任意 , .
当 时,
,
)(xf
2 1 1| | | |b c a= − 1| | 1 2c − = 1 3c = ±
3 2 2| | | |c a b= − 2| | 2 3a − = 2 5a = ±
2 1 1 1| | | | | | 3 3≥a b c b= − = − − 2 5a = 1| | 8b = 1 8b = ±
1b 1c
1 8b = 1 3c =
1 8b = 1 3c = −
1 8b = − 1 3c =
1 8b = − 1 3c = −
1 1a = 1 2b = 1 ,c x=
2 2 22 | |, | | 1, 1a x b x c= − = − = − 2
2 | |,0 | | 1,
1, 1 | | 2,
| | 1,| | 2,
≤
≤
≥
x x
d x
x x
−