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2．2.1 用样本的频率分布估计总体分布
第1课时 用样本的频率分布估计总体分布(1)
课时目标
1.会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图．
2．能用频率分布直方图对总体分布规律进行估计．
识记强化
1．频率分布
样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比，就是该数据的频率．所有数据(或者数据组)的频率的分布，可以用频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图等来表示．
2．频率分布直方图
在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形面积的总和等于1.
3．频率分布折线图与总体密度曲线
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．
课时作业
一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
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A．频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率
B．频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1
C．频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大
D．频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的每个小矩形上端中点得到的
答案：A
2．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( )
A．落在相应各组的数据的频数
B．相应各组的频率
C．该样本所分成的组数
D．该样本的样本容量
答案：B
解析：因为其高为频率/组距，宽为组距，所以面积为频率，故选B.
3．对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是( )
A．频率分布折线图与总体密度曲线无关
B．频率分布折线图就是总体密度曲线
C．样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线
D．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线
答案：D
解析：总体密度曲线通常都是用样本频率分布估计出来的．因为如果样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线就是总体密度曲线．
4．已知样本：12,7,11,12,11,12,10,10,9,8,13,12,10,9,6,11,8,9,8,10，那么频率为0.25的样本的范围是( )
A．[5.5,7.5) B．[7.5,9.5)
C．[9.5,11.5) D．[11.5,13.5)
答案：D
解析：[5.5,7.5)的频率为＝0.1，
[7.5,9.5)的频率为＝0.3，
[9.5,11.5)的频率为＝0.35，
[11.5,13.5)的频率为1－0.1－0.3－0.35＝0.25.
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5．下图为某市企业缴纳利税频率直方图，由于不慎最高一组矩形的高及数据被抹掉了，最高一组矩形的高为( )
A．0.01 B．0.02
C．0.03 D．0.04
答案：B
解析：由图可计算出第一、二、四、五小组频率分别为0.1，0.16，0.24，0.1，所以最高一组频率为1－0.1－0.16－0.24－0.1＝0.4，其矩形的高为＝0.02.
6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60]元的同学有30人，则n的值为( )
A．100 B．1000
C．90 D．900
答案：A
解析：支出在[50,60]元的同学的概率为0.03×10＝0.3，因此n＝＝100.
二、填空题
7．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
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答案：600
8．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如下)，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是________．
答案：70
解析：可由图先求出小于110cm的频率之和，即(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，故所求株数为100×0.7＝70(株)．
9．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18)，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16,18]的学生人数是________．
答案：54
解析：成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为＝，所以成绩在[16,18]的学生人数为120×＝54.
三、解答题
10．某班英语考试得分情况如下：
考试成绩/分
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
合计
人数
5
11
17
11
6
50
(1)试列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
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解：(1)
(2)
11．为了了解学生的身体发育情况，某校对年满16周岁的60名男生的身高进行测量，其结果如下：
身高(m)
1.57
1.59
1.60
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.68
人数
2
1
4
2
3
4
2
7
6
身高(m)
1.69
1.70
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
1.76
1.77
人数
8
7
4
3
2
1
2
1
1
(1)根据上表，估计这所学校，年满16周岁的男生中，身高不低于1.65m且不高于1.71m的约占多少？不低于1.63m的约占多少？
(2)将测量数据分布6组，画出样本频率分布直方图；
(3)根据图形说出该校年满16周岁的男生身高在哪一范围内的人数所占的比例最大？如果年满16周岁的男生有360人，那么在这个范围的人数估计约有多少人？
解：(1)计算各个身高数据的频率，不低于1.65m且不高于1.71m的占56.7%，不低于1.63m的占85%.
(2)样本频率分布直方图略．
(3)在不低于1.66m且不高于1.70m范围内的男生人数所占比例最大，全校在这个范围内的人数估计有168人．
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能力提升
12．下图是样本容量为200的频率分布直方图．
根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[2,10)内的频率约为________．
答案：64 0.4
解析：频数为200×(0.08×4)＝64，数据落在区间[2,10)内的频率约为0.02×4＋0.08×4＝0.4.
13．为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组及频率如下表：
分组
频数
频率
[10.75,10.85)
3
[10.85,10.95)
9
[10.95,11.05)
13
[11.05,11.15)
16
[11.15,11.25)
26
[11.25,11.35)
20
[11.35,11.45)
7
[11.45,11.55)
4
[11.55,11.65)
2
合计
100
(1)完成上面的频率分布表；
(2)根据上表画出频率分布直方图；
(3)根据上表和图，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的概率约是多少？
(4)数据小于11.20的概率约是多少？
解：(1)
分组
频数
频率
[10.75,10.85)
3
0.03
[10.85,10.95)
9
0.09
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[10.95,11.05)
13
0.13
[11.05,11.15)
16
0.16
[11.15,11.25)
26
0.26
[11.25,11.35)
20
0.20
[11.35,11.45)
7
0.07
[11.45,11.55)
4
0.04
[11.55,11.65)
2
0.02
合计
100
(2)频率分布直方图略．
(3)根据落在[10.95,11.35)范围内的概率为：0.13＋0.16＋0.26＋0.20＝0.75.
(4)由图可知，数据小于11.20的概率约为0.54.
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