2019-2020 学年度第一学期期中考试
高三数学(理科）
本试卷分为第 I 卷和第 II 卷，试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考试范围：【集合、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式】
第 I 卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.已知集合 A＝{x|x＜1}，B＝{x| ＜1}，则（ ）
2. 若函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a 等于( )
A.2 B． 1 C． D． －
3 .若 x∈（0，1），a＝lnx，b＝ ，c＝ ,则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 正三角形 ABC 中,D 是线段 BC 上的点,AB=6, BD=2,则 （ ）
A.12 B. 18 C. 24 D. 30
6. 在下列给出的四个结论中,正确的结论是( )
A. 已知函数 在区间 内有零点,则
B.
C.
3x
{ }. |x .D A B∩ = Φ
( )( )2 1 2
x
x x a+ −
1
2
1
2
ln1
2
x
ln xe
24. ( ) 2 3 - -3]
1 ( 2)2
f x x ax a A
x a x ax
= + − ∞
+ ≥ > ∈ ∈−
记 函 数 在 区 间 （ ， 上 单 调 递 减 时 的 取 值 集 合 为 ， 不 等 式
恒 成 立 时 实 数 的 取 值 集 合 为 B， 则 " x A" 是 " x B" 的 （ ）
AB AD⋅ =
( )f x ( , )a b ( ) ( ) 0f a f b 已知函数 在区间（ ， ）内有且只有一个
极值点，则 的取值范围为（ ）
5.(0, ]12A 11.(0, ]12B 5 11.( , ]12 12C 5 11.[ , ]12 12D
2
2
3 111. ( ) log ( 1 )f x x x a b
= + − +已知函数 ，若对任意的正数a、b, 满足f ( a) +f ( 3b- 1) =0则 的
最小值为（ ）
' 23 312. ( ) (1) 1, 2 ( ) 1, [ , ] (2cos ) 2sin2 2 2 2
xR f x f f x x f x
π π= > ∈ − + >定义在 上的可导函数 满足 且 当 时，不等式
的解集为（ ）
4.( )3 3A
π π， 4.( )3 3B
π π− ， .(0 )3C
π， .( )3 3D
π π− ，二、填空题（本题共 4 道小题，每题 5 分,共 20 分,其中第 16 题第一空 2 分,第二空 3 分,请
将正确的答案填在横线上）
16.将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 三种，其中 3×4 是这三种分解中
两数差的绝对值最小的，我们称 3×4 为 12 的最佳分解.当 是正整数
n 的最佳分解时我们定义
三、解答题（第 17 题 10 分，第 18 题至 22 题每题 12 分，共计 70 分）
{ }
.1),(log2
1
222.17
n
1
2
1
TnbbNnab
a
a
nn
nn
n
n
n
项和的前求数列）若（
的通项公式；）求数列（
为公比的等比数列，为首项，是以已知数列
∈=
+
∗
−
.(2019)f...(2)f(1)f2)(
)()1(
.4),21(
)(,20,0),2
2,2
2()),(2cos2,2(.19
的值计算
的单调递减区间；求函数
离为与其相邻的最高点的距点，的图像过点
函数其中已知向量
+++
⋅= > ≠ ≠
= =
∀
=
≥ −
< < > −
∈
=
①求方程
②若对 不等
已知函数
当 时
的根；
恒成立，求实数 的最大值；
（ ）若 函数 有且只有 个零点，求 的值
式2019-2020 学年度第一学期期中考试
高三数学(理科）答案
一、选择题
1. A
【解析】：∵集合 A={x|x＜1}，
B={x|3x＜1}={x|x＜0}，
∴A∩B={x|x＜0}，所以 A 正确，D 错误，A∪B={x|x＜1}，所以 B 和 C 都错误。
2. B
【解析】：由题意得 f(－x)＝－f(x)，
则 ＝ ＝－ ，
则－4x2＋(2－2a)x＋a＝－4x2－(2－2a)x＋a，
所以 2－2a＝－(2－2a)，所以 a＝1.
3. A
【解析】：利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（ ）lnx＞（ ）0＝1，
0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c 的大小关系为 b＞c＞a．故选：A．
4.B
【解析】 函数 在区间 上单调递减,
, 即 , 不 等 式 恒 成 立 等 价 于
,又 当 时, ,
,
当且仅当 时即 时等号成立,符合条件,
， ,即 , ,
1
2
1
2“ ”是“ ”是的充分不必要条件,故选 B．
5. D
【解析】：先用 表示出 ，再计算数量积．
因为 ， ，则 , ,
所以
6. C
【解析】： 已知函数 在区间 内有零点,没有强调 是否单调,所以 的值可
能是正数,可以是负数,也可能是 0,故 A 错误；
B.若 3 是 与 的等比中项,则 , ,故 B 错误；
C. ,则 ,所以 ,故 C 正确；
D.已知角 终边经过点 ,则 ,故 D 错误．故选 C．
7.【答案】C
【解析】解：向量 , ,且 ,
,
由等比数列的性质可得： ,
则 ．
故选：C．
8.B
【解析】：由正弦定理得
得 ,所以 ．
又 ,得 ．所以 ．故选 B．
1 2 1 22 , 3 6m e e n e e= − = − 9.D
【解析】： 在 上是减函数,
在 恒成立,
, , ,故选：D．
10. C
【解析】： 函数 ,
由于 ,所以 ,
根据函数的图象得知： 在区间 内有且只有一个极值点,
根据函数的单调性,所以 且 ,所以 ,故选：C．．
11. C
【解析】：先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得 ，最
后根据基本不等式求最值.
因为 所以定义域为 ，
因为 ，所以 为减函数
因为 ， ,所以 为奇函数，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，因为 ，
所以 （当且仅当 ， 时，等号成立）
12.D
【解析】：令 ,则 在定义域 R 上是增函数,且, ,
令 , 则 , 即 , 又 , 且
,故选 D．
二、填空题
【解析】： ∵ ＋α＋ －α＝ ，∴ －α＝ － .
∴cos ＝cos ＝sin ＝ .
14. 5x-y-2=0
【解析】：
函数 ，若 为奇函数，可得 ，所以函数 ，
可得 ， ；曲线 在点 处的切线的斜率为 5,
则曲线 在点 处的切线方程为： ．即 5x-y-2=0
【解析】：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： = ，
16. 3；51010-1
【解析】：88=11×8=2×44=1×88=4×22，可得 f（88）=11-8=3；
当 n 为偶数时，
313. 3
15.3 2当 n 为奇数时，
三、解答题
17. 【答案】(1) ；(2)
【详解】（1）由等比数列通项公式得：
.......................................................2 分
............................................................4 分
（2）由（1）可得： .................................6 分
.............................8 分
..........10 分
18. 【答案】（1） （2）
【详解】
（1） ， ，...............1 分
所以原式整理为 ,
解得： （舍）或 ........................................3 分
, ;.....................................................5 分
（2） ，解得 ，.......................7 分
根据余弦定理 ......9 分
2 12 n
na −=
2 1n
nT n
= +
1
1 2 2 22
n nn
n
a −
− = ⋅ =
2 12 n
na −∴ =
2 1
2log 2 2 1n
nb n−= = −
( )( )1
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2 1n nb b n n n n+
∴ = = − − + − +
1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n
nT n n n n
∴ = − + − +⋅⋅⋅+ − = − = − + + +
3
πΑ = 9
13
A B C π+ + = ( )cos cosB C A∴ + = −
22cos 3cos 2 0A A+ − =
cos 2A = − 1cos 2A =
0 A π< 0，
当且仅当 ＝ ，即 t＝ －1 时等号成立，..................................11 分
故探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为 平方百米．...........12 分
2
2 2 2 22 1(1 ) ( )1 1
t tPQ CP CQ t t t
+∴ = + = − + =+ +
22 11 2,1 1
t tl CP CQ PQ t t t
+∴ = + + = − + + =+ + 是定值.
1 1 1(2) 1 1 1 12 2 1ABP ADQABCD
tS S S S t t∆ ∆
−= − − = × − × × − × × +正方形
1 2 1 11 ( 1 ) 2 ( )2 2 1 2 1
t t
t t
+= − − − + = − ++ +
1 1 1 12 ( ) 2 2 2 22 1 2 1
t tS t t
+ += − + ≤ − ⋅ = −+ +则
2 2−
221. 1 2 1
n
n n
na
⋅= −【答案】（）
1 1
1
2( 1)1 0, 2( 1) 1+ ......2n n n n n
n n
n na a na n a a a+ +
+
+≠ + = + =
【详解】
证明：（）由已知易得a 由 得 分
{ }
1 1
1
1 12 1, 1 1 2
1 11 2 2
n n
n
b b b a
b
+ = + − = − = −
∴ − −
即 又
是以 为首项，以 为公比的等比数列，. . . . . . . 4分
11 1 1 11 ( ) ( ) ( ) , 1 ( ) ,2 2 2 2
2 ..................................................................62 1
n n n
n
n
n
n n
nb a
na
−∴ − = − ⋅ = − = −
⋅= −
即
整理得 分
1 1 1(2) 1 ( ) , 1 .......................712 2 11 ( )2
n
n n n
n
b c= − ∴ = = + −− 分22【答案】（1）①x=0 ②m 的最大值为 4 （2）ab=1
【详解】：
一定存在唯一的变号零点, 为先减后增函数且有唯一极值 ........9 分
由题意 有且仅有一个零点,则 的极值一定为 0,
2 3
0 1 2 1
1
1 1 1 1... .....................82 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 1... ...........................................102 2 2 2
12 .................................................................2
n n
n
n
S n
n
n
−
−
∴ = + + + + +− − − −
≤ + + + + +
≤ + −
分
分
..11
2..............................................................................12n< +
分
分
2
x
12 ( ) 22
12 ( ) 2 (2 ) 2 2 1 0,
(
2 =1 0.............. .2
1)
.2
x x
x x x x x
+ =
+ = ∴ − ⋅ + = ∴ =
①由已知可得
即 解得 ， 分
1( ) , , t 2..................32
x x x x x xt− −+ = + = + ≥②f ( x) =2 2 2 令 2 2 则 分
2 2 2
2
(2 ) 2 2 2
(2 ) ( ) 6 2 6........................4
x xf x t
f x mf x t mt
−= + = −
≥ − − ≥ −
又
故 可化为 分
min
4 4 42 4( 2
4( ) 4, 4........................................................................6
m t t t tt t t
t mt
≤ + ≥ ∴ + ≥ ⋅ = =
∴ ≤ + =
即 ， t 2, 当且仅当 时等号成立）. . . . . . . . . 5分
m 即 的最大值为 分
'
(2) 0 1, 1
ln 0,ln 0
( ) ( ) 2 2, ( ) ln lnx x x x
a b
a b
g x f x a b g x a a b b
< < >
∴ < >
= − = + − = +
'
' '
'
ln ln ( )
( ) - + ( ) +
( )
x xa a b b g x
x g x x g x
g x
∴ ∴
→ −∞ → ∞ → ∞ → ∞
∴
单调递增， 单调递增, 为单调递增函数. . . . . . . . . . . . . . . . 7分
又 时， ， 时，
是值域为R的函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8分
' ( )g x∴ ( )g x∴ 0x
( )g x ( )g x 0( ) 0g x =即
0 0 '
0(0) 2 0, 0, (0) 0
ln ln 0, 1........................................................12
g a b g
a b ab
= + − = = ∴ =
+ = ∴ =
而 故极值点x
即 分
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