2019-2020 学年度第一学期期中考试
高三数学（文科）
本试卷分为第 I 卷和第 II 卷，试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考试范围：【集合、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式】
第 I 卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 A＝{x|x＜1}，B＝{x| ＜1}，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a 等于( )
A． 2 B． 1 C． D． －
3. 若 x∈（0，1），a＝lnx，b＝ ，c＝ ,则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c
A.y=5x-2 B.y=x+2 C.y=-5x+8 D y=-x+4
5. 正三角形 ABC 中,D 是线段 BC 上的点,AB=6, BD=2,则 （ ）
A.12 B. 18 C. 24 D. 30
6. 在下列给出的四个结论中,正确的结论是( )
A. 已知函数 在区间 内有零点,则
B.
C.
D. 已知角 终边经过点 (3,-4),则
3x
{ }| 0A B x x= A B = Φ
( )( )2 1 2
x
x x a+ −
1
2
1
2
ln1
2
x
ln xe
3 24. ( ) ( 2) 2 , ( ) ( ) 1,3f x x a x x f x f x= + − +设函数 若 为奇函数，则曲线y= 在点（ ）处的
切线方程为( )
AB AD =
( )f x ( , )a b ( ) ( ) 0f a f b 2 : xc y e= (0, )+∞
1 12,2 6,3 4× × ×
( , )p q p q p q N ∗× ≤ ∈且
{ }( ) , (12) 4 3 1. (88) (5 ) )
2020
nf n q p f f f n N ∗= − = − = ∈函 数 例 如 则 的 值 为 ____， 数 列 （ 的
前 项 的 和 为 ________.
{ }na 1 1a = 1 3 1n na a+ = +
1
2na +
{ }na ns
.sinsin333)2(
)1(
1)cos(32cos,,,,,.18
的值，求，的面积为若
的值；求
已知的对边分别为中，在
CBbABC
A
CBAcbaCBAABC
=∆
=+−∆19. 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角 的终边分别与单位圆交于 A,B 两点，
点
（1）若点 ，求 的值：
（2）若 ，求 .
21.如图，有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD.在点 A 处有一个可转动的探照灯，其照
射角∠PAQ 始终为 45°(其中点 P，Q 分别在边 BC，CD 上)，设 BP＝t(百
米)．
(1)用 t 表示出 PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长 L 是否为定值；
(2)设探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积为 S(平方百米)，求 S 的
最大值．
22. 已知函数 f(x)＝ln (x＋a)－x2－x 在 x＝0 处取得极值．
(1)求实数 a 的值；
(2)若 g(x)＝－ x＋b 的图象在区间[0,2]上与 f(x)的图象恰有两个不同的交点，求实数 b 的
取值范围．
)α β α β>、（
4 3( , )5 5A
5 12( , )13 13B cos( )α β+
3 10
10OA OB =
sin β
{ }
{ }
{ }2
20. , , ) 2 2 *
(1)
(2) +( 1) log ,
n n n n
n
n n n n n
a n S a s y x n N
a
b n a a b
= − ∈
= −
已 知 数 列 的 前 项 和 为 点 （ 在 直 线 上 ，
求 的 通 项 公 式
若 求 数 列 的 前 项 和 T
5
22019-2020 学年度第一学期期中考试
高三数学(文科）答案
一、选择题
1. A
【解析】：∵集合 A={x|x＜1}，
B={x|3x＜1}={x|x＜0}，
∴A∩B={x|x＜0}，所以 A 正确，D 错误，A∪B={x|x＜1}，所以 B 和 C 都错误。
2. B
【解析】：由题意得 f(－x)＝－f(x)，
则 ＝ ＝－ ，
则－4x2＋(2－2a)x＋a＝－4x2－(2－2a)x＋a，
所以 2－2a＝－(2－2a)，所以 a＝1.
3. A
【解析】：利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（ ）lnx＞（ ）0＝1，
0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b， c 的大小关系为 b＞c＞a．故选：A．
4.A
【解析】函数 ，若 为奇函数，
可得 ，所以函数 ，可得 ， ；
曲线 在点 处的切线的斜率为：5，
则曲线 在点 处的切线方程为： ．即 ．
5. D
【解析】：先用 表示出 ，再计算数量积．
因为 ， ，则 , ,
所以
6. C
1
2
1
2【解析】： 已知函数 在区间 内有零点,没有强调 是否单调,所以 的值
可能是正数,可以是负数,也可能是 0,故 A 错误；
B.若 3 是 与 的等比中项,则 , ,故 B 错误；
C. ,则 ,所以 ,故 C 正确；
D.已知角 终边经过点 ,则 ,故 D 错误．故选 C．
7.D
【解析】：：把函数 的图象向左平移 个单位，得到函数图象的解析式 g
（x）=cos[2（x+ ）- ]=cos2x，g（ ）=cos = ，故 A 正确；
当 x∈（ ）时，2x∈（ ），∴g（x）在区间 上是增函数，故 B 正确；
g（ ）=cosπ=-1，∴ 是 g（x）图象的一条对称轴，故 C 正确；
g（ ）=cos（- ）= ，∴ 不是 g（x）图象的一个对称中心，故 D 错误．
8.B
【解析】：由正弦定理得
得 ,所以 ．
又 ,得 ．所以 ．故选 B．
9. D
【解析】：f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，
由题意可得 f′(x)≥0 在 x∈R 上恒成立，
所以 ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)＝4(m2－6m＋8)≤0，
解得 2≤m≤4.
故 m 的取值范围为[2,4]，
10.C
1 2 1 22 , 3 6m e e n e e= − = − 【解析】：由已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项的和， a1=1，设公差为 d，∵ ,
，∴d=1，∴an=a1+（n-1）d=n，Sn=n•1+ •1= ，
∴ = =2（ - ），则数列 的前 2017 项和为 2×[1-+-+-+…+ - ）=2（1- ）=
.
11. C
【解析】：先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得 ，最后
根据基本不等式求最值.
因为 所以定义域为 ，
因为 ，所以 为减函数
因为 ， ,所以 为奇函数，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，因为 ，
所以 （当且仅当 ， 时，等号成立）
12.D
【解析】：不妨设 f( )=g( )＝a，
∴ ＝ a，
∴ ＝ln(a+e)， ＝ ，
故 ＝ln(a+e)- ，（a＞-e）
令 h（a）＝ln(a+e)- ，
h′（a） ，
易知 h′（a）在（-e，+∞）上是减函数，
1x 2x
1xe e− 2 1lnx + =
1x 2x 1ae −
1 2x x− 1ae −
1ae −
11 aea e
−= −+且 h′（0）＝0，
故 h（a）在 a 处有最大值，
即 的最大值为 ；
二、填空题
13. .
【解析】： ∵ ＋α＋ －α＝ ，∴ －α＝ － .
∴cos ＝cos ＝sin ＝ .
14.
【解析】：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： = ，
故答案为 ；
15.
【解析】：解：根据题意，函数与函数在 上有公共点，令 得：
设 则
由 得：
当 时， ，函数 在区间 上是减函数，
当 时， ，函数 在区间 上是增函数，
所以当 时，函数 在 上有最小值
0=
1 2x x− 11 e
−所以 ．
16. 3；51010-1
【解析】：88=11×8=2×44=1×88=4×22，可得 f（88）=11-8=3；
当 n 为偶数时， ；
当 n 为奇数时， ，
三、解答题
17.【答案】（2）
【详解】证明： 由 得 , …………………..2 分
所以 ,
所以 是等比数列,首项为 ,公比为 3, …………………….4 分
所以 , ……………………5 分
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 的 通 项 公 式 为
； .................................6 分
则 ………………………8 分
所以 ……………………10 分
1010
0 1 1009 1010
2020
1 54(5 5 ... 5 ) 4 5 11 5S
−∴ = + + + = × = −−
13 2 3
4
n
n
ns
+ − −=
1 23 3 3( ....... )2 2 2 2
n
n
ns = + + + −
13 2 3
4
n
n
ns
+ − −=18. 【答案】（1） （2）
【详解】（1） ， ，...............1 分
所以原式整理为 ,
解得： （舍）或 ........................................3 分
, ;.....................................................5 分
（2） ，解得 ，.......................7 分
根据余弦定理 ......9 分
，代入解得： ,................11 分
.......................................................12 分
19. 【答案】(1) (2)
【详解】解：（1）因为 是锐角，且 ， 在单位圆上，
所以 ， ， ，...........................4 分
∴ .................6 分
（2）因为 ，所以 ，..............8 分
且 ，所以， ，可得： ，
且 ，
所以， ............10 分
.............................................12 分
3
πΑ = 9
13
A B C π+ + = ( )cos cosB C A∴ + = −
22cos 3cos 2 0A A+ − =
cos 2A = − 1cos 2A =
0 A π<
4cos 5
α = 3sin 5
α =
sin sin[ ( )]β α β α= + − sin cos( ) cos sin( )α β α α β α= − + −
3 3 10 4 10 13 10
5 10 5 10 50
= × + × = 20. 【答案】(1) (2)
【详解】(1) 点 在直线 上， ，
. .....................................1 分
当 时， 则 ， .....................................2 分
当 时， ,
两式相减，得 , .....................................4 分
所以 .
所以 是以首项为 ，公比为 等比数列，所以 .......................6 分
(2) , .......................7 分
,
, .......................9 分
两式相减得: , .......................10 分
所以 . ........................12 分
【详解】(1)由 BP＝t，得 CP＝1－t,0≤t≤1，设∠PAB＝θ，则∠DAQ＝45°－θ，...........1
分
..............................3 分.
..............................5 分
..........................6 分
....................8 分
2
max
121. (1) =2 2 2.1
tPQ lt
+= = −+【答案】 ， 为定值. ( 2) S
1- 1- 2tan(45 ) , 1 ,1 1 1
t t tDQ CQt t t
θ= − = = − =+ + +
2
2 2 2 22 1(1 ) ( )1 1
t tPQ CP CQ t t t
+∴ = + = − + =+ +
22 11 2,1 1
t tl CP CQ PQ t t t
+∴ = + + = − + + =+ + 是定值.
1 1 1(2) 1 1 1 12 2 1ABP ADQABCD
tS S S S t t∆ ∆
−= − − = × − × × − × × +正方形......................................10 分
由于 1＋t>0，
当且仅当 ＝ ，即 t＝ －1 时等号成立，..................................11 分
故探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为 2－ 平方百米．............12 分
22.【答案】(1) a＝1 (2) .
【详解】(1)f′(x)＝ －2x－1.
∵x＝0 时，f(x)取得极值，∴f′(0)＝0.故 －2×0－1＝0，解得 a＝1.
经检验 a＝1 符合题意，∴a＝1. .........................4 分
(2)由 a＝1 知，f(x)＝ln (x＋1)－x2－x，x∈(－1，＋∞)，
又 g(x)＝－ x＋b，得 f(x)－g(x)＝ln (x＋1)－x2＋ x－b，
令 φ(x)＝ln (x＋1)－x2＋ x－b，x∈(－1，＋∞) ........................6 分
即 φ(x)＝0 在[0,2]上恰有两个不同实数根．
φ′(x)＝ －2x＋ ＝ .
令 φ′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－ (舍去)． .................... .....8 分
当 x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当 x∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1,2)上单调递减． .......................10 分
依题意有 解得 ln 3－1≤b＜ln 2＋ ，
∴实数 b 的取值范围是 . ...................12 分
1 2 1 11 ( 1 ) 2 ( )2 2 1 2 1
t t
t t
+= − − − + = − ++ +
1 1 1 12 ( ) 2 2 2 22 1 2 1
t tS t t
+ += − + ≤ − ⋅ = −+ +则
1
x a+
1
0 a+
5
2
3
2
3
2
1
1x +
3
2
(4 5)( 1)
2( 1)
x x
x
− + −
+
5
4
1
2
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