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2019-2020 学年上学期高三级期中考考试题
理科数学
2019 年 11 月
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑
色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上;
如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不
按以上要求作答的答案无效。
3.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。漏涂、
错涂、多涂的,答案无效。
第一部分选择题(共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知 且 则 的值是
A. B. C. D.1
2.已知圆 与直线 相切,直线 始终平分圆 的面积,则圆 方程
为
A. B.
C. D.
3. 在 中.角 、 、 所对的边分别为 、 、 .如果 .则 的形
状是
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.直角三角形
4.设푎 = log2 3, 푏 = 3, 푐 = 푒
2
3, 则푎,푏,푐的大小关系是:
A.푎 < 푏 < 푐 B. 푏 < 푎 < 푐 C. 푏 < 푐 < 푎 D. 푎 < 푏 < 푐
5. 设函数푓(푥) = {2―푥 ― 1, 푥 ≤ 0
푥 + 1, 푥 > 0且 ,则
0 | | 2,| | 3a b a b= = = , (3 2 ) ( )a b a bλ+ ⊥ − λ ( )
3
2
3
2
± 3
2
−
C 3 0x y+ + = 1 0mx y+ + = C C
( )
2 2 2 2x y y+ − = 2 2 2 2x y y+ + =
2 2 2 1x y y+ − = 2 2 2 1x y y+ + =
ABC∆ A B C a b c
2
2
tan
tan
a A
b B
= ABC∆
( )
(2 ) 3f a = ( 2) (f a + = )第 2 页 共 11 页
A.2 B.3 C.2 或 3 D.3
6.已知两个圆 和 ,它们的半径分别是 2 和 4,且 ,若动圆 与圆 内切,
又与 外切,则动圆圆心 的轨迹方程是
A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线
7.已知双曲线 : ,斜率为 1 的直线与双曲线 交于两点 ,
若线段 的中点为(4,1),则双曲线 C 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
8. 在 中,角 , , 所对应的边分别为 , , .已知 , ,
,则
A.15 B. C.3 D.
9. 已知函数 , , 为常数, , 的
部分图象如图所示,则
A. B.
C. D.
10. 方程(푙푛푥
푥 )2
―푚 ⋅ 푙푛푥
푥 ―1 = 0有三个不同的解,则푚的取值范围是
A.(푒 ― 1
푒, + ∞) B.( ― ∞,1
푒 ―푒) C.(푒 + 1
푒, + ∞) D.( ― ∞, ― 1
푒 ―푒)
11.直线 经过椭圆 的左焦点 ,交椭圆于 , 两点,
交 轴于 点,若 ,则该椭圆的离心率是
A. B. C. D.
12.已知函数 , ,函数 的最小值 ,则实数 的最
小值是
A. B. C.0 D.
第二部分非选择题(90 分)
1O 2O 1 2| | 8O O = M 1O
2O M ( )
C ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > C ,A B
AB
2 0x y± = 2 0x y± = 2 0x y± = 2 0x y± =
ABC∆ A B C a b c 3 5b = 6 2c =
tan( ) 24A
π+ = (a = )
3 5 6 2
( ) cos( )(f x A x Aω ϕ= + ω ϕ 0ω > 0)A <
(A = )
2− 3−
6− 2 2−
(
)
3 3 0x y− + =
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > F A B
y C 2FC CA= ( )
3 1− 3 1
2
−
2 2 2− 2 1−
1( ) axf x xe lnx ax−= − − 2
1( , ]a e
∈ −∞ − ( )f x M M
( )
1− 1
e
− 3
1
e
−第 3 页 共 11 页
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.直线 、直线 与曲线 围成的图形的面积为 .
14.直线푦 = 3(푥 ― 1) 与抛物线푦2 = 4푥相交于 A, B 两点,O 为原点,则三角形 AOB 面积
为 .
15. 已知 中,角퐴、B、C 对应边分别为 ,且 ,则 面
积最大值为 .
16. 曲线 C: |푥2 ― 푦2 ― 1| = 1与直线 有 4 个交点,则푘 的取值范围是 .
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分) 的内角 , , 的对边分别为 , , ,若푎2 + 푐2 ― 2
3푎푐 = 푏2.
(1)求 ;
(2)若 , ,求 的面积.
18.(12 分)已知曲线 为参数),曲线 为参数).
(1)若 ,求曲线 的普通方程,并说明它表示什么曲线;
(2)曲线 和曲线 的交点记为 、 ,求 的最小值.
19.(12 分)已知函数
(1)当 时,解不等式푓(푥) ≤ 2;
(2)若 的最小值为 1,求 的最小值.
0x = 1y e= + 1xy e= +
ABC∆ a b c、 、 030 2A a∠ = =, ABC∆
: 1l y kx= −
ABC∆ A B C a b c
cos B
2AB = 3sin 2sinA B= ABC∆
1
2cos: (2sin
xC y
θ θθ
=
= 2
1 cos (1 sin
x tC ty t
α
α
= += = − +
4
πα = 2C
1C 2C M N | |MN
( ) ( )3 +4 0, 0 .f x x a x b a b= − + > >
1 1a b= = −,
( )f x 1 3
a b
+第 4 页 共 11 页
20.(12 分)已知椭圆 的左右焦点分别是 离心率 ,点
在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程;
(2)如图,分别过 作两条互相垂直的弦 与
,求 的最小值.
21.(12 分)如图,已知抛物线 的焦点 到直线 的距离为
是过抛物线 焦点 的动弦, 是坐标原点,过 两点分别作此抛物线的切线,
两切线相交于点 .
(1)求证: .
(2)若动弦 不经过点 ,直线 与准线
相交于点 ,记 的斜率分别为
问:是否存在常数 ,使得 在弦 运
动时恒成立?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.
22. (12 分)已知函数 (其中 是自然对数的底数).
(1)当 时,求证: ;
(2)若函数 有两个零点,求实数 的取值范围.
( )2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
+ = > > 1 2F F、 , 1
2e =
31, 2
− E
E
1 2F F、 AC
BD AC BD+
( )2 =2 0C x py p >: F 2 0x y− − =
.2
23 AB C F O BA,
P
PBPA ⊥
AB (2,1)M AB
l N , ,MA MB MN 1 2 3, , .k k k
λ 1 2
3
1
1k k kλ+ = + AB
λ
( ) ln x af x x e a−= − + e
0a = ( ) 2f x < −
( )f x a第 5 页 共 11 页
2019-2020 学年上学期高三级期中考理科数学答案
命题 、审题人:禤铭东 、 吴统胜 2019 年 11 月
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C A C C D B D B A C
二、填空题:
13. 1 ; 14.4 3
3 ; 15.2 + 3 ; 16. ( ― 6
2 , ― 1)⋃( ― 1,1)⋃(1, 6
2
).
三、解答题:
17. 解:(1) 푎2 + 푐2 ― 푏2 = 2
3푎푐,
所以,푐표푠퐵 = 푎2 + 푐2 ― 푏2
2푎푐 =
2
3푎푐
2푎푐 = 1
3 …………………………………………………(3 分)
(2)因为 ,所以B ∈ (0,휋
2), 所以 .………………………(5 分)
又 ,由正弦定理, .……………………………………………(6
分)
根据余弦定理 ,
得 , ,………………………………………………………………………(8 分)
所以 的面积为 .…………………………………………(10 分)
18. 解:(1) 为参数)
, 曲线 的普通方程是 …………………………………(2 分)
它表示过 ,倾斜角为 的直线………………………………………………(4 分)
1cos 3B = 2 2sin 3B =
3sin 2sinA B= 3 2a b=
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
4
3a = 2b =
ABC∆ 1 8 2sin2 9S ac B= =
4
πα = ∴
21 2 (
21 2
x t
t
y t
= +
= − +
1 1x y∴ − = + ∴ 2C 2y x= −
(1, 1)−
4
π第 6 页 共 11 页
(2)曲线 的普通方程为 ……………………………………………(6 分)
设 ,过 作 ,此时 最小…………………………………(8 分)
以下证明此时 最小,
过 作直线 , 与 不重合
在 △ 中, …………………………………(10 分)
此时, …………………………………………………………(12 分)
19 解:(1)当当 时 ………………………………(1 分)
当 时,不等式化为 ―푥 + 3 ― 푥 + 4 ≤ 2, ∴ 푥 ≥ 5
2, ∴ 5
2 ≤ 푥 < 3;……………(2 分)
当3 ≤ 푥 ≤ 4时,不等式化为푥 ― 3 ― 푥 + 4 ≤ 2, 明显成立;………………………(3 分)
当 时,不等式化为푥 ― 3 + 푥 ― 4 ≤ 2 ∴ 푥 ≤ 9
2, ∴ 4 < x ≤ 9
2;………………(5 分)
综上所述,不等式的解集为[5
2,9
2];……………………………………………………(6 分)
(2)
当且仅当 时取等号 …………………………(8 分)
… ( 11
分)
当且仅当 ,即 时, 的最小值为 27. …………………(12 分)
20. 解:(1)由已知 ……(1 分)
将点 代入得
1C 2 2 4x y+ =
(1, 1)G − G MN OG⊥ | |MN
| |MN
G M N′ ′ M N′ ′ MN 2 2| | 2 4 | | | | 2 4 | |M N OG MN OG′ ′ ′= − = −
Rt OG G′ | | | | | | | |OG OG MN M N> ′ ∴ < ′ ′
| | 2 4 2 2 2MN = − =
1 1a b= = −, ( ) 3 4 .f x x x= − + −
3x <
4x >
( ) ( ) ( )0, 0 3 +4 3 +4 3 4 3 4a b f x x a x b x a x b a b a b> > ∴ = − + ≥ − − = − − = +
( ) ( )3 +4 0x a x b− ⋅ ≤ 3 4 1a b∴ + =
( )1 3 1 3 4 9 4 93 4 15 15 2 15 12 27b a b aa ba b a b a b a b
∴ + = + ⋅ + = + + ≥ + ⋅ = + =
3 4 1
4 9
a b
b a
a b
+ = =
1
9
1
6
a
b
=
=
1 3
a b
∴ +
2 2
2 2 2
2
1 1 4
2 4 3
c a be e a ba a
−= = ∴ = = ∴ =
2 2
2 2
3 14
x y
b b
∴ + =
31, 2
−
2 2
2 2 2
3 9 3+ 1 3, 44 4 b ab b b
= = ∴ = =第 7 页 共 11 页
椭圆 E 方程为: . ………………………………………………………(3 分)
(2)解法一:由已知 ,
①当 轴或在 轴上时,
…………………………(4
分)
② 当 直 线 斜 率 存 在 且 不 为 0 时 , 设 直 线 方 程 为 :
联立 得: ………………………(5 分)
设 则 ………………(6 分)
…………( 7 分)
,由椭圆对称性,以 代换上式中的 得:
………………………………………………………(8 分)
思路一: …(10 分)
当且仅当 即 时,取“=”…………………………………(11 分)
∴ 2 2
14 3
x y+ =
( )1 1,0F −
AC x⊥ x
3, 4, 4, 3 + =7AC BD AC BD AC BD= = = = ∴或
( ) ( )1 21,0 , 1,0F F− AC
( )1y k x= +
2 2
14 3
x y+ = ( ) ( )2 2 2 24 3 8 4 3 0k x k x k+ + + − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
( )22
1 2 1 22 2
4 38 , .4 3 4 3
kkx x x xk k
−
+ = − ⋅ =+ +
( ) ( ) ( )2
22 2
2 1 1 2 1 2 2
12 1
1 1 4 4 3
k
AC k x x k x x x x k
+ ∴ = + − = + + − = +
AC BD⊥
1
k
− k
( )22
2 2
2
112 1 12 1
3 414 3
kkBD k
k
+ + = = ++
( )
( )( )
( )
( ) ( )
2 22 2
22 2 2 2
84 1 84 1 48
74 3 3 4 4 3 3 4
2
k k
AC BD
k k k k
+ +
∴ + = ≥ =
+ + + + +
2 24 3=3 4k k+ + 1k = ±第 8 页 共 11 页
而 , 有最小值 ………………………………………………(12 分)
思路二:设 则
…………( 10 分)
当且仅当 即 时,有最小值 .…………………(11 分)
而 , 有最小值 ………………………………………………(12 分)
解 法 二 : 由 已 知 , 设 直 线
………………………………………………(4 分)
联立 得: ………………………………(5 分)
设 则 ………………(6 分)
………( 7 分)
,由椭圆对称性,以 代换上式中的 得:
………………………………………………………(8 分)
思 路 一 … ( 10
分)
48 77
< AC BD∴ + 48
7
2 1,t k= + 21, 1t k t> = −
( ) ( )( )
2 2
22
84 84 84
4 1 3 1 12 1 1 1 49
2 4
t tAC BD f t t t t t
t
+ = = = =− + + − − − +
21 1 , 1=2, 12 t k kt
= = + = ± 1k = ± 48
7
48 77
< AC BD∴ + 48
7
( )1 1,0F −
: 1AC x my= −
2 2
14 3
x y+ = ( )2 23 4 6 9 0m x my+ − − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 22 2
6 9, .3 4 3 4
my y y ym m
+ = ⋅ = −+ +
( ) ( ) ( )2
22 2
2 1 1 2 1 2 2
12 1
1 1 4 3 4
m
AC m y y m y y y y m
+ ∴ = + − = + + − = +
AC BD⊥
1
m
− m
( )22
2
2
112 1 12 +1
1 4 +33 4
mmBD m
m
+ = =
+
( )
( )( )
( )
( ) ( )
2 22 2
22 2 2 2
84 1 84 1 48
74 3 3 4 4 3 3 4
2
m m
AC BD
m m m m
+ +
∴ + = ≥ =
+ + + + +
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当且仅当 即 时,取“=”…………………………………(11 分)
有最小值 ……………………………………………………………(12 分)
思路二:设 则
…………( 10 分)
当且仅当 即 时,有最小值 .…………………………(11
分)
有最小值 ……………………………………………………………(12 分)
21. 解:(1)
由已知 故抛物线方程为 ………………(1 分)
依题意,设直线 方程为
联立 得: ……………………………………………………(2 分)
设 ……………………………………(3
分)
…………………………………………………………………………………(5 分)
2 24 3=3 4m m+ + 1m = ±
AC BD∴ + 48
7
2 1,t m= + 21, 1t m t≥ = −
( ) ( )( )
2 2
22
84 84 84
4 1 3 1 12 1 1 1 49
2 4
t tAC BD t t t t t
t
ϕ+ = = = =− + + − − − +
21 1 , 1=2,2 t mt
= = + 1m = ± 48
7
AC BD∴ + 48
7
( )2 2 0 0, 2
px py p F = > ∴
0 2 2 3 22 2 222 2
p p
p
− − +
= = ∴ =
2 4x y=
( )0,1F AB ( )1 0y kx k= + ≠
2 4x y= 2 4 4 0x kx− − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 24 , 4x x k x x∴ + = ⋅ = −
2
/
4 2
x xy y= ∴ =
1 2 1 2 4, 12 2 4 4PA PB PA PB
x x x xk k k k
−∴ = = ∴ ⋅ = = = −
PA PB∴ ⊥第 10 页 共 11 页
(2)将 代入 得 ……………………………………………(6 分)
…………( 9 分)
……………………………(10 分)
……………………………………………………………………(11 分)
若有 成立,则有 解得
故存在 成立………………………………………………(12 分)
22. 解:(1)当 时, …………………………(1 分)
在 上单调递减,又 ………(2 分)
故 存在唯一零点 ……………………………………………………(3 分)
且 在 上 单 调 递 增 , 在 上 单 调 递 减 ,
.
………………………………………………………………………………(5
1y = − 1y kx= + 2 , 1N k
− −
( )2,1M
2 2
1 2
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
1 11 2 1 24 4,2 2 4 2 2 4
x x
y x y xk kx x x x
− −− + − += = = = = =− − − −
1 2 1 2
1 2
2 2 4 4 4 14 4 4 4
x x x x kk k k
+ + + + +∴ + = + = = = +
( )
3
1 1
2 12
kk k
k
− −= = + − −
1 2
3
1
1k k kλ+ = +
11
1 1
k k
k
λ
+ =
+ +
1λ = −
1,λ = − 使 1 2
3
1
1k k kλ+ = +
0a = ( ) ( )/ 1ln x xf x x e f x ex
= − ∴ = −
( )/f x∴ ( )0 +∞, ( )/ /1 2 0, 1 1 02f e f e = − > = − →且 ( )f x → −∞
∴ ( )f x ( )f x ( )0 +∞, 1x ( )1 0f x >
( ) 1/
1
1
1 =0x af x ex
−= − 1
1
1 = x aex
−
1 1lna x x= +
( ) 1
1 1 1 1
1
1ln 2lnx af x x e a x xx
−∴ = − + = − +
( ) ( ) 2
/
2
1 2 1 12ln 1 1 0g t t t g tt t t t
= − + ∴ = + + = + >
( )g t∴ ( )0 +∞,
( ) ( )1 0 0 1g g t t= ∴ > ⇔ >
( )1 0f x > 1 1x > lny x x= + ( )0 +∞, 1 1ln 1a x x∴ = + >
a∴ ( )1 +∞,