蚌埠铁中 2019-2020 学年度第一学期期中检测试卷
高 三 数 学（理）
考试时间：120 分钟 试卷分值：150 分
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.设集合 ， ，若 ，则 的值可以是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知 为虚数单位，若复数 在复平面内对应的点在第四象限，则 的取值范
围为（ ）
A. B. C. D.
3.已知 ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
4.若 ，则下列不等式不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.在等比数列 中，“ 是方程 的两根”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则
的解集为（ ）
{ }(5 ) 4A x x x= − { }|B x x a= ≤ A B B∪ = a
i 1
1
tiz i
−= + t
[ 1,1]− ( 1,1)− ( , 1)−∞ − (1, )+∞
1sin 12 3
πα − =
17cos 12
πα +
1
3
2 2
3
1
3
− 2 2
3
−
1,0 1a c b> < < <
2019 2019log loga b> log logc ba a>
( ) ( )c bc b a c b a− > − ( ) ( )c ba c a a c a− > −
{ }na 4 12a ,a 2x 3x 1 0+ + = 8a 1= ±
( )f x [ 2 ,1 ]b b− + [ 2 ,0]b−
( 1) (2 )f x f x− ≤A. B. C. D.
7.如图，在平行四边形 中， 分别为 上的点，且AM = 4
5AB，连接
交于 点，若AP = 4
11AC，则点 在 上的位置为（ ）
A. 中点 B. 上靠近点 的三等分点
C. 上靠近点 的四等分点 D. 上靠近点 的五等分点
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 5 B. C. D.
9.执行如图所示的程序框图，如果输出 ，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A. B. C. D.
10.函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，并
且函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则实数 的值
2[ 1, ]3
− 1[ 1, ]3
− [ 1,1]− 1[ ,1]3
ABCD ,M N ,AB AD
,AC MN P N AD
AD AD D
AD D AD D
16
3 7 17
3
6T =
32k < 33k < 64k < 65k <
( ) sin ( 0)f x xω ω= >
12
π ( )y g x=
( )g x [ , ]6 3
π π
[ , ]3 2
π π ω为（ ）
A. B. C. 2 D.
11.已知 ， 满足约束条件 当目标函数 （ ，
）在该约束条件下取得最小值 1 时，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12.设函数 ，若不等式 有正实数解，则实数 的最
小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，合计 20 分）
13.已知函数 （ ）的图象和直线 围成一个封闭的平面图形，
则这个封闭图形的面积是__________．
14.若函数 的图象存在与直线 垂直的切线，则实数 的取值
范围是____．
15.已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面 射影为底面中心）A-BCD 的外
接球，BC=3， ，点 E 在线段 BD 上，且 BD=3BE，过点 E 作圆 O 的截面，则所得
截面圆面积的取值范围是__.
16.在 中，角 ， ， 的对边长分别为 ， ， ，满足
， ，则△ABC 的面积为__.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分 10 分）
的
7
4
3
2
5
4
x y
2 0,
{5 3 12 0,
3,
x y
x y
y
− − ≤
− − ≥
≤
z ax by= + 0a >
0b > 1 2
3a b
+
4 2 2+ 4 2 3 2 2+ 3 2+
( ) 3 3x af x e x x x
= + − −
( ) 0f x ≤ a
2e e
2cosy x= 0 2x π≤ ≤ 2y =
( ) ln 2f x x ax= − 2 0x y+ = a
2 3AB =
ABC△ A B C a b c
( )2 2 sin 3 cos 4 0a a B B− + + = 2 7b =已知数列 是等差数列，前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 ．
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
18. （本小题满分 12 分）
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知点 在直线
上.
（1）求角 的大小；
（2）若 为锐角三角形且满足 ，求实数 的最小值.
当且仅当 ，实数 的最小值为 2.
19．（本小题满分 12 分）
“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，减少空气污染，某空气净化器制造厂，决
定投入生产某种惠民型的空气净化器．根据以往的生产销售经验得到年生产销售的统
计规律如下：①年固定生产成本为 2 万元；②每生产该型号空气净化器 1 百台，成本
增加 1 万元；③年生产 x 百台的销售收入 R（x） = { -0.5푥2 + 4푥 - 0.5，0 ≤ 푥 ≤ 4
7.5，푥＞4
（万元）．假定生产的该型号空气净化器都能卖出（利润＝销售收入﹣生产成本）．
（1）为使该产品的生产不亏本，年产量 x 应控制在什么范围内？
（2）该产品生产多少台时，可使年利润最大？
20．（本小题满分 12 分）
如图，点 在以 为直径的圆 上， 垂直与圆 所在平面， 为 的垂心
{ }na n nS 5 33S a= 4 6 8a a+ =
na
2n
n nb a= ⋅ { }nb n nT
ABC△ A B C a b c ( ),a b
( )sin sinx A B− + sin siny B c C=
C
ABC△ 1 1
tan tan tan
m
C A B
= + m
a b= m
C AB O PA O G AOC∆（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f（x）＝2x+（k﹣1）•2﹣x（x∈R）是偶函数．
（1）求实数 k 的值；
（2）求不等式 f（x）＜5
2的解集；
（3）若不等式 f（2x）+4＜mf（x）在 x∈R 上有解，求实数 m 的取值范围．
22. （本小题满分 12 分）
已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的图像在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： ．
OPG ⊥ PAC
2 2PA AB AC= = = A OP G− −
( ) ( )( )lnf x x x ax a R= − ∈
1a = ( )f x ( )( )1, 1f
( )f x 1x 2x 1 2x x< ( )2
1
2f x > −蚌埠铁中 2019-2020 学年度第一学期期中检测试卷
高 三 数 学（理）答案
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1D 2B 3A 4D 5A 6B 7B 8D 9C 10C 11C 12D
二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，合计 20 分）
13 14 15 16 2 3
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分 10 分）
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由题意，数列 是等差数列，所以 ，又 ， ，
由 ，得 ，所以 ，解得 ，
所以数列的通项公式为 ．
(2)由（1）得 ，
，
，
两式相减得 ，
，
即 ．
18. （本小题满分 12 分）
4π 1 ,4
− +∞ [2 ,4 ]π π
( )2 3na n= − 2( 4) 2 16n
nT n += − ⋅ +
{ }na 5 35S a= 5 33S a= 3 0a∴ =
4 6 58 2a a a+ = = 5 4a = 5 3 2 4a a d− = = 2d =
( ) ( )3 3 2 3na a n d n= + − = −
( ) 12 3 2n n
n nb a n += ⋅ = − ⋅
( ) ( ) ( )2 3 4 12 2 1 2 0 2 3 2n
nT n += − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + + − ⋅
( ) ( ) ( ) ( )3 4 1 22 2 1 2 4 2 32 2n n
nT n n+ += − ⋅ + − ⋅ + + − ⋅ + − ⋅
( ) ( )2 3 4 1 22 2 2 2 2 2 3 2n n
n nT T n+ +− = ⋅ − + + + + − ⋅
( )1
2 28 1 2
8 ( 3) 2 ( 4) 2 161 2
n
n nn n
−
+ +
−
− + − ⋅ = − ⋅ += −
2( 4) 2 16n
nT n += − ⋅ +【答案】（1） （2）实数 的最小值为 2.
【解析】
（1）由条件可知 ，根据正弦定理得 ，
又由余弦定理 ，故角 的大小为 ；
（2）
，
19．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）由题意得，成本函数为 C（x）＝x+2，
从而年利润函数为 L（x）＝R（x）﹣C（x） = { -0.5푥2 + 3푥 - 2.5，0 ≤ 푥 ≤ 4
5.5 - 푥，푥＞4 ．
要使不亏本，只要 L（x）≥0，
①当 0≤x≤4 时，由 L（x）≥0 得﹣0.5x2+3x﹣2.5≥0，解得 1≤x≤4，
②当 x＞4 时，由 L（x）≥0 得 5.5﹣x≥0，解得 4＜x≤5.5．
综上 1≤x≤5.5．
答：若要该厂不亏本，产量 x 应控制在 100 台到 550 台之间．
（2）当 0≤x≤4 时，L（x）＝﹣0.5（x﹣3）2+2，
故当 x＝3 时，L（x）max＝2（万元），
当 x＞4 时，L（x）＜1.5＜2．
综上，当年产 300 台时，可使利润最大．
3
π m
( )sin sin sin sina A B b B c C− + = 2 2 2a b c ab+ − =
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= = C 3
π
1 1tan tan tanm C A B
= + =
sin cos cos
cos sin sin
C A B
C A B
+
sin cos sin cos sin
cos sin sin
C A B B A
C A B
+= × 2 22sin 2
sin sin
C c
A B ab
= = ( )2 22 a b ab
ab
+ −
=
2 1a b
b a
= + − ≥
( )2 2 1 2× − =20【答案】（1）见解析（2） .
【解析】
（1）如图，延长 交 于点 .因为 为 的重心，所以 为 的中点.
因为 为 的中点，所以 .因为 是圆 的直径，所以 ，所以
.
因为 平面 ， 平面 ，所以 .又 平面 ， 平
面 = ，所以 平面 .即 平面 ，又 平面
，所以平面 平面 .
（2）以点 为原点， ， ， 方向分别为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系
，则 ， ， ， ， ，
，则 ， .平面 即为平面 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 令 ，得
.过点 作 于点 ，由 平面 ，易得 ，又
2 51
17
OG AC M G AOC∆ M AC
O AB / /OM BC AB O BC AC⊥
OM AC⊥
PA ⊥ ABC OM ⊂ ABC PA OM⊥ PA ⊂ PAC AC ⊂
,PAC PA AC∩ A OM ⊥ PAC OG ⊥ PAC OG ⊂
OPG OPG ⊥ PAC
C CB CA AP x y z
C xyz− ( )0,0,0C ( )0,1,0A ( )3,0,0B 3 1, ,02 2O
( )0,1,2P
10, ,02M
3 ,0,02OM
= −
3 1, ,22 2OP
= −
OPG OPM
OPM ( ), ,n x y z=
3 0,2{
3 1 2 0,2 2
n OM x
n OP x y z
⋅ = − =
⋅ = − + + =
1z =
( )0, 4,1n = − C CH AB⊥ H PA ⊥ ABC CH PA⊥，所以 平面 ，即 为平面 的一个法向量.
在 中，由 ，得 ，则 ，
.
所以 ， .所以 .
设二面角 的大小为 ，则 .
21．（本小题满分 12 分）
【解析】解：（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
即 2﹣x+（k﹣1）•2x＝2x+（k﹣1）•2﹣x，
即（k﹣2）（22x﹣1）＝0 恒成立，
则 k﹣2＝0，得 k＝2；
（2）∵k＝2，
∴f（x）＝2x+2﹣x，不等式 f（x）＜5
2等价为 2x+2﹣x＜5
2，
即 2（2x）2﹣5（2x）+2＜0，
得（2•2x﹣1）（2x﹣2）＜0，
得1
2＜2x＜2，得﹣1＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，1）；
（3）不等式 f（2x）+4＜mf（x）等价为 22x+2﹣2x+4＜m（2x+2﹣x））
即 f2（x）+2＜mf（x），
∵f（x）＝2x+2﹣x≥2，当且仅当 x＝0 时，取等号，
则 m＞f（x） + 2
푓(푥)，
PA AB A∩ = CH ⊥ PAB CH PAO
Rt ABC∆ 2AB AC= 30ABC∠ = ° 60HCB∠ = °
1 3
2 2CH CB= =
3cos 4Hx CH HCB= ∠ = 3sin 4Hy CH HCB= ∠ = 3 3, ,04 4CH
=
A OP G− − θ cos
CH n
CH n
θ
⋅
= =
⋅
2 2
3 30 4 1 04 4 2 51
173 9 4 116 16
× − × + ×
=
+ × +∵函数 y＝x + 2
푥在[2，+∞）上是增函数，
则 f（x） + 2
푓(푥)的最小值为 3，
即 m＞3，
故实数 m 的取值范围是（3，+∞）．
22. （本小题满分 12 分）
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
（1）由已知条件， ，当 时， ，
，当 时， ，所以所求切线方程为
（2）由已知条件可得 有两个相异实根 ， ，
令 ，则 ，
1）若 ，则 ， 单调递增， 不可能有两根；
2）若 ，
令 得 ，可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
令 解得 ，
由 有 ，
由 有 ，
从而 时函数 有两个极值点，
当 变化时， ， 的变化情况如下表
0x y+ =
( ) ( )lnf x x x x= − 1x = ( ) 1f x = −
( ) ln 1 2f x x x+′ = − 1x = ( ) 1f x′ = − 0x y+ =
( ) ln 1 2f x x ax+′ = − 1x 2x
( ) ( )'f x h x= ( ) 1' 2h x ax
= −
0a ≤ ( )' 0h x > ( )h x ( )'f x
0a >
( )' 0h x = 1
2x a
= ( )h x 10, 2a
1 ,2a
+∞
1' 02f a
>
10 2a< <
1 1
2e a
< 1 2 0af e e
= − 2
1 22ln 1 0f aa a
= −′ + − ′ 1 21x x< < ( )f x [ ]21, x
( ) ( )2
11 2f x f a∴ > = − > −
( ) ln 1 2f x x ax+′ = − 1 ln2 xa x
+= ( ) 1 lnxg x x
+=
( ) 2
ln' xg x x
−= ( )g x ( )0,1 ( )1,+∞
( )'f x 1 21x x< <
( )21,x x∈ 1 ln 2 ,x ax
+ > ( ) ln 1 2 0f x x ax= + − >′
( )f x [ ]21, x
( ) ( )2
11 2f x f a> = − > −
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